mamuphi
mathématiques - musique – philosophie
dir. C. Alunni (Ens-Cirphles), M. Andreatta
(Ircam), A. Bonnet (Rennes/Ens-Cirphles) et F. Nicolas
(Ens-Cirphles/Ircam)
Toutes les activités mamuphi ont
désormais lieu dans la salle de séminaire du CIRPHLES
Département de philosophie (sous-sol du Pavillon Pasteur)
|
Séminaire mamuphi
(C. Alunni, M. Andreatta et F. Nicolas)
Le premier samedi du mois (10h30)
à l’École normale supérieure
45, rue d'Ulm - Paris V
Calendrier 2011-2012 :
8 octobre 2011
5 novembre 2011
3 décembre 2011
7 janvier 2012
4 février 2012
10 mars 2012
31 mars 2012
5 mai 2012
|
|
Cours mamuphi de mathématiques
par René Guitart
Paris
VII
Six séances à partir de
février 2012…
|
|
École mamuphi de musique
par Antoine Bonnet
et François Nicolas
Un samedi après-midi par trimestre (15h)
à l’École normale supérieure
45, rue d'Ulm - Paris V
Calendrier 2011-2012 :
5 novembre 2011
4 février 2012
5 mai 2012
|
|
Séminaire Babel
« La musique contemporaine et les langues »
(V. Anger, A. Bonnet, H. Larbi et F. Nicolas)
Le second samedi du mois (15h)
à l’École normale supérieure
45, rue d'Ulm - Paris V
Calendrier 2011-2012 :
15 octobre 2011
12 novembre 2011
10 décembre 2011
14 janvier 2012
11 février 2012
10 mars 2012
12 mai 2012
16 juin 2012 (Conservatoire du
XIX°, 20h30)
|
|
Atelier Babel
« La musique et Paul Celan »
(A. Bonnet et F. Marteau)
Le samedi matin (10h-13h00)
à l’École normale supérieure
45, rue d'Ulm - Paris V
Calendrier 2011-2012 :
10 décembre 2011
14 janvier 2012
4 février 2012
10 mars 2012
5 mai 2012
16 juin 2012
|
Séminaire
Babel : « La musique
contemporaine et les langues »
(Cirphles-Ens, Conservatoire du XIX°,
APP-Rennes)
La musique – plus précisément cet art musical qui s’assure,
via sa propre écriture (solfège), d’une
ressource logique immanente - a su, en différents moments cruciaux de son
histoire, tirer parti d’un rapport intime aux langues de son temps pour y
puiser de nouvelles ressources, tant objectives que subjectives. Cela fut
exemplairement le cas autour de Monteverdi et, bien plus tard, autour de Wagner
puis de Schoenberg et Debussy (il faudrait ajouter d’autres noms à cette liste
de compositeurs pour qui continuer l’art musical passait par l’invention d’une
alliance avec telle ou telle langue).
Tout de même, la musique dite contemporaine de ce début de
XXI° siècle a sans doute parti à tirer d’une alliance renouvelée avec les langues
du monde en vue de franchir le tournant majeur dans lequel elle se trouve
engagée.
Pour spécifier un propos plus général d’Adorno (« L’art
a besoin de quelque chose qui lui est hétérogène pour devenir art »), on dira que la musique contemporaine a
particulièrement besoin aujourd’hui de se rapporter à quelque hétérogène pour
rester art, et que, parmi les hétérogénéités susceptibles aujourd’hui d’être
accueillies par la musique en sorte de la féconder, les langues du monde (pour
ne pas employer la catégorie trop abstraite de langage) constituent une candidature privilégiée parmi
l’ensemble des pratiques susceptibles de jouer ce rôle (qu’il s’agisse alors de
la chorégraphie, des arts contemporains de l’image et de la plasticité ou même
de formes non artistiques de pensée…).
De quelles manières proprement contemporaines la musique
peut-elle nouer de nouveaux types de rapports avec les différentes langues du
monde ? Non pas tant comment mettre en musique ces langues ou, à
l’inverse, comment mettre la musique en langue (et nul besoin, pour tirer parti
de cette orientation, de supposer quelque connivence native entre musique et
langage), mais plutôt : comment moduler la musique selon telle ou telle langue ? De quelles ressources,
propres à telle ou telle langue, tirer musicalement parti ? Quelle
dialectique proprement musicale inventer entre deux figures réciproques de la
même « modulation » : celle de qui accueille un étranger (et
respecte son hétéronomie) et celle de qui accepte d’être un hôte en terre
étrangère (et autolimite son hétéronomie) ? Comment tout ceci a-t-il été
déjà pratiqué, ces derniers temps mais également dans un passé plus lointain ?
Comment, à ces fins, tirer parti d’une meilleure
connaissance et compréhension des logiques discursives respectives de la
musique et de telle ou telle langue ?
Les langues candidates à cette nouvelle alliance sont
évidemment nombreuses :
· langues
vivantes peu habituées à ce type d’alliance et que le monde actuel nous offre à
foison : langues arabe(s) et orientales, d’Afrique et d’Océanie… ;
· langues
vivantes déjà mobilisées mais avec lesquelles l’alliance aurait sans doute à
être renouvelée : langues d’origine européenne, langues japonaise et
chinoise(s)… ;
· langues
mortes dont l’autonomie et la consistance tant syntaxique que phonologique
restent suffisamment assurées pour opposer quelque résistance à la logique discursive
propre de la musique (et ne pas se voir musicalement réduites à une série
d’onomatopées insignifiantes…).
Ce séminaire voudrait privilégier un abord monographique de
ces questions (tout particulièrement des ressources que telle ou telle langue peut
apporter à la musique contemporaine) plutôt que convoquer une science générale
de ce que langage voudrait aujourd’hui
dire.
Il s’adresse tant aux musiciens – compositeurs et
interprètes (en particulier chanteurs) – et aux musicologues soucieux de création
contemporaine qu’aux acteurs (créateurs, savants ou simples amateurs) de ces
diverses langues.
Il se tiendra le second samedi du mois à l’Ens - de 15h à
18h - aux dates suivantes : 15 octobre 2011, 12 novembre 2011, 10 décembre
2011, 14 janvier 2012, 11 février 2012, 10 mars 2012, 12 mai 2012.
Atelier-Concert, le 16 juin 2012, au Conservatoire du XIX°.
http://www.entretemps.asso.fr/Babel
Les séminaires, écoles et cours mamuphi sont ouverts à tous (sans inscription préalable).
Pour tout contact :
·
charles.alunni [at] ens.fr
·
moreno.andreatta [at] ircam.fr
·
fnicolas [at] ens.fr /
fnicolas [at] ircam.fr
Séminaire mamuphi
10h30
·
8 octobre 2011 : René Guitart - L'armature hexagonale du corps à quatre éléments, et le formulaire de la logique
borroméenne associée [1]
·
5 novembre 2011 : Jean-Yves Beziau – De
l'hexagone musical (comme application de l'hexagone logique à la théorie
musicale)
·
3 décembre 2011 : Jacques Roubaud - Permutations
et composition poétique [2]
·
7 janvier 2012 : François Nicolas – De l’hexagone
logique en matière d’œuvre musicale composite [3]
·
4 février 2012 : Jean Petitot et Moreno Andreatta
– Démarche structurale et approche phénoménologique sont-elles
incompatibles ? [4]
·
10 mars 2012 : Tzuchien Tho
·
31 mars 2012 : Nancy Diguerher-Mentelin - d’Alembert-Rameau-Rousseau
(& Diderot) : « mamuphi » au cœur des Lumières ?
· 5
mai 2012
Cours Catégories et structures (René
Guitart)
Troisième
année
Dates à venir (second semestre : février-juin 2012)
École de musique (A. Bonnet et F.
Nicolas)
15h
· Samedi
5 novembre 2011 : La chute d’Icare
pour clarinette et petit ensemble (1988) de Brian Ferneyhough, par François
Nicolas
· Samedi
4 février 2012 : Allegro Sostenuto
pour clarinette, violoncelle et piano (1988) de Helmut Lachenmann, par Antoine
Bonnet
· Samedi
5 mai 2012 : L’Idée et l’idée musicale chez
Schœnberg et Boulez - Étude comparée de l’opus 33a et de Dérive, par Dimitri Kerdiles
Séminaire Babel
15h
·
15 octobre 2011 - Violaine Anger : Voix,
parole, musique : généalogies (ou comment aborder le point tangentiel qui
existe entre le parlé et le chanté…)
·
12 novembre 2011- François Nicolas : Quelles conséquences
musicales tirer du fait que, contrairement au grégorien, le tajwîd ne se thématise pas comme
musique ?
·
10 décembre 2011 – Hacène Larbi : La
langue japonaise…
·
14 janvier 2012 – Gérard Abensour : Le vers
russe, de la récitation à la mise en musique
·
11 février 2012 – Gérald Stieg : La langue
allemande
·
10 mars 2012 - Marjorie Berthomier : Le
Sprechgesang
·
12 mai 2012 - Marc Ballanfat : Le sanscrit
·
16 juin 2012 (20h30) : Atelier-Concert
(Conservatoire du XIX° arrondissement)
Atelier Babel (A. Bonnet et F. Marteau)
10h-13h
—
10 décembre 2011
—
14 janvier 2012
—
4 février 2012
—
10 mars 2012
— 5
mai 2012
— 16
juin 2012
Séminaire
· 9
octobre 2010 (amphi Rataud) – François Nicolas : Extension de Kan et écoute musicale
« élargie » d’une œuvre musicale « mixte » [5]
·
27 novembre
2010 (salle Beckett) – Franck Jedrzejewski : Extensions de Kan et transformée de Fourier [6]
· 11
décembre 2010 (amphi Rataud) – Max Yribarren : Le tempérament égal
a-t-il une justification acoustique ?
