Ce séminaire a considérablement élargi mon
appréhension des rapports entre mathématiques et
musique.
Mon hypothèse de départ était que ces rapports
passaient essentiellement par la philosophie. Mon point de vue,
au terme de nos discussions, est que ce passage par la philosophie
n'est plus la possibilité privilégiée, qu'il
y en a bien d'autres qui cernent tout autant un contenu de pensée
- j'en esquisserai plus loin une petite typologie -.
La transformation qui m'a été suggérée
par ce séminaire peut également s'inscrire ainsi
: il s'agit de passer de l'énoncé « La
musique n'est pas seule » - s'entend : « La musique
n'est pas seule à penser » - à l'énoncé
: « La musique ne pense pas seule » - s'entend
: « La musique pense avec d'autres » et en particulier
avec les mathématiques, à charge alors de préciser
ce que peut vouloir dire ici le « avec » -.
Cette évolution ne rature pas une autre thèse, pour
moi fondamentale, qui est celle de l'autonomie de pensée
de la musique . La pensée musicale n'est subordonnée
:
- ni aux mathématiques, via le nombre ;
- ni à la physique (acoustique), via le son ;
- ni à la psychologie et aux sciences cognitives, via la
perception.
On pourrait ajouter :
- ni à l'architecture, via l'espace sensible ;
- etc.
L'autonomie de la pensée musicale n'est pas une autarcie
puisqu'il existe des influences, des voisinages, des résonances
et interférences entre elle et les autres pensées.
Ou encore : la pensée musicale n'est pas isolée
tout en étant entièrement responsable d'elle-même.
Dans notre cas, ceci veut dire que la musique peut penser avec
les mathématiques sans convoquer pour cela la philosophie.
L'inverse est-il vrai ipso facto ? La mathématique peut-elle
également penser directement avec la musique ? Cette réciproque
ne me semble guère aller de soi. Peut-être est-elle
vraie. À tout le moins sa véracité ne découle
pas logiquement de celle de la proposition précédente
pour raison de dissymétrie fondamentale entre musique et
mathématique. On peut l'exposer ainsi : si l'intellectualité
de la musique est et doit être musicienne, si de même
la pensée de la pensée musicale est elle-même
musicale, il n'est pas vrai pour autant que l'intellectualité
de la mathématique soit et doive être mathématicienne
ni que la pensée de la pensée mathématique
soit mathématique. L'intellectualité de la mathématique
peut être mathématicienne, mais elle peut être
également philosophique. Peut-elle être également
musicienne ? Cette question reste à mes yeux ouverte.
Comment caractériser ces rapports mathématiques et musique ? Peut-on en esquisser une typologie ? Je propose pour cela de distinguer 8 (+1) types.
0. Il y aurait d'abord un type par défaut soutenant
qu'il n'y a pas de rapports entre mathématiques
et musique, pas plus, disons, qu'entre un parapluie et une table
de dissection, ce qui est déjà suggérer que
la poésie - spécifiquement l'image poétique
- est alors susceptible de s'immiscer dans ce non-intervalle pour
instaurer un rapport fulgurant d'incongruité.
Personne dans ce séminaire n'a bien sûr soutenu cette
position du non-rapport : il ne lui serait pas venu à l'idée
de participer à nos séances ! Mais il est probable
que certains y ont assisté avec quelque scepticisme quant
à l'existence effective d'un rapport entre mathématiques
et musique.
Une fois compté ce type singulier (sorte d'élément neutre de notre classification), je propose de classer les autres types de rapports en deux genres : genre médiat et genre immédiat, selon que mathématiques et musique se rapportent indirectement entre elles, via la médiation d'une troisième discipline, ou qu'elles se rapportent directement l'une à l'autre, sans intervention d'un tiers terme.
I. Le genre médiat comporte deux types qu'on
peut différencier par la nature de la médiation.
- Médiation philosophique via le concept (philosophique)
de temps pour la pensée : mathématiques et
musique sont ici conçus comme « contemporaines »
selon une certaine conception philosophique d'un temps de la pensée
qu'elles partageraient.
