I. Introduction
La fois précédente : taquin, tourniquet,
maille. Cf. circulation d’un vide équivalent au tracé
d’une aiguille de tricot.
I.1
L’écoute, travail à
l’œuvre…
Deux principes importants :
1) L’écoute travaille. Il y a un travail de
l’écoute. Ce n’est pas une simple passivité, moins
encore une réception. C’est le travail d’une attention.
2) Ce travail est à l’œuvre :
l’auditeur (l’écouteur) peut écouter pour autant que
son écoute prend appui, participe d’un travail déjà
à l’œuvre, s’incorpore à une attention active
que l’œuvre même met en jeu.
La formalisation du tourniquet par un taquin visait à
cela.
Il ne peut cependant formaliser le
« contenu » du travail : il pointe l’existence
d’un maillage sans en donner l’enjeu concret. S’il
s’agit de tricotage (adoptons quelque temps cette métaphore),
cette formalisation par le taquin met l’accent sur le travail des
aiguilles, non sur le tricot lui-même. Ou encore : il exhibe la
ronde des aiguilles portant le fil mais il ne délivre pas
l’intelligence de ce qui est ainsi tissé. On pourrait dire :
il faut s’interroger sur le point du tricot pour comprendre ce qui est
ainsi tricoté.
C’est à cela qu’on va s’employer
aujourd’hui.
On va pour cela convoquer un tout autre registre de
métaphore et de formalisation.
I.2
La pince du mathème et du poème…
Cf. notre propos (théoriser l’écoute
musicale) est suffisamment neuf (voir l’évitement complet de cette
question dans les deux derniers numéros de la revue Circuit apparemment consacré à ce
thème…) qu’il faille pour ce faire bâtir un dispositif
singulier de pensée.
Tout autant que le travail philosophique ,
notre travail est pris dans la pince du mathème et du poème.
Au point où nous en sommes rendus de notre
entreprise, ceci va se donner dans la pince de la différenciation
(mathématique) et de l’intension (poétique).
Nous examinerons aujourd’hui la dimension du
mathème, la fois prochaine celle du poème.
I.3
Que produit ce travail ? Une Forme musicale !
Si l’écoute est un travail, c’est donc
qu’elle produit quelque chose. Cf. son travail, comme tout travail, a
pour caractéristique de transformer la matière ouvragée.
Qu’est-ce donc que produit l’écoute
musicale ? On répondra : une Forme, une Forme musicale de
l’œuvre écoutée.
Forme musicale va
ainsi se dire en différents sens car il y a différentes
manières de penser la Forme d’une œuvre : selon la
perception et l’audition, selon l’ouïe, selon
l’écoute…
Qu’est-ce donc que la Forme musicale produite par
l’écoute ? Qu’a-t-elle de propre par rapport aux autres
Formes musicales ?
Et si toute écoute est à l’œuvre
(s’entend : est endogène au mouvement même de
l’œuvre, intrinsèque au travail musical de
l’œuvre, non pas exogène et extrinsèque), quelle en
est la conséquence sur la Forme écoutée ?
I.4
Quelle est la spécificité de la Forme
écoutée ? Le temps musical !
Première réponse pour cette
séance : la Forme écoutée a ceci de propre par
rapport aux Formes auditionnées, ouïes et comprises qu’elle
passe par la production d’un temps singulier, le temps musical. Ou
encore : la Forme écoutée est la Forme d’un temps
musical à l’œuvre.
Cette thèse ne répond pas intégralement
à la question : qu’est-ce que la Forme
écoutée ? Elle répond simplement ce premier
élément : la Forme écoutée est la Forme
d’un temps musical.
Ceci nous délivre donc cette première
tâche, à la quelle nous consacrerons tout ce cours :
qu’est-ce qu’un temps musical ? En quel sens
l’écoute et son opération de maillage peut-elle être
pensée comme tricotant du temps ?
I.5
La formalisation du calcul différentiel
Nous prendrons pour cela appui sur la pensée
mathématique en explorant la face de son calcul différentiel.
Rappel : j’ai proposé de formaliser
l’audition comme un calcul intégral. J’ai abouti sur cette
base à distinguer trois formes d’audition, correspondant chacune
à un type particulier d’intégrale mathématique.
Je propose d’engager une pensée musicale de
l’écoute en prenant appui sur l’autre face
mathématique : celle du calcul différentiel.
J’aurais pu le faire en partant directement de ce
calcul, ce qui nous aurait conduit à l’examen d’un
côté de la théorie des distributions (qui
généralise le concept de fonction en sorte de disposer
d’entités indéfiniment différentiables), d’un
autre côté de la théorie des tenseurs.
Cette voie plus abstraite serait un peu aride, difficile
à transmettre et moins stimulante pour le musicien.
I.6
Albert Lautman
J’ai plutôt choisi de partir d’une lecture
attentive d’Albert Lautman, dont le travail philosophique a cet avantage
pour nous de fournir des formalisations déjà
interprétées.
I.6.a. Formalisation et
interprétation ?
En quel sens précis entendre ces catégories ?
Voir pour cela la théorie des modèles qui me
sert toujours de cadrage pour penser la musique avec d’autres disciplines.
Voir son article Le problème du temps.
I.6.b. Présentation d’Albert
Lautman (1908-1944)
I.6.b.1.
Biographie
Né le 8 février
1908
ENS : Promotion 1926
Fait prisonnier le 30 juin 1940
Évasion de Silésie le 14 octobre 1941
Arrestation le 15 mai 1944
Exécuté le 1er
août 1944
I.6.b.2.
Témoignage de M. L. Moulinier
C’était une chose presque inexplicable que
ce concours de camarades autour d’un homme qui était tout le
contraire d’un vulgarisateur et qui se contentait d’exposer ses idées,
telles quelles, toutes chaudes de son ardeur intérieure, toutes hautes,
toutes hautaines même parfois et pour ainsi dire hermétiquement
hautaines. La foule ne comprenait pas, mais elle venait fascinée par le
sentiment d’une authentique grandeur. Et justement pour lui, le
maître n’avait pas d’autre rôle que de donner au
disciple le sentiment d’une grandeur.
De ce philosophe, c’est le courage qui a
été la faculté maîtresse. (id.)
I.6.b.3.