· 5
février 2011 (amphi Rataud) – Jean
Bénabou : Méthodes
“transcendantes” en théorie des catégories [7]
Sur les distributeurs :
—
en français, notes de
Jean-Roger Roisin d’un cours donné
(1973) à Louvain
— en anglais, notes d’un cours donné (2000)
à Darmstadt
· 12
mars 2011 (salle Beckett) - Thierry Paul : Rigueur, contraintes, action sans
interaction
·
2 avril 2011 (salle Beckett) – René Guitart : Le corps impossible
· 7
mai 2011 (salle Weil) – Marco Segala :
La philosophie de la musique de Schopenhauer [8]
·
21 mai 2011 (amphi Rataud) - Andréa Cavazzini : Symbole et diagramme. Sur les travaux de Gilles
Châtelet
École de mathématiques (Pierre Cartier)
·
11 décembre 2010
·
5 février 2011
·
30 avril 2011 : avec Annick Lesne, Duo sur
l’entropie [9]
—
Annick Lesne : Multiscale analysis of
biological functions: the example of biofilms
Cours Catégories et structures (René
Guitart)
Deuxième
année :
1 -
Révisions sur les limites et problèmes universelles, esquisses et monades,
extensions de Kan.
2 -
Univers algébriques et topos.
3 - Catégories
abéliennes, produits tensoriels, structures monoïdales.
4 -
Opérades.
·
3 mars 2011
·
10 mars 2011
·
31 Mars 2011
·
7 juin
2011
·
21 juin
2011
·
24 juin
2011
École de musique (A. Bonnet et F.
Nicolas) [10]
[ On reconnaîtra
aisément, dans ce projet de « cours de musique pour des
philosophes », une reprise variée, à 45 ans d’intervalle, du « cours de
philosophie pour scientifiques » que Louis Althusser a organisé dans
cette même École l’année 1967-1968. ]
École
mamuphi de musique, pour philosophes et
autres non-musiciens :
Les
enjeux (généalogiques, archéologiques et esthétiques) d’une œuvre musicale
Le projet est d’introduire
les auditeurs (en particulier ceux qui ignorent le solfège) aux enjeux musicaux
d’une œuvre.
Si
ces enjeux se donnent dans la dialectique d’une écoute d’une interprétation et d’une
lecture de la partition, le défi de cette école est d’ouvrir un accès à la
partition d’une œuvre pour qui ne sait la lire (sans pour autant transformer
bien sûr cette école en classe de solfège).
Chaque leçon s’attachera à
une œuvre pour en dégager les enjeux pour un aujourd’hui musicien de la
création musicale. Ces enjeux
seront dépliés selon un triple point de vue :
· généalogique : avec quelles œuvres musicales cette œuvre
dialogue-t-elle ?
· archéologique : comment cette œuvre rétroagit-elle sur l’état du
monde de la musique dans lequel elle s’enracine ?
· esthétique : de quelle époque de pensée cette œuvre musicale se
veut-elle contemporaine ?
Au total, chaque œuvre
sera présentée par un musicien qui détaillera pour quiconque sa partition, ses
interprétations significatives et une écoute envisageables.
· 27
novembre 2010 (salle Beckett) : Farben pour orchestre (op.16 n°3 ; 1909) d’Arnold Schoenberg, par François Nicolas
· 12
mars 2011 (salle Beckett) : Notation
I pour orchestre (1980) de Pierre Boulez,
par Antoine Bonnet
· 7
mai 2011 (salle Celan) : Night Fantasies pour piano (1980) d’Elliott Carter, par François Nicolas [11]
Séminaire
·
10 octobre 2009 – François
Nicolas : Théoriser l’engendrement
d’une aura poétique par l’œuvre musicale mixte, à
la lumière mathématique du forçage (P. J. Cohen) d’une
extension générique [12]
·
14 novembre 2009 –
Charles Alunni : Le binôme Lautman-Cavaillès
·
5 décembre 2009 - Thomas
Noll : Logics
and Mathematical Music Theory [13]
·
16 janvier 2010 – Moreno
Andreatta : Quelques
éléments pour une interprétation philosophique des approches transformationnelles
en théorie et analyse musicales [14]
· 6 février 2010 – René Guitart : Du passage du ternaire au binaire et réciproquement dans
la modélisation mathématique [15]
·
13 mars 2010 – Yves
Chaumette : Du ternaire au
binaire, et réciproquement (un exemple) [16]
·
15 mai 2010 - Marco Segala :
De la notion de musique absolue au XIX° siècle [17]
École (Leçons de Pierre Cartier)
·
5 décembre 2009
·
13 mars 2010
·
15 mai 2010
Cours
Catégories et structures (René Guitart)
enregistrement
audio : http://2009a2010.free.fr/2009-2010-guitart
·
25 février 2010
·
11 mars 2010
·
8 avril 2010
·
6 mai 2010
·
3 juin 2010
·
10 juin 2010
Séminaire
·
11 octobre 2008 (salle Cavaillès) - Répons François Nicolas / Charles Alunni
Intervenant : François Nicolas - Des connivences
contemporaines entre intellectualités mathématique & musicale [18]
—
Philosophie - Huit
propositions au sujet du structuralisme
(pdf)
—
Mathématiques & musique - Programme de
travail sur faisceaux et topos en musique
Répondant : Charles
Alunni
Compte rendu de la discussion : « 15 questions
ou objections, et autant de premières réponses »
·
15 novembre 2008 (salle Celan) – Thierry Paul - Stephan Schaub - Michael Schmidt : Les rapports musique-mathématiques selon Ernst
Krenek (1937/1939)
Répondant :
François Nicolas - « Une lecture de Music
here and now d’Ernst Krenek »
·
6 décembre 2008 (salle S. Weil) – Franck
Jedrzejewski : Les onto(po)logies
musicales & Pierre
Lochak : Quelques
remarques sur le monde-Musique comme
topos de faisceaux
Enregistrement
audio (mp3) de la séance (Benoit Daval) : http://topfree.free.fr/2008-2009-mamuphi
Quelques photos de cette
séance (Pierre Prouvèze) et un extrait vidéo
·
17 janvier 2009 (salle S. Weil) – Christian
Houzel : Théorie des faisceaux et
linguistique [19]
· 7
mars 2009 (salle des Actes) - Pierre Lochak : Entendre - ou pas - la forme d'un tambour.
Quelques correspondances du monde physico-mathématique [20]
Mark Kac : “Can one hear the shape of a
drum?”
William P. Thurston : “On proof and progress
in mathematics”
·
4 avril 2009 (salle Beckett) – Jean Bénabou : Magie des topos, ou topos et magie?
« Une analogie en théorie
des catégories » (in La
recherche de la vérité ; ACL – Les
éditions du Kangourou ; décembre 1999)
· 9
mai 2009 (salle S. Weil) - René Guitart : Théorie du nouveau [21]
[texte
préparatoire]
École
·
7 février 2009 : « Des infinis
subtils »
Texte
de la leçon (pdf)
Ensemble des leçons
données par Yves André (pdf)
Séminaire
6 octobre 2007 - Séance d’ouverture par Moreno
Andreatta, François Nicolas et Charles Alunni
- Moreno Andreatta : Quelle
philosophie pour une théorie mathématique de la musique ?
- François Nicolas : D’un
quatrième moment mamuphi
- Charles Alunni
10 novembre 2007 - Évaluation de la music theory de David Lewin (Stephan Schaub et François
Nicolas)
· Stephan
Schaub - Statut de la formalisation mathématique dans la « music
theory » américaine : une lecture
de l’échange entre Edward T. Cone et David Lewin (Perspectives of New
Music 1967 et 1969).
· François
Nicolas - « Comme Freud, Schoenberg est mort en Amérique » :
« Déconstruire
la music theory (1) : David Lewin »
« Déconstruire
la music theory (2) : Milton
Babbitt »
1° décembre
2007 - Francis Borceux : Des jets aux infiniment
petits : quand l'intuition se mue en rigueur [22]
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1881
15
décembre 2007 : Ralf Kromer :
La théorie des catégories : un outil d'analyse musicale aux
yeux de la critique philosophique
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1882
12
janvier 2008 : Thomas Noll : Le Pli Diatonique -
Algebraic Combinatorics on Words applied to the Study of the Diatonic Modes
2
février 2008 : Hector Parra : Une approche créatrice des interrelations
structurelles entre les espaces acoustiques et visuels
15
mars 2008 - René Guitart : Modalités des
discours et courbures des figures [23]
5 avril 2008 : Stephan
Schaub : Les implications de la formalisation mathématique
dans les pratiques compositionnelles de Babbitt et Xenakis [24]
17
mai 2008 : Thierry Paul : Questions
d’échelles [25]
2006-2007 : Intellectualités mathématique et musicale
Calendrier :
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1532
- 18
novembre 2006 - Moreno Andreatta :
Mathématiques, musique et philosophie dans la tradition américaine :
la filiation Babbitt/Lewin
Présentation
PowerPoint | Documentation
distribuée
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1560
- 9
décembre 2006 – René Guitart : Toute théorie est algébrique
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1588
- 27
janvier 2007 – Stéphane Dugowson : Attractions borroméennes
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1639
- 10
février 2007 – David Rabouin : Mathesis
universalis, logique de l'imagination et écriture symbolique (Descartes /
Leibniz …Badiou)
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1640
- 24
mars 2007 - Gilles Dowek : Gestes et mouvements en
mathématiques (et en musique)
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1641
Video : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1642
version
pdf : intervention
- annexes
École mathématique pour
musiciens et autres non-mathématiciens
un samedi par
trimestre, de 15h à 18h à l’Ircam (salle Messiaen)
[ On reconnaîtra
aisément, dans ce projet de « cours de mathématiques pour des
musiciens », une reprise variée, à 40 ans d’intervalle, du « cours de
philosophie pour scientifiques » que Louis Althusser a organisé dans
cette même École l’année 1967-1968. ]
Nous avons décidé de mettre en place, cette année, une «
école » spéciale de mathématiques en direction des musiciens et autres
non-mathématiciens.