Mathématiques et musique sont ici conçues comme
deux pensées qui entretiennent quelque forme de synchronisation.
Ou encore : il y a une forme d'harmonie de pensée entre
mathématiques et musique. Cette hypothèse implique
directement la philosophie en tant que celle-ci a pour projet
spécifique de penser le temps de la pensée : elle
pense ce qui des pensées fait époque. Seule la philosophie
est donc à même d'établir si aujourd'hui
mathématiques et musique sont contemporaines car il est
alors clair qu'une éventuelle contemporanéité
entre ces deux disciplines ne saurait être d'ordre structural
(intemporel) mais plutôt conjoncturel, c'est-à-dire
plus exactement événementiel. En général,
cela se formule plutôt sous forme de questions, par exemple
: en quoi le constructivisme sériel est-il ou non contemporain
du constructivisme mathématique (Bourbaki) ou politique
(marxisme-léninisme) ?
Comme indiqué précédemment, j'ai longtemps
pensé que ce type de rapport entre mathématiques
et musique - rapport de contemporanéité impliquant
la philosophie pour les relier - était le principal ou
même l'unique rapport consistant entre mathématiques
et musique. Ce séminaire m'a convaincu de l'existence d'une
palette plus vaste.
Remarque : ici le rapport entre mathématiques et musique
est symétrique.
- Médiation par une autre science (que les mathématiques).
Il s'agit ici essentiellement de la physique s'emparant de la
dimension sonore du matériau musical (acoustique). Il y
a ici à l'oeuvre une théorie physique du matériau
musical, et cette théorie physique est elle-même
(depuis la coupure galiléenne ou copernicienne) mathématisée.
Les mathématiques transitent donc jusqu'à la musique
(spécifiquement : jusqu'à sa dimension sonore) via
l'acoustique.
Remarque : le rapport mathématiques et musique est ici
dissymétrique : il circule dans un seul sens (des mathématiques
vers la musique) et même s'il peut exister un sens inverse
(remontant de la musique vers des questions acoustiques lesquelles
posent alors des questions aux mathématiques), ce dernier
n'est pas exactement le renversement du premier : ce rapport des
mathématiques vers la musique via l'acoustique ne se symétrise
donc nullement en un rapport éventuel de la musique vers
les mathématiques.
Question subsidiaire 1 : Y a-t-il d'autres sciences susceptibles
de médier mathématiques et musique ? Les Sciences
cognitives par exemple ? Cela supposerait a minima que leur statut
comme science soit déjà assuré, ce qui est
loin d'être le cas, ces dites « sciences cognitives
» ayant en fin de compte peut-être plus à voir
avec la philosophie qu'avec une science proprement dite (s'entend
: « science » au sens moderne du terme, soit pour
moi au sens non pas poppérien mais bachelardien, c'est-à-dire
assumant une « coupure épistémologique »).
Question subsidiaire 2 : Pourrait-il y avoir une médiation
cette fois par un autre art (que la musique) - je pense par exemple
à l'architecture - ? Je ne pense pas que cette médiation
par un autre art soit suffisamment forte pour établir un
lien avec les mathématiques, ne serait-ce que parce que,
de tous les arts, la musique est certainement le plus mathématisable
et donc qu'une médiation par un art moins mathématisable
serait une dilution (plutôt qu'une intensification) de son
rapport aux mathématiques.
Question subsidiaire 3 : Pourrait-il y avoir une médiation
par une discipline de pensée qui ne soit ni scientifique,
ni artistique et qui soit autre que la philosophie ? C'était
déjà un peu le sens de la question sur les «
sciences cognitives », qui ne sont sans doute pas vraiment
(encore ?) des sciences. C'est également le cas avec les
supposées « sciences humaines » qui ne sont,
elles, en rien des « sciences », même si elles
constituent des corpus ordonnés de savoirs.
La vraie question, à mon sens, se poserait avec la pensée
politique (la politique entendue comme pensée émancipatrice
et non pas, bien sûr, comme gestion des affaires publiques)
soit avec un tout autre type de « procédure générique
» (A. Badiou) que l'art et la science. Mon hypothèse
est que ce type de médiation n'existe pas de fait entre
musique et mathématiques. Pourquoi ? Est-ce une impossibilité
en droit ou y a-t-il là une possibilité restée
jusque-là ineffective ? Je ne sais...