Citations
· « Répondre
par la colère à l’ordre du monde jugé mauvais »
· « Il
ne faut jamais se résigner à avoir moins que ce que l’on
désire. »
· « Je
ne sais rien de plus tragique que cette aube d’avant le duel, lorsque
Galois prit conscience qu’il n’avait plus le temps de donner ses
démonstrations »
· « L’essence
des mathématiques réside dans sa liberté »
aimait-il à rappeler [citant Cantor : « L’essence
des mathématiques, c’est la liberté »]
· « Il
y a un réel physique. […] Il y a de même un réel mathématique ».
· « Il
ne suffit pas de poser la dualité du sensible et de
l’intelligible ; il faut encore expliquer […] la genèse
du sensible à partir de l’intelligible. Or les
mathématiques fournissent justement, dans certains cas, des exemples remarquables
de détermination de la matière à partir de la forme ».
I.6.c. Présentation de son article
sur le temps.
Rédigé en 1943-1944 et publié
après sa mort en 1946
Plan :
· [Introduction] —
résumé
· Le
temps sensible et la physique mathématique — résumé
· La
théorie des équations aux dérivées
partielles — texte intégral
· La
théorie des équations différentielles et la
topologie — résumé
Voir le texte en document joint : Le
problème du temps
II. Lecture de l’article de Lautman
II.1
Les enjeux pour Lautman
II.1.a. [Introduction]
Problème : existe-t-il une formalisation
mathématique du temps ? Existe-t-il une théorie
mathématique du temps ?
Bien sûr, il existe déjà une
formalisation mathématique du temps physique : cf. forme
quadratique avec signe dissymétrique (négatif) pour t. Mais il ne s’agit pas ici de simplement
prendre mathématiquement acte d’une dissymétrie ontique
(physique) : il s’agit de générer ontologiquement
(mathématiquement) une telle dissymétrie en sorte de donner
statut ontologique non pas à la dissymétrie (l’existence du
signe « — » y suffit) mais à la
dissymétrisation. Ou encore : il s’agit non pas seulement de
prendre mathématiquement acte d’une réalité ontique
(cf. physique mathématisée) mais de formaliser une
génération ontologique de cette réalité ontique,
d’ancrer donc cette existence ontique dans une opération
ontologique.
D’où le projet d’une formalisation que
j’appellerai « à rebours » et que Lautman
appelle « a priori ». Qu’est-ce à
dire ?
On part de l’existence d’une physique
mathématisée (depuis Galilée) soit, en l’occurrence,
d’une formalisation mathématique de la dissymétrie physique
(c’est-à-dire d’équations physiques).
Le vocabulaire se dispose ainsi :
D’ordinaire une telle formalisation se déploie
dans un réseau de ses conséquences dont le schéma
général est celui-ci :
On associe ainsi des entités mathématiques x
aux objets physiques X, et l’on examine ensuite comment on peut ou non
déduire mathématiquement de x un y qui renvoie alors à l’être
physique Y. L’intérêt de ce périple est soit de
dégager Y et de le déceler ainsi comme corrélat
« logique » de X dans le modèle, soit de
comprendre « logiquement » la coexistence de X et de Y
dans le modèle.
Ici, la question posée par Lautman conduit à
un autre dispositif qu’on pourrait formaliser ainsi :
Le but ici n’est plus physique, ou ontique : il
ne s’agit pas de trouver un équivalent ontique au terme ontologique
inconnu, il ne s’agit pas de comprendre la
« logique » du temps physico-ontique. Le but est proprement
philosophique : il s’agit pour Lautman de comprendre
philosophiquement les mathématiques dans leur rapport à la
physique, soit de comprendre philosophiquement le rapport de
l’intelligible au sensible. Sa question (philosophique) est ainsi :
existe-t-il une genèse ontologique du devenir sensible ?
II.1.b. Nos propres enjeux
Il s’agit pour nous de lire ce texte en vue
d’autres enjeux : des enjeux proprement musiciens qui concernent la
théorie de l’écoute musicale.
Il va s’agir pour cela de bâtir un modèle
fictif de cette théorie mathématique dégagée par
Lautman (de cette genèse ontologique du temps sensible) en sorte de
théoriser l’engendrement possible du temps musical. Ceci peut se
schématiser ainsi, si t désigne le temps physique
et si S=>t désigne
l’engendrement mathématique d’un
« temps » (par l’opération de
différenciation d) :
Il s’agit ainsi pour nous de dégager un
modèle hérétique (car prélevé dans le monde
de la musique et non plus dans le modèle physique originel) qui
suggère par quel type d’opérations particulières le
temps musical peut être engendré. En effet, si le temps musical
n’est pas le temps chronométrique (le temps physique), alors il
procède d’opérations musicales particulières que la
mathématique peut permettre de dégager, tout du moins de
clarifier.
Notre hypothèse de travail est ici que
l’écoute musicale a à voir avec la production d’un
temps musical. Ceci présuppose que le temps musical n’est pas une
donnée mais un résultat. Plus radicalement le temps musical
n’existe pas mais il consiste en des opérations sur des
existences. Il s’agit donc ici de penser l’écoute musicale
comme production d’un temps à partir du monde de la musique en
sorte qu’il soit alors légitime de dire, après ce
moment-faveur : « Maintenant, l’espace devient
temps » .
C’est donc en ce sens d’une fiction de
modèle qu’il s’agit pour nous de penser
l’écoute musicale avec
Lautman.
Remarque
Objection d’Olivier Costa de Beauregard en
préface à la réédition de ce texte en 1977 dans la
collection 10/18 : « La monographie de Lautman est un vrai
classique de la philosophie des sciences physiques. Pour brillant qu’il
soit, le portrait qu’il trace du problème du temps appartient cependant au passé, à
l’extrême fin d’une culture classique, juste
précédant les bouleversements de la mise en place d’un
nouveau “paradigme” » .
À dire vrai cette réserve n’affecte
guère notre démarche : pour notre lecture, il ne
s’agit pas à proprement parler ici de « philosophie des
sciences » (d’ailleurs ce que Lautman pense philosophiquement
des mathématiques comme genèse ontologique n’est pas
raturé par le fait que sa démonstration se cantonne à une
physique datée du temps) mais d’explicitation d’un
schème ontologico-mathématique interprétable comme
structure ontique-physique du temps sensible. Que ce temps sensible soit
« newtonien » plutôt que
« minkovskien » ou
« feymanien »
n’est pas, pour nous musiciens pensifs, une réserve
déterminante : elle suggèrerait simplement que le temps
musical que nous essayons de penser avec
Lautman serait classique
plutôt que quantique ou relativiste.
