à la lumière des mathématiques La musique à l’ombre de la philosophie
ÉCOLE mamuphi
L’école se tient à L’IRCAM (1 Place Igor Stravinsky, 75004 Paris), en salle Shannon.
Entrée libre dans la mesure des places disponibles.
Pour tout contact, François Nicolas : fnicolas [at] ircam.fr
***
L’ECOLE mamuphi comporte deux volets, alternant leur séance tout au long de la saison :
I. un atelier en intellectualité (François NICOLAS
a
) sur les mathématique modernes et contemporaines ;
II. des leçons de mathématiques (Mirna DZAMONJA) sur la logique du forcing.
•••
ÉCOLE mamuphi 2025-2026
Atelier
(F. Nicolas)
Leçons
(M. Džamonja)
18 octobre 2025
Problématique
29 novembre 2025
Forcing (1)
6 décembre 2025
Distributions (1)
17 janvier 2026
Forcing (2)
7 février 2026
Distributions (2)
21 mars 2026
Forcing (3)
18 avril 2026
Algèbre tensorielle
30 mai 2026
Forcing (4)
•••
Samedi 18 octobre 2025 : Atelier
(F. Nicolas)
Problématique générale de l’atelier : Nous sommes toujours modernes !
Bilan du travail antérieur
15 questions intellectuelles pour le temps présent
Perspectives quadriennales 2025-2029 : enjeux, préalables, méthodes, thématiques
Vidéo – Texte - Diapos
•••
Samedi 29 novembre 2025 :
Leçons (M. Džamonja)
Comprendre le Forcing en huit leçons : leçon n°1
ℒ1 et ℒ2 (logiques du premier et du deuxième ordre)
Modèle ⊧ Théorie
Bolzano et Cantor
Théorie axiomatique des ensembles : ZF(C)
Vidéo
•••
a
https://fnicolas1947.fr
Samedi 6 décembre 2025 :
Atelier (F. Nicolas)
La théorie des distributions : leçon n°1
Pourquoi ?
Comment ?
Exemple : H’=∂
Premières étapes de la théorie
Interprétations intellectuelles
Vidéo - Texte
•••
ATELIER (F. Nicolas)
Problématique
Il s’agira dans cet atelier de dégager un éclairage intellectuel qui opère (potentiellement et plus ou moins secrètement) dans la pensée mathématique
moderne (à partir de 1830) et contemporaine (depuis l’après-guerre).
Ce faisant, il ne s’agira donc pas d’appliquer ces mathématiques à des objets (physiques ou sociaux) mais, par analogies soigneusement calibrées, de
faire résonner et réverbérer leurs modes de pensée dans d’autres modes de pensée – il s’agira donc d’implications possibles plutôt que d’applications
effectives.
On s’autorisera pour ce faire de l’axiome par lequel Parménide fait équivaloir penser et être (« le même : penser et être ») en l’appropriant à
la mathématique : penser mathématiquement l’être, c’est faire être mathématiquement la pensée (n’est-il pas vrai que toute
démonstration mathématique prouve à la fois l’énoncé à démontrer et la possibilité de le démontrer dans le cadre d’une énonciation
mathématique ?).
Autrement dit, la pensée mathématique de l’être se redouble en un être mathématique de la pensée, susceptible d’éclairer d’autres types
(artistiques, philosophiques, politiques, voire amoureux) de pensée.
On l’aura pressenti : on étudiera la mathématique selon une orientation ontologique (la pensée mathématique touche à l’être) et non pas
logiciste (la mathématique ne serait qu’un langage logiquement univoque).
Un nouveau cycle 2025-2029
Ce nouveau cycle prolongera et étendra un premier cycle (2021-2022) centré sur l’émergence des mathématiques modernes pré-cantoriennes (1828-
1858) en incluant cette fois des mathématiques post-cantoriennes et proprement contemporaines.
Ce cycle privilégiera quatre domaines :
l’analyse (plus particulièrement le calcul différentiel et intégral),
l’algèbre (plus particulièrement l’algèbre des groupes différentiels et l’algèbre tensorielle),
la géométrie contemporaine (plus particulièrement la géométrie algébrique),
la logique mathématique (plus particulièrement le travail du négatif).
Prérequis
Cet atelier ne nécessite aucune compétence mathématique au-delà d’un Bac.
Par contre, il requiert la conviction que ce qu’un mathématicien a pu penser, n’importe quel autre être humain peut se l’approprier pour peu qu’il le
veuille et qu’il s’en donne patiemment et courageusement les moyens.