Le principe en sera tout à fait singulier : il s’agira de
rendre compréhensible un concept central de la mathématique la plus
contemporaine à des non-spécialistes, en tentant de les mener au cœur de la
pensée mathématique la plus active, et sans économiser ni la spécificité de
l’écriture mathématique, ni une partie du labeur démonstratif (même si celui-ci
ne saurait être, dans le cadre d'une vulgarisation, de nature intégrale). Il ne
s’agira pas d’« appliquer » les mathématiques à la musique, que ce soit sous
une modalité technique et calculatoire ou sous une forme plus métaphorique. La
‘raisonance’ possible du concept
mathématique avec la musique ne sera pas au cœur de l’exposé lequel visera,
simplement (si l’on ose dire !), à transmettre le plus fidèlement possible, le
contenu de pensée investi dans le concept examiné (et, bien sûr, dans la
théorie mathématique où il prend place), sans négliger, tout au contraire, les
aperçus historiques qui peuvent permettre d'apprécier les problématiques au
cœur desquelles se déploie le concept présenté.
Yves André (Cnrs-Ens) a bien voulu accepter la chaire de
cette école.
Les concepts mathématiques envisagés sont - entre autres -
ceux d’adjonction, d’algèbre
de von Neumann, de motif et d’opérade.
Ces séances seront trimestrielles. Chaque séance devrait
durer trois heures ;
Le calendrier est le suivant : 15h à 18h - Ircam (salle
Messiaen)
• 9 décembre 2006 : Aperçus sur les algèbres d'opérateurs (algèbres de von
Neumann)
Texte de
l’intervention
• 24 mars 2007 : Les
topos de Grothendieck
Texte de
l’intervention
•
12 mai 2007 : Idées galoisiennes (théorie de l'ambiguïté)
Texte de
l’intervention
Propositions
pour les prochaines séances de l'école de mathématiques pour musiciens et
autres non-musiciens
0) Merci tout d'abord à
tous ceux qui ont pris soin de nous transmettre leur avis sur la première
séance. Ceci nous aide, et nous encourage.
1) Il ressort des points
de vue exprimés que tout le monde, même ceux qui ont peiné lors de la première
séance, souhaite une prolongation de
l'expérience. C'est également notre souhait.
2) Il faut repréciser que
"école" ici ne veut pas dire
"cours" (et donc progression graduée selon un parcours univoque en marches
d'escalier). Il faut entendre ce projet ("d'un type nouveau") comme
visant une compréhension plutôt qu'une maîtrise de savoirs.
3) Pour ceux qui n'ont pas
l'habitude d'entendre un exposé de mathématique contemporaine, cette
compréhension passe nécessairement par une phase de "choc", un peu comme un tel type de "choc"
intervient pour toute personne venant pour la première fois entendre un concert
de musique contemporaine. Il n'y a pas lieu de vouloir éviter un tel choc mais
seulement d'apprendre à le surmonter.
4) À ce titre, une certaine
dimension rétroactive (relevant
donc de l'après coup) nous semble de mise en matière de compréhension.
À cette fin, il semble
nécessaire d'instaurer plus de résonances entre les différents sujets devant être
traités lors des prochaines séances en sorte que, petit à petit, les concepts
mathématiques puissent s'éclairer les uns les autres, non plus de manière
déductive - dans l'ordre linéaire de leur exposition - mais rétrospectivement,
et selon un schéma concentrique.
5) Nous proposons de
reconfigurer les prochains thèmes en sorte de mettre en rapport différentes
approches mathématiques contemporaines de la notion d'espace. En effet, si la notion mathématique d'espace n'a
pas été définie la fois dernière, c'est pour une raison essentielle et non pas
contingente: c'est parce qu'il n'existe pas à proprement parler de définition
mathématique de l'espace en soi (pas plus d'ailleurs qu'il n'en existe de la
symétrie en soi, ou de la singularité en soi). À ce titre, la mathématique
associe toujours au mot "espace" une spécification ("espace
topologique", "espace mesuré", "espace vectoriel",
etc.), laissant à l'intuition de chacun le soin de donner un sens spécifique au
mot "espace" détaché de ses prédicats.
6) Si le propos de l'école
est bien de rendre compréhensibles certains concepts mathématiques
contemporains et centraux, ceux-ci seront choisis (du moins dans un premier
temps) sur le critère qu'ils condensent des points de vue mathématiques
sur des notions communes - i.
e. n'appartenant pas en propre à la mathématique - telles
qu'espace, symétries, temps, singularités, etc... Chacun pourra
alors confronter, s'il lui plaît, ces points de vue mathématiques aux points de
vue qui lui sont plus familiers - musicaux, architecturaux, picturaux, ou
philosophiques - sur ces notions communes.
En ce qui concerne
l'espace, il est loisible de penser que les deux points de vue mathématiques
les plus avancés et les plus profonds sont celui de la géométrie
non-commutative (A. Connes) et celui des topos (A. Grothendieck) - d'ailleurs
complémentaires l'un de l'autre.
Comprendre mieux les
enjeux des espaces non-commutatifs, la disparition des points et le rôle
structural des algèbres d'opérateurs (exposé précédent) pourra mieux se réaliser
rétroactivement si les prochaines séances de l'école traitent d'autres visions
de l'espace. Nous proposons à ce titre que la prochaine séance soit consacrée à
l'examen des topos de Grothendieck.
7) Nous maintenons le
principe d'absence de tout prérequis, mais ceci ne veut pas dire qu'il faudrait
négliger le rôle de la culture mathématique de chacun.
Si la culture est bien ce
qui vous reste quand vous avez tout oublié, la culture mathématique mobilisée
pour écouter et suivre un tel type d'exposé indique alors votre capacité
d'intuitionner et de représenter ce qui vous est présenté, votre aptitude à
supporter de perdre pied en faisant confiance à votre capacité de renouer un
peu plus loin au fil du discours.
Là encore, l'analogie avec
l'écoute de la musique est pertinente : écouter une œuvre n'est pas la
disséquer, suivre note à note et accord par accord son travail déductif mais
apprendre à se laisser guider par l'œuvre elle-même (et apprendre, cela implique
toujours, en un premier temps, un travail soustractif : se désencombrer
d'habitudes inadaptées).
8) Nous sommes des
pionniers au sens aussi où nous devons apprendre à donner à la notion de malentendu un statut productif, et pas seulement négatif.
Si la présentation
mathématique ordinaire vise à la levée de tout malentendu (par un dispositif réglé
d'écriture univoque rendant intégralement transmissible le contenu de pensée),
cette école ne saurait fonctionner sous cet ordre (qui est tout aussi bien
celui du "cours" de mathématiques mentionné plus haut). Tentant de
présenter des enjeux de pensée les plus actuels à des gens étrangers à la
mathématique active, cette école doit miser sur la productivité et la dynamique
d'un certain type de malentendu.
À ce titre, qu'un concept mathématique
présenté prête ici à une part de malentendu ne doit pas être vu comme une
faiblesse (ce que cela serait dans un simple cours) mais plutôt comme un pari :
le pari qu'une forme de résonance peut être mise en œuvre entre jeu
mathématique des concepts et représentation mentale chez celui qui le découvre.
Bien sûr, ce pari comporte
également sa part de danger : celui que le malentendu (afférant au fait que ce
qui est présenté n'est pas maîtrisé par qui écoute) débouche sur une
mécompréhension ou un contre-sens. Mais il nous semble que le génie propre de
cette école implique de prendre ce risque pour en faire jouer la face positive
et dynamiser l'écoute spécifique de chacun - là encore, écouter un tel type
d'exposé est assez proche de l'écoute musicalement requise face à une œuvre
contemporaine -.
9) Rendez-vous donc
le samedi 24 mars 2007 pour
une nouvelle séance (consacrée aux topos de Grothendieck) au début de laquelle
Yves André reformulera les principes de notre projet.
Yves
André et François Nicolas
P.S. «Si les gens ne
croient pas que les mathématiques sont simples, c’est uniquement parce qu’ils
ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée.» John von Neumann
2005-2006 : Questions de logiques
Si, pour les musiciens, « logique musicale » se
dit en différents sens (consistance
autonome de la musique comme « monde » ou « langage », dialectique spécifique du discours musical, stratégie à l’œuvre…), si, pour les mathématiciens,
« logique » ne profile plus seulement une norme pour leurs énoncés
mais la dynamique même de leur travail d’énonciation (une logique du processus
mathématicien tout autant que du résultat mathématique), peut-on activer
aujourd’hui des raisonances entre
ces conceptions des logiques à l’œuvre ?
Comment faire jouer leur hétérophonie par-delà tel ou tel
projet plus spécifique de « mathématiser » la logique musicale ou de
« musicaliser » la logique mathématique ?
Calendrier :
1.
15 octobre 2005
- François
Nicolas : La logique musicale
de l’écoute : une logique stoïcienne de l’assentiment ?
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=878
- Guerino
Mazzola : La logique des
diagrammes : médiatrice entre geste et formule?
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=879
2. 12
novembre 2005
- Jean-Yves
Girard : Aspects géométriques
du formalisme
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=945
3.
10 décembre 2005
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=946
4.
14 janvier 2006
- René
Guitart - Théorie
de la théorie : esquisses ou topos ?
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=947
5.
25 février 2006
- Pierre
Cartier - L’ouvrage d’Euler sur la
théorie musicale (1739) : les principaux apports théoriques
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=727
6.
11 mars 2006
- Jean-Baptiste
Joinet – Temps logique et temps
musical
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=728
7.
29 avril 2006
- Giuseppe
Longo (salle des Actes) - Dynamiques de pensée en mathématiques :
principes de preuves vs. principes
de construction
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=730
8.
20 mai 2006
- Giorgio
Gargani (salle Celan)
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=731
2004-2005 : Les mathématiciens et la musique
Si musique
et mathématiques avèrent un long compagnonnage, depuis l'origine commune des
théories musicale et mathématique au VI° siècle av. J.-C. jusqu'à l'époque la
plus contemporaine, si penser la musique avec les mathématiques est ainsi une
longue histoire où interviennent tour à tour arithmétique (nombres) et
géométrie (figures), algèbre (écriture) et topologie (gestes), il convient
d'interroger l'état présent de ces rapports à partir des questions musicales
les plus actives.
Que la
philosophie pointe nécessairement son nez en ce croisement (comme en atteste
toute une généalogie, de Parménide et Platon jusqu'à Husserl et Lautman en
passant par Descartes et Leibniz) ne doit pas dispenser le musicien
d'interroger directement les mathématiques de son temps pour discerner ce qui
d'elles peut clarifier, catégoriser, profiler les enjeux présents et à venir de
son art.
