François Nicolas

Ce séminaire a considérablement élargi mon appréhension des rapports entre mathématiques et musique.
Mon hypothèse de départ était que ces rapports passaient essentiellement par la philosophie. Mon point de vue, au terme de nos discussions, est que ce passage par la philosophie n'est plus la possibilité privilégiée, qu'il y en a bien d'autres qui cernent tout autant un contenu de pensée - j'en esquisserai plus loin une petite typologie -.
La transformation qui m'a été suggérée par ce séminaire peut également s'inscrire ainsi : il s'agit de passer de l'énoncé « La musique n'est pas seule » - s'entend : « La musique n'est pas seule à penser » - à l'énoncé : « La musique ne pense pas seule » - s'entend : « La musique pense avec d'autres » et en particulier avec les mathématiques, à charge alors de préciser ce que peut vouloir dire ici le « avec » -.
Cette évolution ne rature pas une autre thèse, pour moi fondamentale, qui est celle de l'autonomie de pensée de la musique . La pensée musicale n'est subordonnée :
- ni aux mathématiques, via le nombre ;
- ni à la physique (acoustique), via le son ;
- ni à la psychologie et aux sciences cognitives, via la perception.
On pourrait ajouter :
- ni à l'architecture, via l'espace sensible ;
- etc.
L'autonomie de la pensée musicale n'est pas une autarcie puisqu'il existe des influences, des voisinages, des résonances et interférences entre elle et les autres pensées. Ou encore : la pensée musicale n'est pas isolée tout en étant entièrement responsable d'elle-même.
Dans notre cas, ceci veut dire que la musique peut penser avec les mathématiques sans convoquer pour cela la philosophie.
L'inverse est-il vrai ipso facto ? La mathématique peut-elle également penser directement avec la musique ? Cette réciproque ne me semble guère aller de soi. Peut-être est-elle vraie. À tout le moins sa véracité ne découle pas logiquement de celle de la proposition précédente pour raison de dissymétrie fondamentale entre musique et mathématique. On peut l'exposer ainsi : si l'intellectualité de la musique est et doit être musicienne, si de même la pensée de la pensée musicale est elle-même musicale, il n'est pas vrai pour autant que l'intellectualité de la mathématique soit et doive être mathématicienne ni que la pensée de la pensée mathématique soit mathématique. L'intellectualité de la mathématique peut être mathématicienne, mais elle peut être également philosophique. Peut-elle être également musicienne ? Cette question reste à mes yeux ouverte.

Comment caractériser ces rapports mathématiques et musique ? Peut-on en esquisser une typologie ? Je propose pour cela de distinguer 8 (+1) types.

0. Il y aurait d'abord un type par défaut soutenant qu'il n'y a pas de rapports entre mathématiques et musique, pas plus, disons, qu'entre un parapluie et une table de dissection, ce qui est déjà suggérer que la poésie - spécifiquement l'image poétique - est alors susceptible de s'immiscer dans ce non-intervalle pour instaurer un rapport fulgurant d'incongruité.
Personne dans ce séminaire n'a bien sûr soutenu cette position du non-rapport : il ne lui serait pas venu à l'idée de participer à nos séances ! Mais il est probable que certains y ont assisté avec quelque scepticisme quant à l'existence effective d'un rapport entre mathématiques et musique.

Une fois compté ce type singulier (sorte d'élément neutre de notre classification), je propose de classer les autres types de rapports en deux genres : genre médiat et genre immédiat, selon que mathématiques et musique se rapportent indirectement entre elles, via la médiation d'une troisième discipline, ou qu'elles se rapportent directement l'une à l'autre, sans intervention d'un tiers terme.