Que serait-ce à vrai dire qu’un temps musical
sensible de type quantique ou relativiste ? S’il est sûr que
ceci ne saurait consister en quelque vague
« métaphore » bâtie sur quelque
« nuage probabiliste », il n’y a nulle raison de
penser que la question même de « transposer » en
musique les nouvelles théories physiques du temps — de
composer un temps musical qui serait un équivalent en musique des
nouvelles conceptions physiques — ait quelque pertinence théorique
(qu’il en aille différemment pour
« l’inspiration » de tel ou tel est un point bien
connu : nul besoin d’une théorie embryologique des oiseaux
pour s’en inspirer musicalement ; ceci fera simplement qu’on
jugera de la musique inspirée par les oiseaux à l’aulne non
de sa consistance ornithologique mais de manière purement musicale, en
effaçant l’échafaudage fantasmatique du compositeur).
Plus généralement, cette question touche
à un point qu’on examinera lors de notre dernière
séance : la musique est-elle, comme on le dit souvent, art du temps
ou n’est-elle pas plutôt art de l’écoute ? Ou
encore : la vérité de la musique (autant dire sa
beauté) est-elle celle du temps qu’elle compose ou, plus
essentiellement, celle de l’écoute qu’elle organise (ce qui
implique alors, si l’on veut rompre le cercle
autoréférentiel qui se profile en cet endroit, de penser
l’écoute non plus comme réception exogène de
l’œuvre par le musicien mais comme travail endogène de
l’œuvre auquel le musicien écoutant adhère et
s’incorpore).
II.2
Le parcours de Lautman
Lisons donc l’article de Lautman avant d’en
mettre à l’œuvre la puissance d’élucidation dans
le champ qui est le nôtre.
Voir
résumé de Le
problème du temps
II.2.a. Le temps sensible et la physique
mathématique
II.2.a.1.
Trois propriétés, deux aspects
Albert Lautman distingue trois propriétés du
temps sensible qu’il regroupe en deux sous-ensembles :
a) le temps est une direction (2)
irréversible (1) ;
b) le temps est le paramètre
d’évolution des choses (3).
II.2.a.2.
Indépendance des deux aspects
Le point capital est que b peut différer de a.
Ainsi Lautman montre que le dt du principe d’Hamilton peut être
remplacé par le ds du
principe de Maupertuis c’est-à-dire que la longueur de l’arc
de courbe peut ici remplacer le temps comme paramètre.
Il y a donc indépendance relative des
propriétés dimensionnelles (géométriques) et des
propriétés paramétriques (dynamiques) du temps physique.
Or pour qu’il y ait temps véritable (et non pas
« deux temps » séparés), il faut un
recouvrement des deux aspects (dimensionnel et paramétrique, ou
géométrique et dynamique) c’est-à-dire qu’il
faut que la paramétrisation des évolutions se fasse par une dimension
orientée.
II.2.a.3.
Équivalence ou opposition : une même
dualité
Lautman va montrer que cette indépendance devient
· une
équivalence en mécanique classique,
· une
opposition en mécanique ondulatoire.
Équivalence en
mécanique classique ?
En effet le principe dynamique d’Hamilton
(paramétré par t) peut
s’exprimer sous une forme géométrique où t est devenu une coordonnée dissymétrique :
Opposition en
mécanique ondulatoire ?
Se reporter à l’article lui-même.
Pour Lautman, cette équivalence ou cette opposition
de a
et b
sont deux modalités d’une même dualité a / b. Ces
deux figures distinctes sont en effet compatibles avec le principe du temps
comme « l’un-d’un-deux » (c’est le sens
du mot « dualité »), que ce deux soit celui
d’un accord-recouvrement (cas de la mécanique classique), ou
qu’il soit celui d’un discord-opposition (cas de la
mécanique ondulatoire).
II.2.a.4.
Une différence de signe à engendrer
On a à
faire à deux formalisations différentes de la
propriété a (le temps comme direction orientée) :
· la
première géométrique : le temps est une direction
dotée d’une flèche irréversible ;
d’où l’image d’un cône tourné vers le
futur ;
· la
seconde algébrique qui se donne comme une différence de signe
dans une synthèse spatio-temporelle :
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 – c2dt2
Mais à vrai dire pourquoi l’orientation de la
dimension temporelle se traduit-telle en un signe négatif dans la
synthèse ?
Jusqu’ici Lautman n’a fait qu’examiner les
formalisations de la physique mathématisée (ses équations
donc).
Le problème est : comment le paramétrage
d’une entité (synthétique) par une de ses dimensions
peut-il engendrer une différence de signe qui indexe,
algébriquement, la dissymétrie géométrique
engendrée pour cette dimension ? Comment ce paramétrage
peut-il dissymétriser la dimension retenue, cette dissymétrie se
marquant de l’apparition d’une différence de signe ?
Pour examiner
dans quelles conditions une inversion de signe (propriété
algébrique) peut découler d’une dissymétrie de dimension
(propriété géométrique), Lautman interroge les mathématiques.
Objectif : engendrer ontologiquement cette inversion algébrique
à partir d’une dissymétrisation.
Il va pour cela examiner deux théories
mathématiques :
· celle
des équations aux dérivées partielles,
· celle
des équations différentielles.
II.2.b. La théorie des
équations aux dérivées partielles.
Albert Lautman attaque maintenant sa déduction
« a priori ».
1) Intégrer une
équation aux dérivées partielles (chercher la fonction u de xi définie par
l’équation F = 0), c’est définir un
cône ou faisceau de directions caractéristiques.
On peut paramétrer les variables xi de la
fonction u recherchée au moyen
d’une nouvelle variable t et
générer ainsi de nouvelles équations
différentielles définissant cette fois des courbes
caractéristiques :
dxi/dt = ∂F/∂pi (avec pi = ∂u/∂xi)
dpi/dt = - ∂F/∂xi
Or on retrouve là les équations de la
dynamique d’un point dont F est
l’énergie et où t est le temps.