Notons cependant qu'abondent, via les « sciences humaines
», des ersatz de ce type de médiation : la Sociologie,
l'Économie, la Psychologie, etc. prétendent rapporter,
de manière forcément très vulgaire, mathématiques
et musique (via le plus souvent les statistiques). Tout ce que
je connais sous ce chef me semble vain : au mieux, des mises en
forme pédantes de ce que tout le monde connaît déjà.
Reste l'Histoire, bien sûr, qui n'est, là encore,
qu'une version empirique du concept philosophique de temps : une
histoire qui prétend synchroniser musique et mathématiques
(voir la double chronologie inepte de Xénakis... ) ne
pense rien en vérité. Là encore, soit l'histoire
est prise comme pseudo « science humaine », soit elle
va en vérité chercher son contenu de pensée
propre dans un concept philosophique du temps (c'est le cas, positif,
d'Adorno, qui est philosophe et non pas sociologue ou historien,
et c'est le cas, négatif, de Dahlhaus qui, malheureusement,
n'est pas philosophe).
On résumera les types médiés selon le tableau
suivant:
II. Le genre immédiat comporte six types.
a) La métaphore
C'est là l'établissement d'un « comme
» ; on pose que telle réalité mathématique
est « comme » telle réalité musicale,
ou - cas de l'analogie - que tel rapport musical est «
comme » tel rapport mathématique. L'intérêt
d'une telle métaphore est alors que les mathématiques
inspirent le musicien (sa production, sa compréhension
du discours musical, etc).
Remarque 1 : Comme tous les rapports immédiats, ce rapport
est dissymétrique : ce n'est pas parce que le musicien
est inspiré par les mathématiques que ceci pour
autant inspire quelque chose en retour au mathématicien.
Remarque 2 : Cependant, il peut exister un inverse, circulant
cette fois de la musique vers les mathématiques : voir
la question de la beauté pour les mathématiciens.
Voir aussi, et de manière sans doute plus probante, le
transfert de catégories de la musique vers les mathématiques
lors du « moment grec » (cf. Arpad Szabo mentionné
dans mon exposé liminaire...).
b) La fiction
Il s'agit cette fois d'un « comme si » ou encore
d'une hypothèse fictive. Le « si » n'est pas
nécessaire à la métaphore, qui reste ponctuelle.
Il est par contre essentiel à la fiction. Exemple : prendre
tel ou tel fragment du domaine musical comme modèle inattendu
(pathologique) d'une théorie mathématique déjà
existante par ailleurs. Voir ainsi ma proposition de l'audition
musicale comme modèle fictif de la théorie mathématique
de l'intégration.
En général cette fiction ne peut être tenue
que « jusqu'à un certain point ». L'hypothèse
est que cette fiction peut produire quelque effet de vérité
sur le domaine musical retenu. Dans cette orientation, il s'agit
de penser la musique à la lumière des mathématiques,
sous l'hypothèse donc que les mathématiques peuvent
ici apporter quelque lumière.
Remarquons la différence avec la voie de la contemporanéité
: les mathématiques susceptibles d'apporter quelque lumière
sur la musique ne sont pas nécessairement « contemporaines
». Il ne s'agit pas ici d'examiner l'état contemporain
des mathématiques pour tenter de le rapporter à
la musique mais de prélever, dans le corpus mathématique
ce qui est susceptible d'opérer imaginairement en musique.
Les mathématiques interviennent ici comme corpus de savoirs
plutôt que comme processus de vérité. Cependant
il ne s'agit nullement ici d'appliquer ces savoirs à la
musique mais de bâtir une fiction dont la pertinence ne
peut s'établir que du point de son éventuelle pertinence
pour la musique.
