Comment, à Bagdad (IX°-XII° siècles), la pensée algébrique s’est progressivement émancipée de son berceau langagier (arabe)

(séminaire MamuX, Ircam, 5 décembre 2014)

François Nicolas

[ diapositives ]

Dès le départ, l’algèbre s’affirme comme nouveau continent mathématique, dialectisant les antiques continents arithmétique (qui calcule ses propositions à la lettre-chiffre) et géométrique (qui démontre ses propositions axiomatiquement), sans se contenter donc de fournir à l’État abbâsside de nouvelles techniques de gestion en matière de cadastres, d’héritages, d’impôts, de navigations, de géolocalisations, etc.

En imbriquant d’une nouvelle manière calculs (arithmétiques) et démonstrations (géométriques), l’algèbre va établir un pont entre les deux continents, radicalement disjoints depuis que les Grecs ont découvert – crise des irrationnels - la scission radicale des quantités (nombres arithmétiques d’un côté, grandeurs géométriques de l’autre).

Schématiquement, voir le développement parallèle d’une arithmétisation de l’algèbre (d’Al-Karajî à Al-Samaw’al [1]) et d’une géométrisation de l’algèbre (d’Abû Kâmil à Al-Khayyâmî [2])

Pour devenir ce nouveau continent contribuant à l’unification générale des mathématiques, l’algèbre va s’émanciper de son fonctionnement langagier primitif et se doter d’un mode propre de rationalité, fondé sur l’univocité d’un calcul à la lettre (« calcul de la poussière ») qui ne dépende plus de l’équivocité propre à la langue commune.

Cette nécessité d’univocité non langagière est pour l’algèbre d’autant plus vive que son berceau langagier [3] (la langue arabe du IX° siècle, étendue grâce aux adjonctions produites au VIII° siècle par al-Khâlil puis Sîbawayhi [4]) s’avère, à différents titres, cultiver l’équivoque dialectique [5] : mots à double sens nommant l’unité de contraires plutôt que leur division (les ‘aDdâd), affirmation de la singularité par contraposition exceptionnelle sur fond de néant (« lâ… ‘illâ… » : « nul… sauf… »), distinction grammaticale des types de mots (« noms-verbes-particules ») par leurs interrelations syntaxiques formelles plutôt que par leurs fonctions sémantiques, rhétorique « sémitique » [6] cultivant la symétrie circulaire plutôt que la linéarité sans retour de la rhétorique grecque, etc.

L’algèbre va progressivement (IX°-XII° siècles [7]) s’émanciper de cette discursivité linguale de différentes manières :

- en étendant le monde mathématique par adjonction immanente : voir l’invention par al-Khawârizmî de nouveaux mots, de nouvelles nominations et d’un nouveau type discursif d’énoncés (relevant de la linéarité déductive) ;

- en bricolant sa propre écriture (au gré de lettres s’émancipant des chiffres) apte à mettre en œuvre son nouveau mode de calcul (calcul « aveugle » sur l’inconnu) ;

- en dialectisant ce calcul de type nouveau à des démonstrations également de type nouveau : voir le bricolage de démonstrations algébriques circulant entre arithmétique et géométrie et violant ainsi allègrement le vieux dogme aristotélicien : « On ne peut, dans la démonstration, passer d’un genre à un autre : on ne peut pas, par exemple, prouver une proposition géométrique par l’arithmétique. » [8]) en sorte de mettre au jour une figure proprement algébrique de la rationalité mathématique.

Cet exposé ne se voudrait pas de vaine érudition : il avancera des hypothèses de travail plutôt qu’il ne communiquera de savants résultats. Cet exposé s’inscrit en effet dans un vaste programme de travail, celui d’une intellectualité musicale se souciant de faire entrer la grande langue arabe littéraire dans la musique contemporaine [9] en sorte d’adjoindre des hétérophonies (tant linguales que musicales) aptes, sous le nom général de terza pratica, à étendre le monde-Musique.