Pour cette
première année, on partira des formes de conscience spécifiquement
mathématiciennes des rapports possibles entre musique et mathématiques.
Music and
Mathematics Seminar Thinking Music with Mathematics? Music and mathematics have
long been associated, and thinking about music in terms of mathematics via the use of arithmetic, geometry,
algebra, topology etc. goes back a
long way. With this in mind, it's essential now, to explore the present state of this relationship based on
today's important musical issues.
Samedi 19 février 2005
Ø
Charles Alunni :
Transe disciplinaire
Ø
Moreno
Andreatta : Problèmes
musicaux et conjectures mathématiques. Essai d'une typologie 'mathémusicale'
À partir d'un rappel historique sur l'émergence des structures
algébriques en musique et musicologie du XXe siècle, on essayera de montrer
comment certains problèmes posés par la théorie de la musique, l'analyse et la
composition soulèvent des questions mathématiques susceptibles d'intéresser à
la fois l'historien des mathématiques et le 'working mathematician'. En particulier on s'attardera sur
l'étude des quelques correspondances entre des problèmes musicaux sur lesquels
nous avons travaillé (autour par exemple de la construction de canons
rythmiques ou de pavages) et des conjectures mathématiques (Minkowski,
Steinhaus, Keller, Fuglede).
On essayera ainsi de montrer comment la musique peut parfois
alimenter l'activité mathématique et on donnera quelques éléments pour édifier
une typologie 'mathémusicale' que nous espérons pouvoir compléter et améliorer
tout au long de ce séminaire.
Ø François
Nicolas : Raisonance
musique / mathématiques : l’écriture en partage
On rappellera d’abord
brièvement différentes manières de rapporter les mathématiques à la
musique : on distinguera pour ce faire trois genres, sept espèces et dix
sous-espèces.
Parmi
ces dernières, on exhaussera la fiction, ou logique du « comme si » : la pensée mathématique y dispense en effet un
éclairage rasant (et non pas frontal, comme dans les théories mathématiques de
la musique) susceptible de faire ressortir, dans un domaine bien choisi, des
aspérités et singularités musicales inaperçues par le regard musicien
artisanal.
On soutiendra ensuite que,
par-delà les rapports précédents, musique et mathématiques entretiennent une affinité élective, et ce pour deux raisons :
• D’abord
elles partagent un même souci logique,
qu’elles déploient en deux problématiques orthogonales. On comparera à ce titre
le rôle joué par la démonstration
dans la pensée mathématique à celui joué par le développement dans la pensée musicale.
• Ensuite,
musique et mathématiques sont deux pensées « à la lettre », intérieurement normées par leur propre dispositif
d’écriture, ce qui constitue une singularité absolue parmi les différents types
de pensée.
On esquissera alors le
programme d’un penser l’écriture musicale à la lumière de l’écriture
mathématique.
On
fera à ce titre l’hypothèse d’un double chiasme entre ces deux types d’écriture :
• l’écriture
mathématique utilise une même
lettre pour différentes opérations
là où l’écriture musicale utilise différentes lettres pour une même opération (d’où une redondance singulière que Rousseau
proposera d’amender en arithmétisant le solfège…) ;
• la
mathématique utilise différentes
inscriptions pour une même chose là
où la musique utilise la même
inscription pour plusieurs choses
(d’où les problématiques, proprement musicales, de transposition, d’arrangement et de transcription…).
Ainsi
les lignes de partage lettre claire
/ lettre obscure s’avèreraient duales entre musique et mathématiques…
S’il est vrai que tout ceci
met en œuvre une dialectique du sensible et l’intelligible, on conclura sur l’intérêt d’associer la philosophie aux rapports musique-mathématiques en sorte de
réactiver le vieux nœud grec à trois,
quand les raisonances musicales
accompagnaient la naissance tant de la philosophie (Parménide) que de la mathématique
comme raison et plus simplement
comme calcul (invention de la
démonstration via la création du raisonnement par l’absurde).
Présentation
PowerPoint
Ø
Charles Alunni : Moderato scriptile (Connexions
mathématiques-musique chez Heisenberg)
Samedi 12 mars 2005 :
Ø Yves
Hellegouarch : Esquisse
d'une étude comparée entre l'avènement de la perspective (en peinture) et de
celui du tempérament égal (en musique)
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=617
Ø
Michel Broué : Un
peu de théorie des groupes pour les tonalités musicales
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=618
Samedi 16 avril 2005
Ø
François Nicolas : Comment évaluer
musicalement les théories mathématiques de la musique ? L’exemple de la
théorie de Mazzola
On rappellera qu’une certaine mathématique joue un rôle nécessaire
dans l’intellectualité musicale. On distinguera à ce titre deux affinités
électives (partages d’écriture et de souci logique) et une raisonance privilégiée (le musicien est à
l’école de la mathématique en matière de théorisation) parmi les différentes
manières musiciennes de se mettre à l’écoute de la mathématique.
On interrogera alors la situation singulière où le musicien est
confronté à des théories mathématiques de la musique : comment évaluer musicalement de telles
théories, en particulier ces théories mathématiques qui formalisent des
théories musiciennes « naïves » ?
Même si, contrairement au désir proprement mathématicien, il faut
prendre acte que théories musiciennes et mathématiques ne commutent pas, on
soutiendra qu’une théorie mathématique de la musique peut stimuler le musicien,
entre autres par des extensions humoristiques et des intensions ironiques.
On examinera sous tous ces angles la théorie mathématique de
G. Mazzola — The Topos of Music —, tout spécialement ses théorisations du contrepoint, de la
modulation et du geste.
On conclura sur l’intérêt spécifique pour le musicien pensif d’une
singulière figure subjective de mathématicien (à la suite d’H. Poincaré et H.
Weyl…) qu’on proposera de nommer intellectualité mathématique.
Présentation
PowerPoint
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=642
Ø
Guerino Mazzola : Le
rôle possible de la logique musicale dans une certaine intellectualité mathématique
Il est vrai que le but du travail des mathématiciens est de
démontrer des théorèmes. Mais pour y arriver, le mathématicien doit parcourir
un chemin dans un paysage d’idées et de procès qui relèvent du domaine de
l’improvisation musicale plutôt que du mécanisme de la logique classique. La
fameuse parabole de Grothendieck dans « Récoltes et Semailles » en témoigne.
Symétriquement, faire ou composer de la musique est loin d’être un
jeu esthétique mais relève d’une logique complexe. Le point crucial d’une telle
logique est que le concept de vérité se réfère à ce qui est le cas. Or, ce qui
est le cas en musique pointe vers un jeu dialectique d’opérateurs logiques.
Loin de la situation classique, la logique musicale est liée à celle des topoi.
La thèse de notre intervention sera que le procès créatif
mathématicien, dans la mesure où il s’avère de nature musicale, est un procès
de nature logique, précisément parce que la musique se fait dans une ambiance
de logique toposique. Nous conjecturerons que, sous cette perspective, la
démonstration de la vérité d’un énoncé peut être comprise comme passage à la
limite, en partant d’une série de logiques toposiques et convergeant dans la
logique classique.
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=643
Samedi 21 mai 2005
Ø
René Guitart : Le
triple du sens : postures, différences et bougés.
La question du sens d'un discours n'est pas si différente de celle
du sens d'une interprétation de musique. Pour entendre cela, expliquerons-nous,
il faut y entendre le rôle de la vérité. Nous traiterons du sens des discours
en termes de postures, différences et bougés, trois points en effet de nature
musicale. Pour chaque point on verra comment une mise en œuvre mathématique de
son principe est possible. Et puis
on verra comment en fait, au plan mathématique, dans la perspective de la
théorie des catégories, les trois points sont intimement reliés.
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=720
Ø
Thierry Paul : Des sons et des quantas
On
se propose dans cet exposé de présenter diverses situations, issues du
formalisme quantique et de l’expérience musicale, qui semblent relever de
problématiques communes.
En
particulier seront discutés, sans toutefois les théoriser, le formalisme mathématique
et la notation musicale, le rôle de l’aléatoire dans les œuvres ouvertes
et la mesure quantique, le phénomène temporel, et une brève allusion à la
reproduction de l’œuvre musicale interprétée, en regard avec les idées de
concept et énoncé en mathématiques.
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=721
–––––––
Professeur invité (mars 2005) : Guerino Mazzola
Ce séminaire reprend, dans un nouveau contexte, un projet engagé à l'Ircam
dès l'année 2000 sous le nom de séminaire "Mamuphi".
Un première année de travail (2000-2001) s'est tenue à l'Ircam (sous la
direction conjointe de G. Assayag, G. Mazzola et F. Nicolas). Les principales
interventions de cette première année sont rappelées ci-dessous. Un livre
récollectant les actes de ce séminaire "mamuphi" est en cours
d'achèvement. Il sera disponible au printemps 2005.
Ce premier séminaire mamuphi s'est
prolongé de 2001 à 2004 à l'Ircam (sous la direction de M. Andreatta) selon un
principe un peu différent, sous le nom générique de mamuX. Les activités de mamuX sont présentées sur le site de l'Ircam, en particulier à l'adresse http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/mamux/
mailto:moreno.andreatta@ircam.fr
En quel sens pensée musicale et pensée
mathématique sont-elles contemporaines
? S'il ne s'agit pas seulement d'appliquer la seconde à la première, la philosophie est-elle requise pour que ces deux disciplines se
confrontent et dialoguent sur un pied d'égalité ? Quel rôle exact l'informatique joue-t-elle dans un tel rapprochement entre logiques différentes (scientifique et artistique) de pensée ?
Partant des points de rencontre comme des points
d'impasse entre mathématiques et musique, il s'agira de s'interroger sur les
conditions et les modalités de ces
croisements en sorte que la pensée musicale puisse approfondir son interlocution
avec la pensée mathématique d'aujourd'hui.