Ces séances seront précisément là pour aider chacun à s’approprier ainsi les enjeux intellectuels de ces mathématiques.
•••
LEÇONS (M. Dzamonja) Comprendre le forcing
Il y a quelques années de cela, j’ai relevé le défi d’enseigner la théorie des ensembles à des thésards d’autres disciplines que mathématiques. Je n’ai
pas voulu répéter la manière habituelle d’enseigner ce que Cantor a produit au XIX° pour abandonner ensuite les étudiants au seuil de la fameuse
méthode du forcing découverte par Cohen en 1963. Pour cela, j’ai inventé une méthode qui m’a amenée à écrire le livre Fast Track to Forcing, dont
la première partie constituait le cours alors donné à ces étudiants. Les leçons pour mamuphi reprendront une version adaptée de ce livre.
La théorie des ensembles a commencé comme une partie de l’analyse mathématique. Cantor voulait alors répondre à une question à l’époque ouverte :
e et π sont-ils les seuls nombres transcendants ? Il a alors démontré qu’en fait, la plupart des nombres réels sont transcendants (même si on ne sait
toujours pas si le nombre e+π l’est également !).
Sa théorie des ensembles a été rapidement remarquée par Hilbert qui a souhaité disposer ainsi toutes les mathématiques sur cette unique base en sorte
que toute la vérité mathématique découle de ces fondements.
Dans les années 1930, le travail de Gödel sur l’incomplétude puis, en 1963, celui de Cohen sur la méthode de forcing ont complété l’exploration des
impossibilités propres à ces fondements.
La méthode du forcing permet de passer d’un modèle axiomatique M à un autre modèle M[G], pouvant parfois vérifier la négation d’énoncés vérifiables
dans M.
Cette méthode est étroitement reliée à la logique du premier ordre et elle doit beaucoup à la compréhension fine de cette logique développée par
Gödel.
ATELIER (F. Nicolas) Théorie des distributions
I. Théorie mathématique
La notion de distribution généralise celle de fonction (plutôt qu’elle ne l’étend : une distribution n’est pas toujours fonctionnelle). Des deux manières
de construire la distribution (comme forme linéaire ou comme limite d’une suite de fonctions), nous retiendrons la première
3
car elle installe d’emblée
cette notion de plein pied dans la structure d’un nouvel espace (plutôt qu’elle ne la renvoie, comme la seconde manière, à l’au-delà d’un horizon) : une
distribution est une forme linéaire continue sur l’espace vectoriel topologique des fonctions indéfiniment différentiables à support compact.
Mais pourquoi des distributions ?
1) En première instance, pour établir rigoureusement la formule du calcul symbolique ℋ’=∂ (jusque-là sauvagement pratiquée par les physiciens)
en y transformant
la fonction en escalier ℋ de Heaviside
3
(qui n’est pas dérivable) en une distribution différentiable,
la mesure d’impulsion ∂ de Dirac
3
(qui n’est pas une fonction) en une distribution fonctionnelle.
2) De manière plus générale, pour généraliser toute fonction non différentiable en une distribution qui le soit indéfiniment. Ainsi toute distribution
𝒟 (fonctionnelle ou non) sur les fonctions indéfiniment dérivables 𝜑(x) va devenir elle-même indéfiniment différentiable selon la formule
suivante :
𝜕𝒟
𝜕𝑥 [𝜑(𝑥)] =−𝒟[𝜕𝜑
𝜕𝑥 (𝑥)]
Cette notion de distribution a d’importantes conséquences mathématiques que nous n’examinerons que dans un second temps (atelier du 7 février
2026) pour nous concentrer cette fois sur sa portée intellectuelle.
En effet, pourquoi étudier la théorie des distributions dans mamuphi si ce n’est pas exactement pour l’appliquer à l’acoustique (où l’impulsion de
Dirac joue un rôle central) et par là à la musique ?
II. Modèle intellectuel
Dans cet atelier, il s’agira plutôt d’interpréter intellectuellement cette théorie en sorte qu’elle vienne éclairer des questions intellectuelles qui, a priori,
sont pour cette théorie totalement inattendues voire incongrues.
Bâtir une telle interprétation intellectuelle suppose alors de doter cette théorie mathématique d’un modèle hétérogène voire pathologique en faisant
comme si cette théorie était susceptible de le formaliser et, inversement, comme si ce modèle était susceptible d’interpréter cette théorie. L’enjeu
d’une telle fiction réside alors dans sa capacité à éclairer mathématiquement des problématiques non mathématiques en y suscitant des questions
inattendues et en y suggérant des perspectives imprévues.