Remarque : ce rapport n'a pas, à mon sens, d'inverse probant
: à ma connaissance, il n'y a rien qui ressemble à
un modèle mathématique sauvage d'une théorie
musicale ! Ce que propose Guerino Mazzola n'est pas de cet ordre
mais de ce qui suit : son tore, par exemple, n'est pas modèle
d'une théorie diatonico-tonale mais à l'inverse
théorie mathématique (géométrique-topologique)
d'un modèle musical (diatonico-tonal).
c) La théorie (ou formalisation)
Cette voie est l'inverse de la précédente : au lieu
de bâtir un modèle (musical) sous une théorie
(mathématique) existante, il s'agit de bâtir une
théorie (mathématique) sur un modèle
(musical) existant. C'est la voie de la théorie mathématique
de la musique que Guerino Mazzola déploie avec ampleur.
Je rappelle : en théorie des modèles, ce qui tient
lieu de modèle n'est pas la maquette mais l'original, le
« canon », le domaine factuel pris comme référence.
La théorie a ici un modèle au sens où un
peintre peut en avoir un (et ce contrairement à l'usage
répandu du mot modèle qui désigne
le « modèle réduit », la simulation).
La théorie mathématique ainsi construite a pour
particularité que ses enchaînements déductifs
n'ont nuls équivalents dans le modèle. Les équivalences
se font pour les « objets » et leurs prédicats,
non pour les déductions. L'intérêt d'une telle
théorie est alors qu'elle permet de déduire dans
la théorie des résultats qui, projetés ensuite
dans le modèle, éclairent la cohésion de
celui-ci, et qui autorisent alors des généralisations...
Rappel : à mon sens, la question importante dans cette
voie est celle de la non-commutativité des diagrammes construits,
non-commutativité évidente dans le cas de la fiction
mais qui ne semble plus aller de soi dans le cas de la théorie.
Remarque : ce rapport n'a pas, à ma connaissance, d'inverse
: y a-t-il place effective pour des théories musicales
des mathématiques ? Métaphoriquement sans doute
: voir l'importance parfois prise par la question de la beauté
dans les démonstrations mathématiques, cette beauté
étant alors prise non comme un simple attribut contingent
mais comme indice intrinsèque possible de sa puissance
de pensée. Voir également le rôle de la catégorie
d'harmonie pour indexer certains types de rapports numériques.
Je ne sache pas cependant qu'il y ait jamais eu autre chose qu'emprunt
métaphorique. Le seul moment qui a clairement excédé
cette dimension poétisante fut le premier temps grec de
fondation simultanée des deux disciplines. Mais, j'en ai
parlé lors de mon intervention inaugurale, il est requis
de penser ce premier rapport comme contemporanéité
événementielle plutôt que comme théorisation
réciproque.
Donc, jusqu'à présent, il n'y a pas eu de théorisation
musicale des mathématiques. S'y lance qui ose !
d) L'application
Il s'agit là très platement d'appliquer l'ontologie
à l'ontique, les lois de l'être aux étants
particuliers, par application « naturelle » de ce
qui se pense de l'être comme pur être à tout
ce qui est, à tout étant donc.
C'est là subjectivité d'ingénieur , aux
prises avec les savoirs constitués et les techniques qui
en relèvent, plutôt qu'avec une pensée mathématique
en acte et en développement. La maxime simple en est :
puisque les mathématiques nous enseignent que 7+5 = 12,
ceci doit valoir pour des accords, pour des croches, pour des
pages de partition comme cela vaut pour le reste, pour les vaches
et les cochons...
Remarque : ce rapport n'est pas symétrique (on attend toujours
une application de la musique sur les mathématiques !)
e) Le conditionnement
Mathématiques et musique seraient dans un rapport de
conditionnement, soit que les mathématiques conditionnent
la musique, soit qu'à l'inverse la musique conditionne
les mathématiques, soit enfin qu'il s'agisse d'un double
conditionnement réciproque.