Sous la direction de Gérard Assayag, Guerino Mazzola et François
Nicolas
Samedi 7 octobre 2000
o François NICOLAS (compositeur) : Musique, mathématiques et philosophie:
Que vient faire ici la philosophie?
o Gérard ASSAYAG (informaticien) : De
la calculabilité à l'implémentation musicale
Samedi 4 novembre 2000
o Guerino MAZZOLA (mathématicien) : Penser la musique
dans la logique fonctorielle des topoi
Samedi 2 décembre
2000 : Journée
d'étude autour d'Anatol VIERU (1926-1998)
de 10h à 18h :
o Dan Tudor VUZA (mathématicien) : Théorie modale et suites périodiques
dans la pensée compositionnelle d'Anatol Vieru
o Costin CAZABAN (compositeur) : Structure et expression chez Anatol
Vieru
o Carlos AGON et Moreno ANDREATTA (informaticiens) : Théories algébriques
et informatique musicale. Quelques exemples d'implémentation
Concert de clôture: oeuvres d'Anatol Vieru
Samedi 13 janvier 2001
o Tom JOHNSON (compositeur) : Objets
(mathématiques) trouvés
Samedi 3 février 2001
o René GUITART (mathématicien) : Modalités : Discours et images. Musique?
o Compte rendu de la session philosophique de l'ENS (13 janvier, rue d'Ulm)
sur Logique et philosophie.
Samedi 3 mars 2001
o Georges BLOCH (musicologue) : Lettre à Philippe Lacoue-Labarthe
o Olivier LARTILLOT (informaticien) : L'analyse musicale par la machine
(ou la problématique de l'induction sous l'angle de la théorie des modèles et
des probabilités)
Samedi 7 avril 2001
o Thomas NOLL et Andreas
NESTKE (mathématicien) : Enharmonicity as a Key to a Cognitive Dynamics of
Music
o Stephane SCHAUB (informaticien) : Sur le lien
mathématiques-musique chez Xenakis
Samedi 5 mai 2001
Bilan du séminaire par
[1] Sur le corps
à quatre éléments se combinent, suivant un dispositif hexagonal, 12 logiques
booléennes isomorphes et distinctes, dont les algèbres de fonctions logiques
sont donc isomorphes à l'algèbre de Post-Malcev $P_2$, pour produire une
logique dont l'algèbre des fonctions est l'algèbre de Post-Malcev $P_4$, que
l'on comprendra comme borroméenne de quatre façons ou modes. De surcroît il
existe 12 spéculations où points de vues (ou notes) dont on peut jouer pour
annoter des formules classiques, et qui engendrent encore la même logique borroméenne.
On dispose ainsi d'un outil détaillé en un formulaire explicite pour rompre les
paradoxes logiques et pour faire entendre leurs sens. Dès lors se pose la question
de comprendre le sens comme une composition sur ces 12 notes.
[2] La
généralisation de la sextine du troubadour Arnaut Daniel par Antoine Tavera et
Raymond Queneau a donné lieu à une vaste exploration d'un petit morceau du
groupe des permutations sur n lettres et
a donné naissance à de nombreuses formes poétiques originales. On
essayera d'interpréter cette stratégie de composition poétique et on posera une
question aux musiciens.
[3]
De l’hexagone logique en
matière d’œuvre musicale composite
(mamuphi,
Ens - 7 janvier 2012)
François Nicolas
De quelle manière l’hexagone
logique des contraires dégagé par Robert Blanché et développé par Jean-Yves
Beziau peut-il orienter une formalisation de la logique propre au discours
musical, y compris au discours si spécifique de l’œuvre musicale composite (ou
mixte) ?
On examinera ces points mamuphiques à l’ombre de l’orientation philosophique
suivante : les véritables décisions sont d’ordre ontologique (et non pas logique), et les délibérations logiques qui les suivent (nullement qui les précèdent)
s’attachent alors à en évaluer les conséquences phénoménologiques dans une situation ontique donnée.
I
On montrera d’abord de quelles
manières cet hexagone
1. met en scène trois figures distinctes de la négation
logique :
—
la négation classique des contradictoires [rouge] ;
—
la négation intuitionniste des contraires [bleue] ;
—
la négation paraconsistante des sub-contraires [verte] ;
2. restitue ce faisant les trois types philosophiques de
synthèse distingués par Deleuze :
—
la synthèse connective (celle d’un « donc »),
—
la synthèse conjonctive (celle d’un « et »),
—
la synthèse disjonctive (celle d’un « ou » exclusif) ;
3. articule, par son système d’implication, deux types d’objets :
—
des produits (dotés d’un contradictoire et de deux
contraires) ;
—
des sommes (dotées d’un contradictoire et de deux subcontraires).
Hexagone logique (sa syntaxe & une sémantique
possible)
II
On entreprendra d’approprier
cette structure logique à la discursivité proprement musicale en posant qu’en
musique, la négation est essentiellement une altération (Veränderung).
On spécifiera ainsi le travail
du négatif en musique selon trois principes, venant contraposer logique
musicale et logique aristotélicienne :
—
Le principe de
différenciation s’opposant au
classique principe d’identité :
aucun terme n’est, posé deux fois, identique à lui-même si bien qu’en musique,
répéter, c’est altérer.
—
Le principe de
négation contrainte s’opposant au
classique principe de non-contradiction : tout objet musical posé doit se composer avec son
contraire, c’est-à-dire se composer en devenir (avec sa propre altération).
—
Le principe du tiers
obligé s’opposant au classique principe
du tiers exclu : tout terme
musical posé (A) doit se composer avec un autre terme (B), autre que la
négation en devenir du premier (A’).
Ces trois principes, qui
configurent la composition musicale comme interaction minimale entre trois
objets - un objet premier A, son altération A’ et un autre objet B –
conduiront à la construction de deux hexagones musicaux : l’un rapportant
des relations spécifiquement musicales (identité/répétition – altérité
constituante/altération constituée), l’autre rapportant des types d’objets
spécifiquement musicaux (thèmes/cothèmes - objets génériques/motifs
constituants…).
III
Qu’en est-il alors de cette
logique musicale dans ces œuvres composites qui entrelacent deux logiques
discursives hétérogènes : celle de la musique et celle d’un flux non musical
accueilli dans l’œuvre en question ? Qu’en est-il en particulier quand ce
flux non musical est le flux sonore et signifiant d’un discours tenu en langue
arabe ?
Pour ce faire, peut-on
identifier, dans la grande langue arabe littéraire, quelques manières
spécifiques de donner forme discursive au travail du négatif ?
On examinera, pour ce faire,
trois modalités caractéristiques de cette discursivité « arabe »
qu’on tentera de formaliser selon les principes logiques organisant notre
hexagone :
—
la parataxe, si cardinale en langue arabe, qui constitue un mode
spécifique d’implication par apposition de blocs ;
—
le Diddun – soit ce type de mot venant indexer simultanément une
chose et son contraire – qui somme des contraires selon l’unité disjointe d’une
alternative ;
—
l’hapax comme exception produite par une double négation
(selon le modèle « Nul dieu sauf Dieu ! ») où la négation d’une négation contraire génère
un contradictoire singulier.
On aboutira ce faisant à
l’hexagone suivant :
IV
Sur ces bases, on tentera de
mettre nos hexagones « musicaux » et « arabe » en raisonances en sorte de clarifier l’intention/intension compositionnelle suivante : comment une œuvre
musicale composite pourrait-elle entreprendre d’avouer musicalement quelque(s) secret(s) de la langue arabe, sachant bien
sûr que « ce n’est pas parce qu’on l’avoue qu’un secret cesse d’être un
secret » (Jacques Lacan) ?
On devinera qu’il s’agira ici
de conclure - tout à fait provisoirement ! - sur ce qu’un tel type d’œuvre
musicale mixte pourrait avoir de spécifiquement concret.
[4] Cette séance
se propose d’ouvrir une discussion sur quelques enjeux de la démarche
phénoménologique à partir des problèmes théoriques posés par la formalisation
algébrique et catégorielle en musique. L’approche transformationnelle en
théorie et analyse musicales soulève en effet des questions philosophiques
intéressantes, notamment dans ses rapports avec la phénoménologie husserlienne
et les sciences cognitives. On se propose de confronter ce point de vue avec
d’autres lectures de la phénoménologie dans ses relations avec la pensée
mathématique contemporaine en montrant, ainsi, toute l’actualité de l’approche
phénoménologique dans les (neuro)sciences cognitives. En s’appuyant sur une
double formalisation de la phénoménologie, l’une issue des modèles
morphodynamiques et l’autre de la théorie des catégories, on posera la question
du rapport entre phénoménologie et structuralisme en ouvrant le débat sur la
possibilité d’une coexistence d’une démarche structurale et d’une approche
phénoménologique en sciences humaines. On avancera donc en conclusion
l’hypothèse d’une pertinence de la catégorie de « structuralisme
phénoménologique » dans une relecture/réactivation de la tradition structurale
tout en montrant les implications d’une telle entreprise au sein d’une théorie
mathématique de la musique.
Références bibliographiques et
documents préparatoires disponibles à l'adresse :
http://repmus.ircam.fr/moreno/mamuphi
[5]
Extension de Kan et écoute musicale
« élargie » d’une œuvre musicale « mixte »
(mamuphi, 9
octobre 2010)
F. Nicolas
« Aujourd’hui, la musique a besoin de quelque chose d’hétérogène
pour rester art. » (d’après
Adorno) [1]
Il s’agira d’examiner l’aptitude
d’une notion mathématique – celle d’extension de Kan [EK] - à formaliser ce que nous proposons d’appeler l’écoute
musicale élargie d’une œuvre musicale mixte [OMM].
Nous repartirons pour cela des
résultats d’un précédent travail (présenté en mamuphi le 10 octobre 2009 et disponible sous forme du
chapitre D.II d’un prochain livre – le monde-Musique - à paraître en 2011) [2]. On y thématise l’OMM (ou
œuvre musicale accueillant en son sein un flux hétérogène – texte,
chorégraphie, vidéo… - sans pour autant l’homogénéiser à la musique ou se
contenter de l’accompagner musicalement) comme « extension auratique de
l’œuvre musicale ».