Logique interprétative générale
Notre interprétation de la théorie des distributions va reposer sur l’analogie générale suivante : une fonction mathématique ƒ formalise une action, une
décision ou une prise de position subjective ; sa dérivée ƒ’ formalise la subjectivation constituante de cette nouvelle disposition ; son intégrale F
formalise le procès subjectif qui en découle. Ainsi dérivée et intégrale d’une fonction formalisent les tenants et les aboutissants d’une prise de position
subjective, la source et les fins d’un acte, les mobiles en aval et les motifs en amont d’une décision (Sartre), l’intension et l’inspect (Hopkins) d’un
parti pris, l’enjeu intellectuel d’une telle interprétation étant alors de mieux comprendre ce que constitution subjective veut précisément dire.
Interprétation spécifique
Une décision « événementielle » prise au bord du vide
Dans notre logique interprétative, la formule ℋ’=∂ va venir formaliser les problèmes suivants :
Comment une mutation subjective durable (c’est là sa figure ℋeaviside) peut procéder d’une décision impulsive (c’est là son caractère ∂irac :
notons-la désormais ∂écision) ?
Inversement comment rendre raison d’une ∂écision impulsive qui ne se présente pas comme conclusion d’une délibération préalable, autant dire
d’une ∂écision « événementielle » surgissant soudainement, d’un acte émergeant subitement, d’une prise de position cristallisant (Stendhal) de
manière impromptue un magma indéfini de déterminations inconscientes, mais ∂écision qui pour autant n’est pas un simple caprice sans
lendemains puisqu’elle engage sans retour un nouveau procès subjectif selon un brusque saut, une discontinuité- ℋeaviside séparant
irrémédiablement l’après de l’avant ?
La perspective sartrienne
Face à une telle situation subjective créée par une ∂écision « événementielle », la voie exposée par Sartre dans L’être et le néant est d’investiguer un
tel type de position par ses aboutissants, par ses conséquences, par ses buts motivants (faute de pouvoir le faire par ses tenants, ses origines et ses
sources mobilisatrices). C’est ainsi qu’il écrit : « quand je délibère, les jeux sont faits » - autrement dit quand je délibère, c’est que la ∂écision a déjà
été prise, et que la délibération va alors porter sur son aval (pour en explorer la portée effective) et non pas sur son amont (pour mettre au jour le calcul
de ses constituants) en sorte que la ∂écision (toujours déjà prise) est reprise comme point de départ, comme source originelle, comme position
axiomatique constituante.
Trois voies
L’intérêt spécifique de la théorie des distributions va être de nous mettre sur la piste d’une autre voie, complémentaire (plutôt qu’alternative) de celle
de Sartre : il s’avère en effet possible d’explorer la constitution singulière d’une ∂écision déjà prise en examinant aussi la manière dont cette prise de
position se distribue sur les raisons bien établies de décider. On va alors pouvoir comprendre l’événement d’une ∂écision-∂irac :
non pas en tentant d’analyser et de mettre à plat ses « raisons » subconscientes (en sorte de calculer la ∂écision comme résultat nécessaire de
prémisses inconscients) - c’est-à-dire en remontant de ƒ à ƒ’ en sorte de rétroactivement calculer ƒ comme intégrale de sa dérivée : f=∫f’ ;
pas seulement en explorant ses conséquences à venir (donc ce que produit la mise au travail de cette ∂écision) - c’est-à-dire en descendant de ƒ à
son intégrale F en sorte de prospectivement calculer ƒ comme dérivée de son intégrale : ƒ=F’ ;
mais au niveau même de ƒ (donc au présent de la prise de position concernée) en mesurant comment les écarts, clinamens, déviations ou
déclinaisons de cette ∂écision par rapport aux décisions « réalistes » et « pragmatiques », aux prises de position « régulières » et « lisses », aux
actes « normaux » et « raisonnables », viennent synthétiquement « scanner », « radiographier » les manières d’agir strictement conformes aux
déterminations bien établies de la situation concernée : ƒ→𝒟ƒ[φ(x)].
Quatre perspectives
Nous examinerons alors en détail quatre perspectives engagées par notre interprétation de cette théorie : qu’est-ce exactement qu’une telle nouvelle
perspective vient distribuer, dualiser, contravarier et généraliser en matière subjective ?