Il s'agit là d'un conditionnement par des questions plutôt
que par des résultats. La pensée musicale peut ainsi
se trouver conditionnée par des questions venues des mathématiques
(circulant en général via l'informatique, que je
prends ici comme faisant partie des mathématiques). On
retrouve cela très souvent dans le travail de composition
assistée par ordinateur (CAO) : au-delà de la part
de calcul qu'assure cette dernière (et qui relève
de l'application), il y a une part qui se présente comme
interrogation rationnelle non épongée par le calcul
et qui se trouve adressée au musicien : finalement quel
est l'enjeu musical réel de telle procédure, quelle
est la logique proprement musicale de tel développement
? La confrontation aux mathématiques via l'informatique
peut être ici une manière de déployer la pensée
musicale sous conditions de tel ou tel domaine de la pensée
mathématique. C'est facilement le cas en combinatoire mais
cela peut concerner bien d'autres domaines mathématiques...
Remarque : ce rapport connaît quelque inversion. Il y a
des cas où la musique pose des questions aux mathématiques.
Ce fut exemplairement le cas lors du « moment grec »,
mais Moreno Andratta aime à mentionner d'autres cas plus
récents.
f) L'inclusion
C'est la thèse radicale : la musique fait partie des
mathématiques. Tom Johnson aime à se réclamer
de cette thèse qui me semble en vérité pré-moderne,
plus moyenâgeuse (quadrivium quand tu nous tiens
!) que de l'époque des Lumières. L'inclusion peut
sembler une orientation idéologique sans grande conséquence
pratique sauf si l'on bâtit alors, comme T. Johnson, des
pièces qui ressemblent à des démonstrations...
Remarque 1 : l'inverse me semblerait encore plus extravagant
: qui soutiendrait au sens propre que les mathématiques
font partie de la musique ?
Remarque 2 : on peut modérer cette thèse
en soutenant qu'il existe seulement une intersection entre
mathématiques et musique.
Bref six types possibles de rapports immédiats :
Remarque générale : tous ces types sont
dissymétriques, soit qu'il n'y ait pas d'inverse, soit
que l'inverse éventuel relève d'un tout autre ordre.
On peut se demander pourquoi.
Quelques éléments de réponse : on remarquera
d'abord que de tous les types, médiés ou immédiats,
il n'y a en a qu'un (rapport médié par la philosophie)
qui soit symétrique. Constat : la symétrie ne prévaut
donc que lorsqu'il y a médiation par une tout autre discipline
de pensée.
- Quand la médiation se fait par une discipline apparentée
aux mathématiques (autre science) ou à la musique
(autre art), la dissymétrisation procède directement
de cet apparentement qui déplace le centre de gravité
vers le terme apparenté.
- Quand il n'y a pas de médiation, si le rapport était
à la fois immédiat et symétrique, c'est qu'on
se trouverait dans une relation de quasi-identité entre
mathématiques et musique. On le voit, exemplairement sans
doute, dans la relation d'inclusion : si MusiqueÃMathématiques
et si MathématiquesÃMusique, alors Mathématiques
= Musique !
Je rassemble au total les huit types retenus :
Le point suivant va consister à identifier d'une part la figure subjective principalement concernée par chaque type et d'autre part ce qui des mathématiques et ce qui de la musique se trouvent rapportés dans chaque type. Il est clair que ce sont à chaque fois des dimensions très différentes du domaine musical (matériau, oeuvres, théorie, discours, musiciens, etc) comme du domaine mathématique (informatique ou non, calculs, démonstrations, mathématiques créatrices, résultats acquis, etc.). Je le suggère dans le tableau récapitulatif suivant :
Remarques
· On peut regrouper 3 & 4, 6 & 7 pour former six
types d'ordre supérieur (numérotés en chiffres
romains).
· La partie du monde de la musique concernée par
ces rapports est essentiellement le discours du musicien à
l'exception notable des orientations 1 (physique musicale), 2
(oeuvres) et pour partie (pièces) 8 .
· La théorie mathématique de la musique (5)
s'édifie sur une théorie musicale existante (prise
pour modèle) plutôt que sur des oeuvres. Comme 3,
4, 6 & 7, elle procède du musicien plutôt que
du musical.
· Les seuls types qui s'intéressent au raisonnement
mathématique comme tel (à ses démonstrations,
et pas seulement à ses résultats : équations...)
sont le 3, le 5, le 6 et le 8 (le 9 éventuellement aussi).
Je m'arrête sur ces dernières propositions, livrées
à la confrontation critique.