On se demandera alors :
existe-t-il, corrélativement à l’extension de l’objet musical en question, une
extension de son écoute (soit une extension d’un rapport musical à cet objet
étendu) ? L’écoute musicale de l’OMM peut-elle être ainsi pensée comme une
extension de l’écoute musicale « ordinaire » ? Dans quelle
mesure l’OMM invente-t-elle une écoute proprement musicale du flux non musical
accueilli ? Par exemple, y a-t-il une manière proprement musicale
d’écouter le poème chanté par/dans un lied ?
C’est en ce point que la
notion mathématique d’EK va être mobilisée (quand celles d’extensions
algébrique et générique nous avaient éclairés sur l’extension d’objet
constituant l’OMM).
On commencera par rappeler les
notions techniques de foncteurs adjoints et d’extension de Kan.
On formalisera ensuite notre
problème avec ces notions en sorte de préciser ce que l’énoncé suivant veut
dire : « l’écoute musicale de l’OMM est formalisable comme EK d’une
écoute de la musique à l’œuvre ».
On en viendra à la question
suivante, mathématiquement délicate (« non triviale » nous disent
Barr & Wells) [3] mais musicalement essentielle : cette extension
d’écoute est-elle constructible pas à pas (« pointwise »
disent les anglo-saxons) ? Soit, en première approche : cette écoute
musicale élargie est-elle constructible localement à partir de l’écoute
musicale ordinaire ou relève-t-elle d’une édification globale, sans embrayage
local ?
On thématisera d’abord ce que
« construction point par point » (pointwise) veut mathématiquement dire (au moyen de différents
exemples mathématiques) et on examinera ensuite son ajustement à notre
question, ce qui reviendra à examiner techniquement le point suivant :
dans quelles conditions un extension de Kan est-elle constructible point par
point ?
On s’appuiera, pour ce faire,
sur trois présentations mathématiques :
—
celle de René Guitart
lors de son quatrième cours mamuphi
« Catégories et structures » du 6 mai 2010 [4]
—
celle de Barr & Lane
dans Toposes, Triples and Theories
(Kan extensions :
p. 56-61)
—
celle de Mac Lane dans Categories
for the working mathematician (chap.
X : Kan Extensions) [5]
On s’attaquera ensuite à la
démonstration mathématique du théorème suivant [5] :
« dans certaines conditions, la construction point par point d’un foncteur
adjoint par limites (ou colimites)
produit une extension de Kan à droite (ou à gauche) ».
On examinera ce que ce
développement mathématique éclaire quant à notre problème musical.
On en conclura trois points,
intéressants directement l’intellectualité musicale de l’OMM :
1. Une écoute musicale élargie s’affirme immédiatement à
une échelle globale sans transiter par une construction localement constituée.
2. L’éventuelle décision musicale qui imposerait a
contrario un embrayage local, un contrôle point par point, une constructibilité
généralisée du rapport auditif à l’OMM (on la nommera « décision
boulézienne »), conduirait à thématiser ce rapport auditif comme simple
perception/audition et non comme écoute musicale proprement dite.
3. La vertu musicale propre de l’OMM réside ainsi en une
dialectique entre construction point par point de son aura poétique et écoute
globale du flux hétérogène qui l’a fécondée.
Soit la conclusion très simple
suivante : le lied (par exemple) ouvre à une écoute proprement musicale de
son poème mais, si ce lied construit bien ponctuellement son extension
auratique (comme on l’a montré en octobre 2009), pour autant l’écoute musicale de ce lied balance entre écoute de proche en proche au
fil de la musique et écoute uniquement globale de l’intension du poème.
Au total, l’OMM est une extension
localement constituée mais l’extension de son écoute est globalement
constituante d’une écoute musicale de l’hétérogène.
[1] Son énoncé exact
est : « L’art a besoin de quelque chose qui lui est hétérogène
pour devenir art. »
[2] Il est disponible à
l’adresse http://www.entretemps.asso.fr/maths/D.II.pdf
[3] Toposes, Triples and
Theories - p. 57
[4] http://www.entretemps.asso.fr/maths/Cours4.htm
[5] Plus spécifiquement ici
X.3
*
[6]
Extensions
de Kan et transformée de Fourier
F.
Jedrzejewski
Après un rappel sur les extensions de Kan
et l'intérêt de la transformée de Fourier pour la musique, nous présentons les
généralisations qui ont eu lieu à partir du théorème de dualité de Pontryagin
(1934), établies d'abord pour les groupes non commutatifs par Tannaka (1938),
puis étendues aux algèbres de von Neumann et de Kac dans les années 1970.
Les constructions catégorielles récentes
définissent les transformées de Fourier à droite et à gauche dans des
catégories promonoïdales comme des extensions de Kan.
Nous présentons l'idée de cette
construction et vérifions que cette transformation a les propriétés usuelles
d'une transformée de Fourier, en particulier, qu'elle préserve les convolutions
et la relation de Parseval.
[7] "Classiquement" la Théorie des Catégories
étudie les propriétés des catégories, foncteurs et transformations naturelles.
Ce que j'appelle méthodes "transcendantes" est l'utilisation, pour
l'étude de ces notions, de
"foncteurs généralisés", les distributeurs que je définirai et dont je donnerai quelques
propriétés.
Puis je donnerai quelques exemples de leur utilisation
en théorie "classique" des catégories. Mais ils ont une "vie
propre" et j'indiquerai comment on peut élaborer toute une "théorie
non classique" en les utilisant.
[8] Les pages
que Schopenhauer a dédiées à la musique sont profondément liées à la fois à sa
métaphysique et à la culture musicale de son temps. Elles présentent des idées
qui ont eu une importance fondamentale dans notre culture: la supériorité de la
musique instrumentale ou musique « absolue », la vision romantique de
la musique comme langue universelle, et encore la puissance expressive de la musique.
On propose ici d’analyser la philosophie de la musique
de Schopenhauer en relation à ces contextes. On pourra apprécier le fait que,
pendant les dizaines d’années de son activité, la réflexion de Schopenhauer sur
la musique a introduit d'assez importantes transformations conceptuelles.
[9] On se
propose de décrire le modèle d'Ising , en termes physiques et combinatoires.
Puis on posera le problème de la limite thermodynamique et de la limite
continue, menant à la notion de domaine (de Weiss). On introduira ensuite les
notions diverses d'entropie, et les théorèmes de concentration correspondants.
On sera alors équipé pour des applications à la physique statistique, la
chimie, la biologie ...
[10]
École mamuphi de
musique, pour philosophes et autres non-musiciens :
Les enjeux (généalogiques, archéologiques et
esthétiques) d’une œuvre musicale
Le projet est d’introduire les auditeurs (en
particulier ceux qui ignorent le solfège) aux enjeux musicaux d’une œuvre.
Si les enjeux musicaux d’une œuvre se donnent dans la
dialectique interprétative d’une écoute et d’une lecture de la partition, le
défi de cette école est alors d’ouvrir un accès à la partition d’une œuvre pour
qui ne sait la lire (sans pour autant transformer bien sûr l’école en classe de
solfège).
Chaque leçon s’attachera à une œuvre pour en dégager
les enjeux musicaux contemporains (s’entend : pour un aujourd’hui musicien
de la création musicale).
Les enjeux seront dépliés selon un triple point de
vue :
généalogique :
avec quelles œuvres musicales cette œuvre dialogue-t-elle ?
archéologique :
comment cette œuvre rétroagit-elle sur l’état du monde de la musique dans
lequel elle s’enracine ?
esthétique :
de quelle époque de pensée cette œuvre musicale se veut-elle
contemporaine ?
Chaque œuvre sera présentée par un musicien qui
s’attachera à détailler pour quiconque sa partition, ses interprétations significatives
et une écoute possible.
[11] On
commencera par une analyse musicale qui aborde l’œuvre selon son écoute (la
musique n’est-elle pas l’art spécifique de l’écoute ?).
Pour ce faire, on repèrera d’oreille (à un type très
spécifique de fluidité rythmique faisant trou dans l’ordre musical du discours)
un moment singulier intervenant dès les premières mesures (mes. 18-19), moment
qui s’avère susceptible d’orienter l’écoute globale de l’œuvre (on appelle moment-faveur ce type particulier de moment).
On analysera, cette fois partition en mains, ce moment
pour en dégager la figure de crux
rythmique (en reprenant à Ralf Kirpatrick analysant les sonates de Scarlatti le
terme de crux pour l’approprier à
un tout autre contexte).
De quelle manière ce moment-faveur oriente-il l’écoute
en lui proposant un fil rouge, traversant l’œuvre de part en part?
On dégagera d’abord le double striage extrêmement
contraignant qui ossature l’œuvre d’un bout à l’autre : en termes de
rythmes d’une part (trains d’impulsions régulières) et de hauteurs d’autre part
(séries tous intervalles inscrites verticalement).
On exhaussera alors la fluidité affleurant lors du
moment-faveur comme index d’une subjectivité musicale parcourant fantasmatiquement
le territoire rigoureusement balisé selon des lois inapparentes.
On dégagera ce faisant comment un contraste local entre
deux voix s’accorde, au fil de l’œuvre, à un contraste régional entre deux
tempi comme à un contraste global entre deux allures en sorte, au bout du
compte, d’entendre la figure de crux
comme constitutive de l’intension
musicale stratégique ici à l’œuvre.
À partir d’une telle intelligence musicale de l’œuvre,
on examinera ses enjeux généalogiques (la généalogie de l’œuvre est
simultanément schumanienne et sérielle, ce qui suffirait en soi à l’inscrire
comme singularité…), archéologiques (ce que, dans le monde-Musique contemporain, figure peut vouloir dire s’il ne s’agit plus d’un thème ou
même d’un objet musical proprement dit) et esthétiques : quelles raisonances avec le travail freudien du rêve
(condensation et déplacement) et avec une problématique de la subjectivité
comme traversée hasardeuse d’un esplace institutionnellement réglé ?
[12]
François Nicolas : Théoriser l’engendrement d’une
aura poétique par l’œuvre musicale mixte à la lumière mathématique du forçage
(P. J. Cohen) d’une extension générique
On partira de deux hypothèses.