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Bibliographie

Louis Massignon

« Les langues sémitiques tendent à la formation abrégée et abstraite, “algébrisante”, des idées. »

- Écrits mémorables (coll. Bouquins – Robert Laffont, 2009)

Roshdi Rashed

« La conception de la science qu’a engagée le linguiste al-Khalîl comme la méthode qui l’accompagne sont deux conditions de possibilité de l’algèbre d’al-Khawârizmî. »

- Al-Khwârizmî. Le commencement de l’algèbre (texte établi, traduit et commenté par R. Rashed) Albert Blanchard, 2007

- Al-Khayyâm mathématicien ; R. Rashed et B. Vahabzadeh (Albert Blanchard, 1999)

- Al-Bâhir en algèbre d'As-Samaw'al - Édition, notes et introduction par S. Ahmad et R. Rashed. Imp. de l'Université de Damas (1972)

- D’Al-Khwârizmî à Descartes – Études sur l’histoire des mathématiques classiques (Hermann, 2011)

Ahmed Djebbar

- L’algèbre arabe : Genèse d’un art (Vuibert, 2005)

François Nicolas

Articles (revue Al-Mukhâtabât)

- Les secrets de la langue arabe qu’une musique pourrait entreprendre d’avouer (n°1, 2012)

www.entretemps.asso.fr/Nicolas/arabe/1-secrets.pdf

- Al-Khayyâmi, 1074 – Quand la géométrie théorise le modèle algébrique (n°3, 2012)

www.entretemps.asso.fr/Nicolas/arabe/3-Khayyami.pdf

- L’émergence arabe de l’algèbre (Bagdad, IX°-XII° siècles) (n°7, 2013)

www.entretemps.asso.fr/Nicolas/arabe/7-emergence.pdf

- (Avec Muhammad Aïouaz) : La langue arabe, berceau de l’algèbre (n°11, 2014)

www.entretemps.asso.fr/Nicolas/arabe/11-berceau.pdf

Conférences

Grande Mosquée de Paris

- Al-Khwârizmî - Un tournant majeur dans l’histoire de la pensée (Bagdad, autour de 820) : l’invention de l’algèbre par Al-Khwârizmî dans son Livre de la réduction et de la comparaison (Kitâb al-Jabr wa-al-muqâbala) (21 janvier 2012)

- Al-Khayyâmî - En 1074, deux siècles et demi après l’invention de l’algèbre, un nouveau bond mathématique, celui de Al-Khayyâmî dans son Traité de la réduction et de la comparaison [maqâlatun fî/l-jabri wa/l-muqâbalati] (7 avril 2012)

- As-Samaw’al - Le traité d'As-Samaw’al (Al-Maghribî) : « L’éblouissant dans l’algèbre » (1149) (20 avril 2013)

- La langue arabe, berceau de l'algèbre (25 janvier 2014)

Ens (séminaires mamuphi-Babel)

- 12 novembre 2011 : Quelles conséquences musicales tirer du fait que, contrairement au grégorien, le tajwîd ne se thématise pas comme musique ?

http://www.entretemps.asso.fr/Babel/tajwid

- 23 mars 2013 : Comment l’invention de l’algèbre redistribue ce que calculer, théoriser et démontrer veulent dire…

- 5 avril 2014 : Révolutionner un domaine par adjonction & extension ? L’exemple de la langue arabe à partir du VIII° siècle

[1] F. Nicolas : Le traité d'As-Samaw’al (Al-Maghribî) : « L’éblouissant dans l’algèbre » (1149) – Grande Mosquée de Paris (20 avril 2013)

[2] F. Nicolas : Al-Khayyâmi, 1074 – Quand la géométrie théorise le modèle algébrique (Revue Al-Mukhâtabât - n°3, 2012)

[3] M. Aïouaz et F. Nicolas : La langue arabe, berceau de l’algèbre (Revue Al-Mukhâtabât - n°11, 2014)

[5] L’ambivalence dans la culture arabe (vol. coll. - éd. anthropos, 1967)

[6] Michel Cuypers : La composition du Coran (coll. Rhétorique sémitique ; éd. Gabalda - 2012)

[7] F. Nicolas : L’émergence arabe de l’algèbre (Bagdad, IX°-XII° siècles) - Revue Al-Mukhâtabât (n°7, 2013)

[9] F. Nicolas : Les secrets de la langue arabe qu’une musique pourrait entreprendre d’avouer (Revue Al-Mukhâtabât - n°1, 2012)