Cf. rappel des équations d’Hamilton (où
H remplace F et q remplace x) :
dqi/dt = ∂H/∂pi
dpi/dt = - ∂H/∂qi
Ainsi l’espace purement mathématique des xi se trouve configuré en sorte
d’être directement interprétable physiquement comme
équation d’énergie paramétrée par le temps.
2) La seconde étape
est de générer une dualité dimension /
paramètre constitutive du temps.
L’idée va être ici de distinguer une
variable pour résoudre l’équation par rapport à la
dérivée correspondante.
On distingue donc dans les xi une variable xn+1 des
autres x1, …, n.
L’équation F initiale se
transforme alors en l’équation {pn+1 + H} et en
renommant t la variable
distinguée xn+1, ceci conduit aux nouvelles
équations suivantes des courbes caractéristiques :
dxi/dt = ∂H/∂pi
dpi/dt = - ∂H/∂xi
Ces équations sont à nouveau identiques aux
équations physiques tirées du principe d’Hamilton.
On a donc une équivalence absolue entre le rôle
de paramètre et le rôle de coordonnée dimensionnante. En
conclusion la dualité des propriétés sensibles a bien une
base ontologique.
3) La question est
alors : cette dimension participe-t-elle à une synthèse de
manière spécifique c’est-à-dire dissymétrique
des autres dimensions ?
Lautman montre que oui puisqu’on démontre
qu’on peut associer à toute équation de ce type une forme
quadratique de type hyperbolique c’est-à-dire comportant un
changement de signe pour l’une de ses dimensions, soit une forme du
type :
X12 + … + Xn-12 - Xn2
*
Au total, Lautman a montré ceci : on peut
résoudre une équation aux dérivées
partielles — c’est-à-dire trouver la fonction à
plusieurs variables u(xi)
définie par l’équation F = 0 — en
singularisant l’une de ces variables (xn+1) et résolvant
alors l’équation par rapport à la dérivée de
cette variable. Ceci revient en fait à paramétrer toutes les
variables xi
composant u au moyen de l’une
d’entre elles : xn+1. On démontre alors
qu’existe une forme quadratique (hyperbolique) associable à la
fonction u définie par
l’équation F telle
que la variable particularisée xn+1 y intervienne avec la
dissymétrie algébrique d’un signe inverse. Or toutes ces
propriétés sont directement interprétables dans le
modèle physique initial comme propriété du temps sensible.
Ceci montre que les opérations mathématiques
ici rappelées formalisent adéquatement le temps physique.
Avant de bâtir sur cette base une fiction de
modèle musical, examinons un dernier point tout à fait
intéressant pour nous du parcours de Lautman.
II.2.c. La Théorie des
équations différentielles et la topologie
Dans une dernière partie, Lautman va dégager
la propriété suivante : l’existence d’une
direction orientée (indexée par le défaut de signe
relevé plus haut dans une forme quadratique de type hyperbolique)
suppose mathématiquement une compacité globale de l’univers
ce qui veut dire que le temps ainsi conceptualisé a un caractère
cosmogonique.
Ce point intéresse directement le musicien
pensif : il suggère que la capacité des œuvres à
composer un temps musical a à voir avec la capacité de la musique
de former à soi seule un monde à part entière. Il y aurait
donc un lien intrinsèque entre la capacité des œuvres
musicales à penser un temps musical spécifique et la
capacité de la musique d’organiser un monde autonome .
On dira alors que ce lien est de type archéologique
puisqu’il enracine les œuvres dans le monde de la musique.
Laissons ici les dernières remarques de Lautman
concernant la dynamique : elles seraient certes très intéressantes
à examiner pour distinguer différents types de temps musical
puisqu’elles suggèrent trois modalités de
déploiement temporel :
· Un
déploiement déterministe qu’on pourrait musicalement nommer
développement ;
· Un
déploiement finaliste qu’on pourrait musicalement nommer anti-développement ou développement téléologique ;
· Un
déploiement réitéré qu’on pourrait
musicalement nommer réexposition.
Mais concentrons-nous ici sur ce que ce texte philosophique
suggère quant aux opérations musicales susceptibles de composer
un temps à l’œuvre.
II.3
Les enjeux pour nous : penser le temps musical avec Lautman
Quels enseignements tirer pour nous de ce travail de
Lautman ? Comme indiqué, il s’agit là de penser le
temps musical avec Lautman. La
méthode proposée pour déployer un tel
« avec » sera celle de la fiction de
modèle. Elle consistera à
glisser sous la théorie de Lautman un modèle fictif : celui
de la musique (voir schéma plus haut en II.1.b).
Reprenons, étape par étape, le parcours de
Lautman en nous demandant comment il peut nous aider à penser le temps musical
et l’écoute.
Intermède :
présentation du moment-faveur dans Structures II
II.3.a. Première
étape (cf. II.2.a.1)
Les trois propriétés sensibles du temps (1. irréversibilité ;
2. dimension ; 3. paramétrage) sont
interprétables en musique selon ce que j’appellerai les triangles
duaux de la temporalité musicale (où les sommets de l’un
sont les côtés de l’autre).
Trois figures de la temporalité musicale (triangle
I) :
· L’instant désigne un point présent sans
épaisseur susceptible d’orienter une chronologie par un
partage entre l’avant et l’après (entre passé et
futur) ;
· Le
moment désigne le présent
comme durée propre ;
· Le
sens désigne l’orientation
de la durée, que cet écoulement temporel soit celui
microscopique du son (avec sa tête — attaque — distinguable de sa queue — extinction) ou celui macroscopique du développement.
Trois dimensions de la temporalité musicale (triangle
II) :
· Le
présent qui peut être
le présent sans épaisseur de l’instant ou le
présent du moment qui dure.
Il matérialise
musicalement la propriété 3
de Lautman : le paramétrage.
· La
durée qui peut être
extatique (durée du moment) ou dynamique (durée d’un
sens d’évolution : développement,
déploiement, exposition…).
Elle matérialise
musicalement la propriété 2
de Lautman : la direction.
· L’orientation qui peut être l’effet d’une
coupure par l’instant mobile ou relever d’un sens
d’évolution.
Elle matérialise
musicalement la propriété 1
de Lautman : l’irréversibilité.