I. Le genre médiat comporte deux types qu'on peut différencier par la nature de la médiation.
- Médiation philosophique via le concept (philosophique) de temps pour la pensée : mathématiques et musique sont ici conçus comme « contemporaines » selon une certaine conception philosophique d'un temps de la pensée qu'elles partageraient.
Mathématiques et musique sont ici conçues comme deux pensées qui entretiennent quelque forme de synchronisation. Ou encore : il y a une forme d'harmonie de pensée entre mathématiques et musique. Cette hypothèse implique directement la philosophie en tant que celle-ci a pour projet spécifique de penser le temps de la pensée : elle pense ce qui des pensées fait époque. Seule la philosophie est donc à même d'établir si aujourd'hui mathématiques et musique sont contemporaines car il est alors clair qu'une éventuelle contemporanéité entre ces deux disciplines ne saurait être d'ordre structural (intemporel) mais plutôt conjoncturel, c'est-à-dire plus exactement événementiel. En général, cela se formule plutôt sous forme de questions, par exemple : en quoi le constructivisme sériel est-il ou non contemporain du constructivisme mathématique (Bourbaki) ou politique (marxisme-léninisme) ?
Comme indiqué précédemment, j'ai longtemps pensé que ce type de rapport entre mathématiques et musique - rapport de contemporanéité impliquant la philosophie pour les relier - était le principal ou même l'unique rapport consistant entre mathématiques et musique. Ce séminaire m'a convaincu de l'existence d'une palette plus vaste.
Remarque : ici le rapport entre mathématiques et musique est symétrique.

- Médiation par une autre science (que les mathématiques).
Il s'agit ici essentiellement de la physique s'emparant de la dimension sonore du matériau musical (acoustique). Il y a ici à l'oeuvre une théorie physique du matériau musical, et cette théorie physique est elle-même (depuis la coupure galiléenne ou copernicienne) mathématisée. Les mathématiques transitent donc jusqu'à la musique (spécifiquement : jusqu'à sa dimension sonore) via l'acoustique.
Remarque : le rapport mathématiques et musique est ici dissymétrique : il circule dans un seul sens (des mathématiques vers la musique) et même s'il peut exister un sens inverse (remontant de la musique vers des questions acoustiques lesquelles posent alors des questions aux mathématiques), ce dernier n'est pas exactement le renversement du premier : ce rapport des mathématiques vers la musique via l'acoustique ne se symétrise donc nullement en un rapport éventuel de la musique vers les mathématiques.
Question subsidiaire 1 : Y a-t-il d'autres sciences susceptibles de médier mathématiques et musique ? Les Sciences cognitives par exemple ? Cela supposerait a minima que leur statut comme science soit déjà assuré, ce qui est loin d'être le cas, ces dites « sciences cognitives » ayant en fin de compte peut-être plus à voir avec la philosophie qu'avec une science proprement dite (s'entend : « science » au sens moderne du terme, soit pour moi au sens non pas poppérien mais bachelardien, c'est-à-dire assumant une « coupure épistémologique »).
Question subsidiaire 2 : Pourrait-il y avoir une médiation cette fois par un autre art (que la musique) - je pense par exemple à l'architecture - ? Je ne pense pas que cette médiation par un autre art soit suffisamment forte pour établir un lien avec les mathématiques, ne serait-ce que parce que, de tous les arts, la musique est certainement le plus mathématisable et donc qu'une médiation par un art moins mathématisable serait une dilution (plutôt qu'une intensification) de son rapport aux mathématiques.
Question subsidiaire 3 : Pourrait-il y avoir une médiation par une discipline de pensée qui ne soit ni scientifique, ni artistique et qui soit autre que la philosophie ? C'était déjà un peu le sens de la question sur les « sciences cognitives », qui ne sont sans doute pas vraiment (encore ?) des sciences. C'est également le cas avec les supposées « sciences humaines » qui ne sont, elles, en rien des « sciences », même si elles constituent des corpus ordonnés de savoirs.
La vraie question, à mon sens, se poserait avec la pensée politique (la politique entendue comme pensée émancipatrice et non pas, bien sûr, comme gestion des affaires publiques) soit avec un tout autre type de « procédure générique » (A. Badiou) que l'art et la science. Mon hypothèse est que ce type de médiation n'existe pas de fait entre musique et mathématiques. Pourquoi ? Est-ce une impossibilité en droit ou y a-t-il là une possibilité restée jusque-là ineffective ? Je ne sais...
Notons cependant qu'abondent, via les « sciences humaines », des ersatz de ce type de médiation : la Sociologie, l'Économie, la Psychologie, etc. prétendent rapporter, de manière forcément très vulgaire, mathématiques et musique (via le plus souvent les statistiques). Tout ce que je connais sous ce chef me semble vain : au mieux, des mises en forme pédantes de ce que tout le monde connaît déjà.
Reste l'Histoire, bien sûr, qui n'est, là encore, qu'une version empirique du concept philosophique de temps : une histoire qui prétend synchroniser musique et mathématiques (voir la double chronologie inepte de Xénakis... ) ne pense rien en vérité. Là encore, soit l'histoire est prise comme pseudo « science humaine », soit elle va en vérité chercher son contenu de pensée propre dans un concept philosophique du temps (c'est le cas, positif, d'Adorno, qui est philosophe et non pas sociologue ou historien, et c'est le cas, négatif, de Dahlhaus qui, malheureusement, n'est pas philosophe).
On résumera les types médiés selon le tableau suivant:

II. Le genre immédiat comporte six types.

a) La métaphore
C'est là l'établissement d'un « comme » ; on pose que telle réalité mathématique est « comme » telle réalité musicale, ou - cas de l'analogie - que tel rapport musical est « comme » tel rapport mathématique. L'intérêt d'une telle métaphore est alors que les mathématiques inspirent le musicien (sa production, sa compréhension du discours musical, etc).
Remarque 1 : Comme tous les rapports immédiats, ce rapport est dissymétrique : ce n'est pas parce que le musicien est inspiré par les mathématiques que ceci pour autant inspire quelque chose en retour au mathématicien.
Remarque 2 : Cependant, il peut exister un inverse, circulant cette fois de la musique vers les mathématiques : voir la question de la beauté pour les mathématiciens. Voir aussi, et de manière sans doute plus probante, le transfert de catégories de la musique vers les mathématiques lors du « moment grec » (cf. Arpad Szabo mentionné dans mon exposé liminaire...).

b) La fiction
Il s'agit cette fois d'un « comme si » ou encore d'une hypothèse fictive. Le « si » n'est pas nécessaire à la métaphore, qui reste ponctuelle. Il est par contre essentiel à la fiction. Exemple : prendre tel ou tel fragment du domaine musical comme modèle inattendu (pathologique) d'une théorie mathématique déjà existante par ailleurs. Voir ainsi ma proposition de l'audition musicale comme modèle fictif de la théorie mathématique de l'intégration.
En général cette fiction ne peut être tenue que « jusqu'à un certain point ». L'hypothèse est que cette fiction peut produire quelque effet de vérité sur le domaine musical retenu. Dans cette orientation, il s'agit de penser la musique à la lumière des mathématiques, sous l'hypothèse donc que les mathématiques peuvent ici apporter quelque lumière.
Remarquons la différence avec la voie de la contemporanéité : les mathématiques susceptibles d'apporter quelque lumière sur la musique ne sont pas nécessairement « contemporaines ». Il ne s'agit pas ici d'examiner l'état contemporain des mathématiques pour tenter de le rapporter à la musique mais de prélever, dans le corpus mathématique ce qui est susceptible d'opérer imaginairement en musique. Les mathématiques interviennent ici comme corpus de savoirs plutôt que comme processus de vérité. Cependant il ne s'agit nullement ici d'appliquer ces savoirs à la musique mais de bâtir une fiction dont la pertinence ne peut s'établir que du point de son éventuelle pertinence pour la musique.
Remarque : ce rapport n'a pas, à mon sens, d'inverse probant : à ma connaissance, il n'y a rien qui ressemble à un modèle mathématique sauvage d'une théorie musicale ! Ce que propose Guerino Mazzola n'est pas de cet ordre mais de ce qui suit : son tore, par exemple, n'est pas modèle d'une théorie diatonico-tonale mais à l'inverse théorie mathématique (géométrique-topologique) d'un modèle musical (diatonico-tonal).