1) La première est de
fond : les œuvres musicales mixtes (celles qui mettent en œuvre deux
déroulements temporels synchronisés : texte, danse, film, action
scénique…) peuvent engendrer une aura poétique, qui constitue une sorte d’extension
enveloppant l’œuvre de départ - cette hypothèse est suggérée par la théorie
wagnérienne du drame (Opéra et Drame,
1850) qui prône une musique poétiquement fécondée.
2) Comment théoriser
expérimentalement la constitution musicale d’une telle « aura
poétique » ? C’est là qu’intervient notre seconde hypothèse, cette
fois de méthode : éclairer une telle théorisation par la mathématique des
extensions, plus précisément du forçage (forcing) d’extensions génériques (P. J. Cohen).
Ceci engage un programme de
travail mamuphi 2009-2010 :
l’exposé (qui, au demeurant, ne supposera nulle compréhension préalable de la
mathématique du forcing – on présentera liminairement sa dynamique générale)
sera donc problématisant plutôt qu’il n’offrira un fascicule de résultats
(voir, en annexe, le fascicule de résultats pour le programme 2008-2009).
Les principales idées qui vont
guider cette théorisation musicienne à la lumière des mathématiques sont les
suivantes :
1. Une œuvre musicale mixte compose des interactions entre
flux temporels synchrones.
2. Ces interactions seront formalisées comme interférences
entre différents types de segmentation (segmentation proprement musicale,
segmentation littéraire ou chorégraphique…).
3. Dans une œuvre musicale mixte, c’est la musique qui dirige
ces interactions, ce qui implique une violence musicale exercée sur le flux
hétérogène que l’œuvre accueille et épouse.
4. La composition proprement musicale d’une extension
auratique mobilise la « convolution » de deux opérations inverses :
une « modulation » de la segmentation musicale par la segmentation
hétérogène, puis une « rétroaction » de la segmentation musicale
ainsi modulée sur le flux hétérogène.
5. Dans la première opération – « modulation »
-, la musique fait violence au flux hétérogène en déposant son inspect propre (tout en captant son aspect et épousant son intension). Dans la seconde opération –
« rétroaction » -, la musique fait violence au flux hétérogène en le
remodelant selon un inspect musical
importé, non natif.
6. Au total, l’œuvre musicale mixte sera ainsi ressentie
comme étendue (dotée d’une aura), la pointe de la théorisation, guidée par la
problématique mathématique du forcing, étant alors d’examiner de quelle manière
il est possible de contrôler, de l’intérieur même de la musique (compositionnellement donc), une telle extension
auratique non musicale (tout de même que la mathématique contrôle une extension
algébrique du corps des rationnels ℚ de l’intérieur
même de l’espace des polynômes à coefficients dans ℚ et tout de même que le forcing contrôle l’extension M[G] de l’intérieur même de l’espace de départ M).
Annexes
Documentation mathématique
sur le forcing des extensions génériques (Paul J. Cohen)
· Thomas Jech : What is forcing ?
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Jech.pdf
·
Timothy Y. Chow :
o
Forcing for dummies
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Dummies.pdf
o
A beginner’s guide to forcing
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Chow.pdf
· Patrick Dehornoy : La méthode du forcing
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Dehornoy.pdf
Fascicule de résultats du
programme de travail (2008-2009) sur la théorie des faisceaux
· Objets :
l’objet musical (le morceau de musique) est un faisceau.
B.VIII : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.VIII.pdf
· Relations : mais les plus musicales des relations entre ces objets (leurs
influences réciproques) ne sont pas des morphismes (de faisceaux).
B.IX : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.IX.pdf
· Topos :
au total, le monde-Musique (fait de
ces objets et de leurs relations c’est-à-dire des morceaux de musique et de
leurs influences musicales) n’est donc pas un topos de faisceaux.
B.X : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.X.pdf
[13]
Logics and Music Theory appear
in different classifications of the medieval academic curriculum. Logic is part
of the trivium (among grammar and rhetoric, while music theory is listed among
the more mathematical disciplines: arithmetic, geometry and astronomy). Logics
as the study of reasoning underwent a tremendous transformation through a
process of formalization and mathematization. Music Theory opened its scope to
many non-mathematical aspects (in particular those, traditionally covered by
the disciplines of the trivium). This "contrary motion" of research
interest offers several meetings points for Logics and Music Theory. One
particularly interesting 19th century meeting point shall be the starting point
for my talk which then proceeds into 20th century Logics and Mathematical Music
Theory.
Moritz Hauptmann (1953) in his
treatise "Die Natur der Harmonik und der Metrik: Zur Theorie der
Musik" presented some ideas which mark a radical position in the context
of this MaMuPhi session. Hauptmann interprets music first of all as a
manifestation of human thought. While assuming general dialectical principles
behind the activity of human thought he claims that musical mistakes are
logical mistakes. According to Hauptmann the unity of a tonality (Tonart) is
the result of a dialectical triad. Inspired by the idea to literally interpret
the musical triad as a dialectical triad, he loads the names of the intervals
octave, fifth and third with the corresponding dialectical meanings. A tonality
is a kind of hypertriad, i.e. constituted by three musical triads. Their
contiguity via common tones is the source for the Quintbegriff of the tonality,
a diremption as the result of conflicting tone meanings. The mediating and
unifying Terzbegriff is based on a change of perspective: the state of the
tonic triad of being a dominant (relative to the subdominant triad) is turned
into the state of having a dominant (relative to the dominant triad).
Hugo Riemann's (1872 and
1874) "Musikalische Logik" is inspired by Hauptmann's ideas. Riemann
elaborates upon the explanatory power of this dialectical paradigm for the
constitution of typical cadences. I will show some traces of the intellectual
squeeze on Riemann when he tries to bring both sides together: the dialectical
explanation and music-theoretical facts. [Being in Paris I cannot refrain from
re-addressing Riemann's problem with a side glance to the semiotic square].
Riemann's "Musikalische
Logik" and "Musikalische Syntaxis" inspired the recent
Neo-Riemannian approaches by David Lewin, Richard Cohn, Clifton Callender, Jay
Hook, Tom Fiore and Ramon Satyendra and several others. But these left the
original dialectical motivations behind. Yet the transformational approaches of
David Lewin and Guerino Mazzola offer new ways to tie up with H. Riemann's
orphaned project of a "musical logic". My 2004 article "The
Topos of Triads" is an attempt in this direction. [In my MaMuX-talk
(friday december 4) I will clarify the close mathematical links between these
investigations on the one hand and the american Neo-Riemannian tradition on the
other]. The locial component which enters music theory here, is the internal
logical semantics of a topos, even though in a rudimentary way. I will explain
and illustrate this in my talk.
[14]
Cet
exposé est divisé en deux parties. Dans la première partie, on discutera le
caractère à la fois algébrique et géométrique des approches
transformationnelles en musique [Lewin 1987/2007] en séparant la composante
proprement théorique des applications analytiques. Dans la deuxième partie, à
partir d’une généralisation catégorielle de certaines constructions transformationnelles
[Mazzola & Andreatta 2006], on
essaiera de donner quelques éléments en vue d’une interprétation philosophique
des approches transformationnelles. Bien qu’ayant des rapports étroits avec le
positivisme logique [Andreatta 2006], nous proposons une nouvelle lecture
philosophique de l’approche transformationnelle visant à élargir les catégories
structurales appliquées traditionnellement à la musique more linguistico afin de mettre en
lumière des nouveaux enjeux philosophiques relevant du rapport entre
structuralisme et phénoménologie [Boi et al. 2007]. Après une brève
digression sur la place de la logique dans les approches set-théoriques et
transformationnelles [Kolman 1999], on conclura en présentant une démarche
récente autour du projet d’une géométrisation de l’analyse musicale basée sur
la théorie des orbifolds [Tymoczko 2006 ; Callender et al. 2008] et dépassant,
selon l’un des auteurs, certaines limitations de l’approche transformationnelle
de David Lewin [Tymoczko 2010].
Références
bibliographiques :
· [Lewin 1987/2007] D. Lewin, Generalized Musical
Intervals and Transformations, Yale
University Press (réédition Oxford University Press, 2007).
· [Kolman 1999] O. Kolman, « Generalized interval
systems: an application of logic », Orbis Musicae, Rethinking Interpretative
Traditions in Musicology, Conference Proceedings, Tel Aviv University, 67-73.
·
[Andreatta 2006] M.
Andreatta, « Mathématiques, musique et philosophie dans la tradition
américaine : la filiation Babbitt/Lewin », intervention au séminaire
MaMuPhi du 18 novembre 2006
[http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1560].
·
[Mazzola/Andreatta 2006]
G. Mazzola, M. Andreatta, « From a Categorical Point of View :
· K-nets as Limit Denotators », Perspectives of
New Music, 44(2).
· [Tymoczko 2006] D. Tymoczko, « The Geometry of
Musical Chords », Science 313,
p. 72-74.
· [Boi et al. 2007]
L. Boi, P. Kerszberg, F. Patras (éd.), Rediscovering Phenomenology.
Phenomenological Essays on Mathematical Beings, Physical Reality, Perception
and Consciusness, Springer.
· [Callender et al. 2008] C. Callender, I. Quinn, D. Tymoczko, « Generalized Voice-Leading
Spaces », Science 320, p.
346-348.
· [Tymoczko 2010] D. Tymoczko, « Generalizing
Musical Intervals », à paraître dans Journal of Music Theory
[15]
La modélisation mathématique, par exemple en musique, est basée
sur des "structures algébriques" déterminées en général par des lois
de compositions binaires. Est-ce naturelle ? Est-ce simple ? En fait il est
parfois mieux d'utiliser des lois de compositions ternaires.