II.3.b. Deuxième étape
Lautman partage ces trois propriétés du temps
en deux sous-ensembles : 3 face à 1+2, soit le paramétrage
face à la direction orientée.
Dans notre interprétation, ceci constitue
l’instant présent face à la durée orientée
d’un flux.
II.3.b.1.
Remarques
Première remarque.
On pourrait travailler musicalement sur d’autres
subdivisions des trois propriétés en deux sous-ensembles :
— sur la flèche d’un sens face
à la durée du présent (1 face à 2+3) ;
— sur la durée du présent face
à la coupure sans durée d’un passé et d’un
futur (2 face à 1+3).
Deuxième remarque
La manière de partager de Lautman (3 face à
1+2) peut conduire à une interprétation musicalement dégradée :
en un partage de l’hors-temps et de l’en-temps — c’est
ainsi que Xenakis propose de concevoir le temps musical —. Ici le
temps concentrerait sa modalité propre d’existence en sa
capacité de paramétrer ce qui est hors de lui (une dimension
ordonnée).
Il s’agit là à mon sens d’une
vision technicienne et inframusicale du temps musical. Il est clair que le
temps musical, comme le temps physique pour Lautman, est l’articulation
des trois propriétés sensibles et ne se réduit pas
à son opération de paramétrage des évolutions .
Troisième remarque
Musicalement, il n’y a pas vraiment de raison de
privilégier le regroupement 1+2|3 prôné par Lautman par
rapport aux deux autres : son mode de regroupement tient à
l’enjeu de son modèle propre : le temps chronométrique
de la physique. Notre modèle est tout autre et notre
interprétation du travail de Lautman vise à penser un temps
musical qui précisément n’est pas isomorphe au temps
chronométrique. Il n’y a donc pas de raison musicale
intrinsèque d’organiser le temps musical sur le modèle de l’organisation
du temps physique.
Cependant il nous faut suivre le parcours de la
pensée de Lautman pour voir comment il élabore sa théorie
sur la base de son modèle physique en sorte de glisser notre propre
interprétation selon les besoin d’un autre type de temps que le
temps chronométrique.
II.3.c. Troisième étape (cf. II.2.a.2)
Dans les trois propriétés du temps, Lautman
distingue le paramétrage (3) de la dimension orientée (1+2) pour
une raison précise — qui, comme on va le voir,
intéresse directement la musique — : il s’agit
pour lui d’exhausser l’indépendance possible de la
propriété paramétrage
par rapport aux deux autres propriétés.
Musicalement, ceci met l’accent sur le fait
qu’il serait tout à fait possible de paramétrer le discours
musical selon d’autres dimensions que celle dessinée par
l’instant présent mobile, disons l’instant t. Donnons-en plusieurs exemples.
II.3.c.1.
Exemple 1 : la seconde audition comme intégrale de
Lebesgue
La totalisation à laquelle procède la seconde
audition peut être formalisée comme une intégrale de
Lebesgue c’est-à-dire comme une sommation à partir des
valeurs de f(t) – des ordonnées donc — et non plus
à partir de t — de l’abscisse —. Prenons le
cas simple d’une mélodie :
Auditionner cette mélodie selon la seconde
modalité va consister à sommer son parcours non plus selon son
parcours temporel mais en examinant
1) sa tessiture totale (ses minimum et maximum) :
ici do et la ;
2) l’ensemble des hauteurs énoncées
au moins une fois dans cette tessiture : ici {do, ré, mi, fa, sol,
la} ;
3) la fréquence de chacune des hauteurs en sorte
de discerner les éventuels points d’accumulation signant
l’existence de notes-pivots, de toniques, de polarités modales,
etc.
|
La
|
2
|
|
Sol
|
3
|
|
Fa
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2
|
|
Mi
|
2
|
|
Ré
|
2
|
|
Do
|
3
|
|
6 hauteurs
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= 14
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On discerne ici le poids singulier de deux hauteurs : do et sol,
soient bien sûr la tonique et la dominante.
Or cette manière de procéder peut servir de
fondement à un paramétrage de la dite mélodie en
transformant chacun des nombres cardinaux obtenus pour chaque hauteur en nombre
ordinal. L’exemple suivant figure cette opération.
Ordre du
paramétrage :
C1-C2-C3-D1-D2-E1-E2-F1-F2-G1-G2-G3-A1-A2
Correspondance avec
ordre chronologique :
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La
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A1
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A2
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Sol
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G1
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G2
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G3
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Fa
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F1
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F2
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Mi
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E1
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E2
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Ré
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D1
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D2
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Do
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C1
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C2
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C3
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Bien sûr, ce paramétrage de la mélodie
par les hauteurs (par les « ordonnées » de
l’intégrale de Lebesgue) ne respecte plus l’ordre
chronologique (c’est-à-dire celui des « abscisses »)
mais on a bien cependant un paramétrage intégral puisque chaque « événement »
de la mélodie est indexé sous un seul nom-numéro et que
tous ces noms-numéros sont ordonnés (il y a bien le premier, le
second, le troisième, etc.).
II.3.c.2.
Exemple 2 : un paramétrage chronologique mais non
chronométrique
On peut paramétrer une pièce de musique par un
ordre qui respecte la continuité chronologique (ce que ne faisait pas
notre exemple précédent) mais qui ne soit cependant pas conforme
au paramétrage chronométrique. Il suffit pour cela de
paramétrer cette pièce par sa partition en adoptant pour mesure
linéaire horizontale les dimensions spatiales du papier : on
paramétrera par exemple la pièce par les numéros de page,
ou par les numéros de mesures, sans tenir compte ici des tempi, du
rubato, des accelerandos, etc. C’est somme toute ce que fait tout un
chacun quand il dit : « prenons cette œuvre telle page de
telle édition, et/ou au troisième temps de la mesure
256… ».
On peut bien sûr en théorie passer de
manière biunivoque d’un tel paramétrage à un
paramétrage strictement chronométrique d’une
interprétation donnée et ainsi indexer un enregistrement en
faisant correspondre le temps « réel »
écoulé à tel ou tel instant remarquable de
l’œuvre. Mais musicalement, le paramétrage non
chronométrique quoique chronologique de la partition
n’équivaut nullement à un paramétrage
chronométrique. Ce qui peut aussi se dire, contre l’axiome de
Gérard Grisey : la partition musicale n’est nullement une
carte ! Et l’écriture
musicale n’est nullement une notation, en particulier proportionnelle.