c) La théorie (ou formalisation)
Cette voie est l'inverse de la précédente : au lieu de bâtir un modèle (musical) sous une théorie (mathématique) existante, il s'agit de bâtir une théorie (mathématique) sur un modèle (musical) existant. C'est la voie de la théorie mathématique de la musique que Guerino Mazzola déploie avec ampleur.
Je rappelle : en théorie des modèles, ce qui tient lieu de modèle n'est pas la maquette mais l'original, le « canon », le domaine factuel pris comme référence. La théorie a ici un modèle au sens où un peintre peut en avoir un (et ce contrairement à l'usage répandu du mot modèle qui désigne le « modèle réduit », la simulation).
La théorie mathématique ainsi construite a pour particularité que ses enchaînements déductifs n'ont nuls équivalents dans le modèle. Les équivalences se font pour les « objets » et leurs prédicats, non pour les déductions. L'intérêt d'une telle théorie est alors qu'elle permet de déduire dans la théorie des résultats qui, projetés ensuite dans le modèle, éclairent la cohésion de celui-ci, et qui autorisent alors des généralisations...
Rappel : à mon sens, la question importante dans cette voie est celle de la non-commutativité des diagrammes construits, non-commutativité évidente dans le cas de la fiction mais qui ne semble plus aller de soi dans le cas de la théorie.
Remarque : ce rapport n'a pas, à ma connaissance, d'inverse : y a-t-il place effective pour des théories musicales des mathématiques ? Métaphoriquement sans doute : voir l'importance parfois prise par la question de la beauté dans les démonstrations mathématiques, cette beauté étant alors prise non comme un simple attribut contingent mais comme indice intrinsèque possible de sa puissance de pensée. Voir également le rôle de la catégorie d'harmonie pour indexer certains types de rapports numériques.
Je ne sache pas cependant qu'il y ait jamais eu autre chose qu'emprunt métaphorique. Le seul moment qui a clairement excédé cette dimension poétisante fut le premier temps grec de fondation simultanée des deux disciplines. Mais, j'en ai parlé lors de mon intervention inaugurale, il est requis de penser ce premier rapport comme contemporanéité événementielle plutôt que comme théorisation réciproque.
Donc, jusqu'à présent, il n'y a pas eu de théorisation musicale des mathématiques. S'y lance qui ose !

d) L'application
Il s'agit là très platement d'appliquer l'ontologie à l'ontique, les lois de l'être aux étants particuliers, par application « naturelle » de ce qui se pense de l'être comme pur être à tout ce qui est, à tout étant donc.
C'est là subjectivité d'ingénieur , aux prises avec les savoirs constitués et les techniques qui en relèvent, plutôt qu'avec une pensée mathématique en acte et en développement. La maxime simple en est : puisque les mathématiques nous enseignent que 7+5 = 12, ceci doit valoir pour des accords, pour des croches, pour des pages de partition comme cela vaut pour le reste, pour les vaches et les cochons...
Remarque : ce rapport n'est pas symétrique (on attend toujours une application de la musique sur les mathématiques !)