L’image d’un câble torsadé…
Sans trop m’étendre ici sur ce point, que je
voudrais développer lors d’un cours annuel complet — en
sorte d’accorder la même attention musicienne à
l’écriture que celle accordée cette année à
l’écoute —, donnons simplement une image : pensons
à un câble torsadé constitué de nombreux brins
entortillés les uns sur les autres. On peut distinguer deux
manières de métrer un tel câble tendu en ligne
droite : soit en mesurant de l’extérieur la longueur du
cylindre obtenu entre deux de ses sections, soit en mesurant la longueur
d’un des brins entre ces deux sections. On configure ainsi deux modes de
parcours — de paramétrage — sensiblement
différents (même si théoriquement il est toujours possible
de passer biunivoquement de l’un à l’autre) :
l’un paramètre le câble de l’extérieur de
lui-même selon une longueur résultante, l’autre le parcourt
de l’intérieur de son déroulement en sélectionnant
l’un des brins torsadés pour repérer les différentes
positions.
II.3.c.3.
Exemple 3 : paramétrage iso-chronologique
Pour figure un autre paramétrage possible qui ne se
fasse pas selon l’instant t,
imaginons une pièce de musique pour petite formation instrumentale dans
laquelle l’un des instruments — mettons le violoncelle —
aurait pour seule contribution d’exécuter un vaste glissando
allant par exemple du grave vers l’aigu. On pourrait alors
paramétrer cette pièce par la hauteur atteinte par le violoncelle
en sorte que cette fois — différence avec notre premier
exemple de l’intégrale de Lebesgue —
l’évolution des hauteurs soit isomorphe à celle de la
chronologie. On a une iso-chronologie même si l’on n’a pas
nécessairement une iso-chronométrie (il suffit pour cela
d’imaginer que ce glissando ascendant se fasse selon des vitesses variables
en cours de pièce).
Lautman attire donc notre attention sur le fait que le paramétrage
peut très bien se concevoir indépendamment de la dimension
orientée du temps. Mieux, il insiste sur le fait qu’il y a
vraiment temps lorsque le
paramétrage se fait selon celle des dimensions du
phénomène qui est orientée et non pas selon une autre. Et
Lautman attire notre attention sur le fait que cette correspondance ne va nullement
de soi.
II.3.d. Quatrième étape (cf. II.2.a.4)
L’étape suivante de la démonstration de
Lautman va être de montrer que sélectionner une dimension pour
s’en servir comme paramètre conduit à la
dissymétriser par rapport aux autres dimensions (non paramétrantes).
Le chemin est donc maintenant un peu différent :
on n’examine pas l’autonomie relative de 1 par rapport à 2+3
mais on va voir de quelle manière le fait d’associer 3 à 2
va générer 1 :
2+3Þ1
En quel sens dissymétrise-t-on la dimension que
l’on sélectionne pour paramétrer les autres ? Lautman
va montrer qu’on l’affecte ainsi d’un signe inverse (signe
« - » à la place de signe
« + ») de celui des autres dimensions dans une
synthèse générale (de toutes les dimensions). Or il y a
équivalence entre dissymétrie algébrique (entre signes
« moins » et « plus ») et
dissymétrie géométrique (entre directions fléchée
et non fléchées). Donc, dans certaines conditions bien sûr,
sélectionner une dimension parmi d’autres pour paramétrer
l’ensemble lui fait jouer une rôle synthétique de temps et pas seulement une rôle paramétrique de temps.
Lautman recourt pour cela à la théorie des
équations différentielles.
Rappelons de quoi il s’agit.
Il s’agit de trouver une fonction inconnue u à partir de conditions portant sur ses
dérivées (l’équation F=0 matérialise le
système de ces conditions). Trouver la fonction u inconnue mais prescrite par le conditionnement que
lui impose l’équation F se dit : intégrer l’équation différentielle en question.
II.3.d.1.
Il y a deux sens différents du mot
« intégrer »
On a déjà utilisé ce mot
d’intégration à propos de l’audition. J’ai
même proposé de faire de ce mot l’emblème
mathématique de l’audition. Comment alors comprendre qu’on
le retrouve au lieu même où nous tentons de saisir le propre du
travail de l’écoute ? Ceci voudrait-il dire
qu’écouter, somme toute, équivaut à
auditionner ?
L’intégration pour l’audition : une sommation vers
l’aval (par totalisation d’un mapping)
Il y a ici deux distinctions importantes.
1) Une intégrale définie
Dans le cas de l’audition, l’intégrale
mobilisée est une intégrale mathématiquement dite
« définie » : elle
« définit » la valeur de l’intégration
de ƒ sur un intervalle donné [a, b]º[début, fin] :
Dans le cas de l’écoute on raisonne sur une
intégrale dite « indéfinie »
c’est-à-dire sur l’expression algébrique
caractérisant une fonction (en vérité un ensemble de
fonctions équivalentes à une constante près) :
2) Un positivisme du mapping
Ceci touche au point suivant : pour
l’écoute, il s’agit de trouver une fonction en
général, pas sa valeur concrète intégrale sur un
intervalle donné. À l’inverse, pour l’audition,
l’inconnue n’est pas la fonction intégrale comme telle mais
la valeur concrète qu’elle prend sur tel intervalle concret. En un
certain sens dans l’audition la fonction à intégrer
n’est pas donnée par son expression algébrique mais par
l’ensemble des valeurs qu’elle prend en chacun des points de
l’intervalle (par son « mapping ») et l’objectif de l’audition
est de sommer ces valeurs : l’audition calcule à partir du
résultat sonore offert par la pièce de musique examinée.
Elle a rapport « positiviste » à cette
pièce dans la mesure où elle objective la matière sonore
présentée, la découpe en entités manipulables et
entreprend de les totaliser.
2) Une indifférence à l’amont
Le clivage avec l’écoute se donne en ce point
précis : l’audition ne s’interroge nullement sur
d’où viennent les valeurs résultantes qu’elle
constate. L’audition ne tente pas de remonter en amont du donné pour se demander : que
traduit-il ? Qu’exprime-t-il ? D’où
provient-il ? L’audition traite les résultats sonores comme
pures données à partir desquels elle calcule en aval (combien de notes par exemples, combien
d’instruments, combien de hauteurs-pivots, quelles tonalités,
etc.) là où l’écoute va se spécifier
d’interroger l’amont : d’où procède ce qui
est présenté à l’oreille ? De quelles
intentions à l’œuvre découle ce donné ?
Ces intentions qui sont à l’œuvre et nullement au
compositeur, je propose de les nommer intension de l’œuvre — je m’en
expliquerai plus longuement dans
le prochain cours, plus centré sur le poème après celui-ci
consacré au mathème.
« Intégrer » pour l’écoute :
une résolution vers l’amont
On voit donc qu’intégrer n’a pas le
même sens pour l’écoute : outre le fait technique que
Lautman nous suggère — l’intégration, pour
l’écoute, est celle indéfinie d’une équation
différentielle, non celle définie d’une fonction
présentée par sa table des valeurs, par son mapping —,
le point est que l’écoute vise à connaître la
fonction u qui est au principe de ce qui
musicalement apparaît et dont l’interrogation prend la forme de système
conditionnant ses dérivées, soit l’équation que Lautman
écrit :
F(xi, u’xi)=0
II.3.d.2.
Interprétation musicale
Mon hypothèse interprétative va consister ici
à poser que le moment-faveur est le moment où cette
équation F est donnée, c’est-à-dire le moment
où quelque condition s’exerçant moins sur u que sur ses dérivées u’xi (= qi) va être
donnée.
Prenons l’exemple de notre moment-faveur du
jour : celui discerné dans Structures II.
On dira que la violence y apparaît comme dimension
fondamentale de toute l’œuvre ; mieux : que la question
« brider ou libérer la violence contenue »
apparaît comme une préoccupation subjective globalement à
l’œuvre. Or cette question « brider |
débrider la violence ? » porte bien sur une
dérivée par rapport à la dimension « violence » :
il ne s’agit pas en effet pour qui écoute (après le
moment-faveur) de se demander s’il y a beaucoup ou peu de violence dans
tel ou tel passage mais bien plutôt d’écouter le travail
fait par l’œuvre sur la violence, l’opération à
l’œuvre pour contenir ou libérer la violence latente, bref de
suivre le traitement différentiel auquel l’œuvre
procède vis-à-vis de cette dimension (ou énergie)
fondamentale dont le moment-faveur vient de nous révéler
l’existence. Le moment-faveur ainsi nous révèle qu’il
y a une violence fondamentale à l’œuvre dans cette œuvre
par le biais singulier d’une différentielle de cette
violence : son débridage complet. Si l’on peut donc parler
d’une fonction V(t) (la violence active à l’instant t), le moment-faveur nous révèle son
existence opératoire au moyen d’un ∆V qui est tout aussi
bien un ∂V/∂t.
Ou encore : le moment-faveur est ce moment où
une différenciation de la violence apparaît comme question
pertinente pour toute l’œuvre, comme question susceptible
d’identifier l’œuvre en sa globalité, non pas en vue de
sa sommation intégrale (audition) mais en vue de son intelligence
globale.
II.3.e. Cinquième étape (cf. II.2.b)
Cette équation différentielle livrée
par le moment-faveur, il va s’agir ensuite de l’intégrer,
c’est-à-dire de la résoudre, c’est-à-dire de
dégager la fonction u,
c’est-à-dire d’expliciter sa formule algébrique (et
non pas de sommer ses résultats sur tel intervalle défini :
problématique de l’audition).
Dégager cette formule algébrique est
musicalement interprétable ainsi : il s’agit de
dégager l’intension globale
et synthétique à l’œuvre. On posera ainsi
l’interprétation suivante de la formalisation construite par
Lautman : le moment-faveur est la donation d’une équation
différentielle portant sur l’intension, équation que l’écoute va
ensuite entreprendre — après le moment-faveur en
question — d’intégrer c’est-à-dire de
résoudre.
Comment l’écoute va procéder pour ce
faire ? Revenons pour cela à la démarche de Lautman.
II.3.e.1.
Premier aspect
La résolution de l’équation va passer
par le paramétrage de toutes les variables (ou dimensions) par
l’une d’entre elles. On obtient ainsi une nouvelle équation
H qui sera intégrable par rapport à la variable paramétrante
sélectionnée.
Distinguer deux opérations
On peut et doit distinguer en fait deux
« temps » dans cette opération :
— Il s’agit de paramétrer toutes les
variables entrant dans la composition de la fonction inconnue u par un unique paramètre t. Ceci permet de transformer l’équation
initiale F=0 en un nouveau système de plusieurs équations
uniquement en t. On est ainsi
passé d’une seule
équation synthétique F à plusieurs variables à plusieurs équations mais à une seule variable t. L’avantage pour la pensée est d’avoir ainsi
déployé une analytique diversifiée du conditionnement
synthétique F. On est passé d’une massivité
concentrée (en F) à une série de conditionnements
parcellaires tous décrits par une même variable ou dimension.
— En même « temps »
( !), cette unique variable paramétrante est choisie parmi les
variables concernées (de u) et
non pas apportée de l’extérieur. Ainsi l’analytique
de F ouverte par la paramétrisation va se faire selon une des variables
entrant dans la composition générale (de u comme de F).
Interprétation musicale ?
Qu’est-ce que cette formalisation peut vouloir dire
pour nous, c’est-à-dire en suivant le fil de notre interprétation ?
Ceci : il s’agit désormais (après
le moment-faveur) de dégager l’intension à l’œuvre par un travail qui
opère principalement sur la base de la dimension paramétrante
suggérée par le moment-faveur lui-même. Non pas que
l’écoute va ne suivre que le travail de cette dimension mais
plutôt qu’il va « mesurer » le travail de
chacune des autres dimensions à l’aune du travail de cette
dimension paramétrante (c’est exactement cela qu’inscrit la
formule ∂xi/∂xn+1).