e) Le conditionnement
Mathématiques et musique seraient dans un rapport de conditionnement, soit que les mathématiques conditionnent la musique, soit qu'à l'inverse la musique conditionne les mathématiques, soit enfin qu'il s'agisse d'un double conditionnement réciproque.
Il s'agit là d'un conditionnement par des questions plutôt que par des résultats. La pensée musicale peut ainsi se trouver conditionnée par des questions venues des mathématiques (circulant en général via l'informatique, que je prends ici comme faisant partie des mathématiques). On retrouve cela très souvent dans le travail de composition assistée par ordinateur (CAO) : au-delà de la part de calcul qu'assure cette dernière (et qui relève de l'application), il y a une part qui se présente comme interrogation rationnelle non épongée par le calcul et qui se trouve adressée au musicien : finalement quel est l'enjeu musical réel de telle procédure, quelle est la logique proprement musicale de tel développement ? La confrontation aux mathématiques via l'informatique peut être ici une manière de déployer la pensée musicale sous conditions de tel ou tel domaine de la pensée mathématique. C'est facilement le cas en combinatoire mais cela peut concerner bien d'autres domaines mathématiques...
Remarque : ce rapport connaît quelque inversion. Il y a des cas où la musique pose des questions aux mathématiques. Ce fut exemplairement le cas lors du « moment grec », mais Moreno Andratta aime à mentionner d'autres cas plus récents.

f) L'inclusion
C'est la thèse radicale : la musique fait partie des mathématiques. Tom Johnson aime à se réclamer de cette thèse qui me semble en vérité pré-moderne, plus moyenâgeuse (quadrivium quand tu nous tiens !) que de l'époque des Lumières. L'inclusion peut sembler une orientation idéologique sans grande conséquence pratique sauf si l'on bâtit alors, comme T. Johnson, des pièces qui ressemblent à des démonstrations...
Remarque 1 : l'inverse me semblerait encore plus extravagant : qui soutiendrait au sens propre que les mathématiques font partie de la musique ?
Remarque 2 : on peut modérer cette thèse en soutenant qu'il existe seulement une intersection entre mathématiques et musique.

Bref six types possibles de rapports immédiats :

Remarque générale : tous ces types sont dissymétriques, soit qu'il n'y ait pas d'inverse, soit que l'inverse éventuel relève d'un tout autre ordre. On peut se demander pourquoi.
Quelques éléments de réponse : on remarquera d'abord que de tous les types, médiés ou immédiats, il n'y a en a qu'un (rapport médié par la philosophie) qui soit symétrique. Constat : la symétrie ne prévaut donc que lorsqu'il y a médiation par une tout autre discipline de pensée.
- Quand la médiation se fait par une discipline apparentée aux mathématiques (autre science) ou à la musique (autre art), la dissymétrisation procède directement de cet apparentement qui déplace le centre de gravité vers le terme apparenté.
- Quand il n'y a pas de médiation, si le rapport était à la fois immédiat et symétrique, c'est qu'on se trouverait dans une relation de quasi-identité entre mathématiques et musique. On le voit, exemplairement sans doute, dans la relation d'inclusion : si MusiqueÃMathématiques et si MathématiquesÃMusique, alors Mathématiques = Musique !

Je rassemble au total les huit types retenus :

Le point suivant va consister à identifier d'une part la figure subjective principalement concernée par chaque type et d'autre part ce qui des mathématiques et ce qui de la musique se trouvent rapportés dans chaque type. Il est clair que ce sont à chaque fois des dimensions très différentes du domaine musical (matériau, oeuvres, théorie, discours, musiciens, etc) comme du domaine mathématique (informatique ou non, calculs, démonstrations, mathématiques créatrices, résultats acquis, etc.). Je le suggère dans le tableau récapitulatif suivant :

Remarques
· On peut regrouper 3 & 4, 6 & 7 pour former six types d'ordre supérieur (numérotés en chiffres romains).
· La partie du monde de la musique concernée par ces rapports est essentiellement le discours du musicien à l'exception notable des orientations 1 (physique musicale), 2 (oeuvres) et pour partie (pièces) 8 .
· La théorie mathématique de la musique (5) s'édifie sur une théorie musicale existante (prise pour modèle) plutôt que sur des oeuvres. Comme 3, 4, 6 & 7, elle procède du musicien plutôt que du musical.
· Les seuls types qui s'intéressent au raisonnement mathématique comme tel (à ses démonstrations, et pas seulement à ses résultats : équations...) sont le 3, le 5, le 6 et le 8 (le 9 éventuellement aussi).

Je m'arrête sur ces dernières propositions, livrées à la confrontation critique.