Dans notre exemple du jour, Structures II, cela veut dire que l’écoute va
travailler après le moment-faveur non pas seulement en épousant
les variations de la violence mais surtout en utilisant ce « fil
d’écoute » (des variations de la violence) comme mesure
générale de ce qui se passe — ce fil
d’écoute est somme toute l’interprétation dans notre
modèle musical de la courbe caractéristique dégagée
par la formalisation mathématique —. L’écoute va
ainsi référer les différentes composantes du « ce
qui se passe » musicalement (les modifications de registres,
d’intensités, de densités, etc.) à la modification
de cette « violence » qui lui est apparue comme une
dimension centrale de l’intension à l’œuvre.
C’est en
tricotant avec chacune de ces composantes — et le tricot est rendu
possible parce qu’il n’y a ici qu’une dimension
paramétrante (commune à toutes les équations
déduites de F) qui noue en faisceau la pluralité des investigations
analytiques — que l’écoute va résoudre l’intension c’est-à-dire qu’elle va, en
épousant le travail synthétique de l’intension à l’œuvre, dégager cette intension.
II.3.e.2.
Second aspect
En quoi tout ceci a-t-il à voir avec le temps, et
singulièrement pour nous avec le temps musical ?
La réponse de Lautman est que cette dimension
paramétrante (propriétés 2 & 3) va être ipso
facto dotée de la première propriété
c’est-à-dire d’une dissymétrie par rapport aux autres
dimensions non paramétrantes ; très exactement, cette dimension
va être dotée d’une dissymétrie algébrique
interprétable comme dissymétrie géométrique.
Il faut ici encore distinguer deux aspects dans la
démonstration de Lautman :
— D’abord on retrouve la forme même
des équations d’Hamilton où c’est bien le temps qui
occupe la place de la dimension paramétrante.
— Mais surtout « on
démontre » qu’on peut associer à ces
équations une forme quadratique de type hyperbolique
c’est-à-dire comportant une variable et une seule de signe
opposée à celui des autres. C’est donc au titre de sa
participation à cette forme hyperbolique que la dimension
paramétrante s’avère avoir été dissymétrisée.
Interprétation musicale ?
Quelle est cette nouvelle forme quadratique dans
l’interprétation musicale qui est la nôtre,
c’est-à-dire à quoi notre dimension paramétrante
peut-elle bien contribuer de manière dissymétrique ?
Mon hypothèse interprétative est qu’il
s’agit là d’une synthèse musicale
particulière, qui porte un nom bien connu : celui de rythme.
Ceci veut dire que l’écoute va tricoter une synthèse
rythmique où la dimension apparue dans le moment-faveur comme
paramétrante (la dimension violence
dans notre exemple du jour) supporte une charge particulière, centrale,
qui la dissymétrise par rapport aux autres et lui confère un
rôle de vertébration du temps musical.
Ainsi dans le Rythme comme synthèse, le rythme propre
à la dimension paramétrante joue un rôle dissymétrique
par rapport aux rythmes analytiques des autres dimensions et ce jeu est
l’opération même qui mérite d’être
nommée « temps musical », opération dont le
résultat est proprement la production d’un Rythme
synthétique — qu’on proposera de renommer
poétiquement la fois prochaine inspect… —.
Détaillons tout cela.
— Il faut d’abord distinguer rythme analytique et Rythme synthétique.
• Le rythme analytique est celui
d’une dimension musicale particulière en tant qu’elle est
différenciée selon le temps. Il désigne communément
la durée d’un phénomène, plus analytiquement la
durée d’une dimension particulière d’un phénomène :
on parlera d’un rythme des hauteurs d’une mélodie pour
indiquer la succession des durées de chaque hauteur
énoncée. De même on parlera d’un rythme
d’intensités basé sur les durées où telle
intensité est maintenue, d’un rythme de tonalités ou de
fonctions harmoniques, ou d’un rythme instrumental, etc.
• Le Rythme synthétique est
l’interaction de ces différents rythmes analytiques, leur
« somme synthétisante ».
— Dans cette synthèse, le rythme
analytique de la dimension particularisée (la dimension qui est devenue
paramétrante) va jouer un rôle spécifique
(dissymétrique). Dans notre exemple, il va y avoir
génération d’un rythme analytique tenant aux variations
d’intensités de la violence mais ce rythme analytique
lui-même va jouer un rôle singulier par rapport aux autres rythmes
analytiques (des hauteurs, des registres, des intensités, de
l’usage de l’un ou l’autre des deux pianos, etc.).
Pour analyser cela, il faut prendre mesure du fait
qu’en musique les durées jouent un rôle tout à fait
singulier. On a pris l’habitude, depuis le sérialisme
généralisé, de distinguer quatre dimensions de
l’espace musical : les durées, les hauteurs, les
intensités et les timbres. Messiaen, comme l’on sait, a le premier
proposé d’étendre aux trois autres dimensions les
opérations combinatoires inventées par le premier
sérialisme (dodécaphonique) pour les seules hauteurs. Mais ces
pratiques ont buté compositionnellement — ce n’est pas
le lieu de le démontrer ici quoique la chose ait une considérable
importance — sur le fait qu’on ne compose pas avec les
durées comme on peut le faire avec les hauteurs (la chose pourrait
également être dite pour les intensités et les timbres mais
pour d’autres raisons musicales que celles qui concernent les
durées).
Qu’est-ce que les durées ont de propre ?
Elles ont ceci de propre — qui concerne au premier chef toutes nos
réflexions du jour — qu’une durée est un intervalle de temps quand les hauteurs, les intensités
et les timbres ne sont pas des intervalles mais des points de leurs espaces respectifs. Une durée est
une différentielle de
l’instant t et, de ce point
de vue, une durée serait plus homogène à un intervalle de
hauteurs ou à un crescendo qu’à un « la
bémol » ou qu’à un
« mezzo-forte ».
Si l’on voulait ainsi préciser la fonction u
que notre équation F cherche à connaître, il faudrait
l’écrire : u(h, i, q, t) et non pas u(h, i, q, d).
Le point précis est que différencier une dimension selon le
paramètre t, c’est
précisément produire des durées, donc du rythme.
Ainsi différencier h(t), c’est calculer
∂h/∂tº∆h/∆t où
∆t=durée !
On a confirmation intuitive de ce point par le fait
qu’une durée musicale est précisément définie
comme l’intervalle ∆t tel que ∆h=0 (la durée
d’une hauteur est l’intervalle de temps pendant lequel cette
hauteur ne change pas).