Il arrive alors que les axiomes soient plus naturels,
les calculs plus simples. En fait
si ce que l'on modélise est rythmé par 3, si les objets s'y disposent
spontanément par 3, alors présenter la situation par un système binaire reste
artificiel. C'est comme cette conception malheureuse de Jean Dieudonné qui
rejetait les espaces affines au profit des espaces vectoriels ; au prix de
l'artifice de fixer une origine dans l'espace, alors que celui-ci est pourtant
sans origine. La réduction du 3 au 2 dépend de façon analogue de systèmes de
choix artificiels d'origines. C'est possible, cela permet un développement analytique
plus élémentaire mais parfois plus aveugle, mais il ne faut pas alors oublié
ensuite d'analyser les effets de ces choix, ce qui, en réalité relève d'une
petite analyse cohomologique (disons d'effets de torseurs). On gagne par
exemple à examiner comme ternaire la loi sur une cubique. Au passage on
réexaminera l'idée d'objet borroméen, et le groupe de Klein $G_{168}$ sera
revue à l'aide d'une loi ternaire. En fait je montrerai comment en général la
représentation du ternaire dans le binaire est possible, à travers notamment un
théorème de Post un théorème de
Gluskin-Hoszu, un théorème de
Tamari-Ginsburg, et enfin un théorème de représentation par semi-anneaux. Le
résultat est donc, pour les musiciens, qu'ils pourront dès lors commencer
certains modèles au niveau de leur naturel ternaire, pour ensuite seulement, si
nécessaire pour l'analyse, réduire automatiquement au binaire. Cette démarche
peut sembler préférable à celle où d'emblée le modélisateur essaie directement
d'utiliser les outils binaires connus à disposition, même si en fait ceux-ci ne
s'adaptent que mal, suivant des contorsions difficiles. et incontrôlées.
[16]
1. Du binaire au
ternaire pour élargir l'espace
Suivant la
Chromodynamique quantique, l'antinomie Noir – Blanc peut s'ouvrir à une
nouvelle dimension en passant à la couleur (RVB). On peut donner à celle-ci un
sens général qui concerne, non l'œuvre en elle-même, mais le rapport à l'œuvre.
Alors Vert dénote le devenir, l'évolution; Bleu : la variance, la latéralité;
Rouge : la fondation, le type, l'inscription transverse. Ces nuances se lisent
en mathématiques, sur les schémas et sur les textes.
2. Du ternaire au
binaire pour intégrer le mouvement
Comme l'ont noté Bailly
& Longo, la science décrit des transformations entre deux états supposés
définis.Pour intégrer le mouvement dans la pensée (Bergson), il est utile de
passer à la tendance ou force. La perception (sans sujet ni objet) se modélise
par une spire = une boucle ouverte sans extrémités définies. L'objet se définit
alors comme l'invariant dans un cône (selon la démarche de Kant).
3. Du binaire au
ternaire pour poser
La perception (binaire)
est une interface, une visée. Elle se projette sur des objets se définissant
(action modélisée par une boucle), l'autre pôle de cette interface
–l'expectative de la visée - est une valeur, question ou grandeur, notions
regroupées sous le terme pôle -archétype. Ces pôles jouent différemment dans la négation et suivent un mouvement
de pulsation.
Ainsi se dessine un
ternaire entre action, perception et pôle, mais ce ternaire concerne trois
ordres de choses différents et non plus une transformation.
[17]
Dorothea
Graumann, Baronne von Ertmann, est une des pianistes les plus talentueuses au
début du XIXème siècle. Elle connut Beethoven au début de sa carrière, se
passionna pour sa musique et, selon les mots du compositeur, elle fut capable
de l’interpréter comme «la vraie tutrice des créatures de mon esprit» (cité par Walter Riezler, Beethoven). Quand, en 1831, Felix Mendelssohn lui rendit visite
à Milan, ils passèrent plusieurs heures ensemble à évoquer la musique de
Beethoven. Mendelssohn fut frappé par la narration d’un épisode remontant à
vingt ans auparavant. À la suite du deuil infligé par la mort du plus jeune de
ses fils, la Baronne avait renoncé à la vie mondaine, et Beethoven lui-même, en
craignant de la troubler, avait évité de la voir. Il attendit le retour à la
vie et à la musique de son amie, et quand elle se rendit chez lui, il s’assit
au piano et murmura une seule phrase : «on va parler par la musique». Il joua durant plus d’une heure et il lui laissa une
impression inoubliable, une impression qu’elle expliqua à Mendelssohn avec ces
mots: «Il me dit tout, et enfin il me donna réconfort» (l’épisode est relaté par Alexander Thayer, Life
of Beethoven ).
L’idée
que la musique instrumentale puisse exprimer un langage universel, plus profond
et précis que la parole, fut élaborée par les philosophes et les musiciens pendant
la première moitié du XIXème siècle. En suivant Haydn et Mozart, Beethoven
donna à la musique une capacité expressive inconnue auparavant. Le sujet de
l’indépendance de la musique de par rapport à l’expression verbale, que Carl
Dahlhaus a brillamment défini «musique absolue», manifeste le changement profond de la notion de
musique au XIXème siècle par rapport à l’époque précédente. Cette notion est
devenue une part essentielle de notre culture sous le nom d’"esthétique
musicale romantique". Elle fut
développée par des écrivains romantiques allemands – Ludwig Tiek, Wilhelm
Heinrich Wackenroder, E.T.A. Hoffmann entre autres – et par des philosophes à
l’âge romantique, notamment par Schopenhauer et Hegel.
La question qui se pose est celle de l’adjectif "romantique". Hoffmann célébra comme "romantique" la musique des grands maîtres du style
classique, Haydn, Mozart et Beethoven. Hegel et Schopenhauer proposèrent la
notion de "musique absolue"
en glorifiant Rossini. Nous essayons d’aborder cette question en examinant les
relations entre philosophie, sciences et musique dans les premiers décennies du
19ème siècle.
[18]
· S’il est vrai que l’intellectualité mathématique trouve
son impulsion réflexive dans le geste d’Évariste Galois (1833) décidant que les
mathématiques doivent « sauter à pieds joints par-dessus les
calculs » pour mieux déployer la
puissance formelle de leurs concepts, s’il est vrai que depuis lors se dessine
une polarisation du champ mathématique entre d’un côté ce qu’Alain Connes
appelle « mathématiques fondamentales » et de l’autre ce que le (néo)positivisme appelle
« mathématiques pour la modélisation », comment tout ceci concerne-t-il cette intellectualité musicale mamuphi qui se soucie des raisonances musique-mathématiques ?
· S’il est vrai que les rapports musique-mathématiques ne
sauraient être entièrement réfléchis de l’intérieur de la musique ni de
l’intérieur des mathématiques - l’autonomie de pensée de la mathématique n’est
pas intelligible de l’intérieur de la musique, et vice versa -, s’il est vrai
qu’il faut donc convoquer la philosophie pour s’orienter dans ces rapports, comment
la réactivation actuelle du structuralisme conçu comme mouvement philosophique
déployé contre le positivisme (et non comme épistémologie des sciences
humaines) peut-elle éclairer les débats mamuphi en cours ?
· S’il est vrai que l’entreprise structuraliste constitue
une nouvelle donne en matière de théoricité, où s’affrontent deux modes de théorisation – d’un
côté des pratiques théoriques, conjoncturellement
situées et subjectivement orientées comme interventions stratégiques s’épuisant
dans leurs effets ; de l’autre des théories objectivement applicables, outils venant se déposer et
s’ajouter à l’encyclopédie des savoirs -, de quelle manière cette ligne de
partage éclaire-t-elle les différentes manières de théoriser la musique à la
lumière des mathématiques et à
l’ombre de la philosophie ?
Sur la base de réponses à ces
trois questionnements, on essaiera de clarifier ce qu’il en est de possibles
connivences entre intellectualités mathématiques attachées aux
« mathématiques fondamentales » (tout particulièrement celle de
Grothendieck) et intellectualités musicales attachées à des pratiques
théoriques mathématiquement éclairées
et s’inscrivant ainsi dans la droite ligne de cette déclaration, contemporaine
de la fondation ramiste de l’intellectualité musicale : « Ce n'est
que par le secours des Mathématiques que mes idées se sont débrouillées. » (Rameau).
On exposera à ce titre un
programme de travail visant à éclairer le monde de la musique par les concepts
mathématiques de faisceaux et de topos (Grothendieck / Lawvere). On l’initiera
en formalisant mathématiquement l’idée suivante : une œuvre musicale est
un faisceau d’interprétations, le faisceau des interprétations d’une partition
donnée. Ceci ouvrira à une formalisation possible du monde de la musique comme
topos d’œuvres.
[19] Les productions des langues naturelles se présentent
comme des concaténations d'éléments. On peut traduire mathématiquement la
concaténation par la loi de composition d'un monoïde.
Mais
toute suite de mots ne constitue pas une phrase ; il faut une structure
syntaxique. De telles structures constituent les morphismes d'une catégorie
monoïdale.
Les théories interprétatives, comme la phonologie ou la
sémantique introduisent des filtres additionnels, qu'il paraît convenable de
prendre en compte au moyen d'une topologie convenable. Une théorie
interprétative est alors représentée par un faisceau sur un site convenable.
[20] Nous demanderons à un
article devenu célèbre de M.Kac (Can one hear the shape of a drum?) de nous servir de prétexte pour une promenade à travers
des phénomènes et des questions
mathématiques et physiques qui sont parmi celles qui ont marqué le
vingtième siècle.
Sans forcer le pas ni le trait, on peut rencontrer ainsi entre
autres les systèmes dynamiques sous la forme des billards et des flots
géodésiques, partant la distinction cruciale entre elliptique et hyperbolique,
la quantification et la correspondance entre flots géodésiques et analyse
harmonique, la question de départ qui est celle de l'isospectralité possible -
et de fait réalisée - entre des variétés riemanniennes, la formule des traces
de Selberg qui réalise en quelque sorte la correspondance entre les théories
classique et quantique dans les cas favorables, l'hypothèse de Riemann, la
question du `chaos quantique' qui reste
passablement mystérieuse, l'importance des orbites périodiques dans ce
contexte, comme aussi l'énigme du
rayonnement du corps noir qui est à la source de l'introduction (toujours
mystérieuse elle aussi) de la
quantification, etc.
Ajoutons tout de même qu'il s'agit bien aussi d'écouter une
certaine musique, comme le marquent et la question de départ et la biennommée
analyse harmonique.
Ce qui précède est presque à dessein décousu sinon
incompréhensible. Car s'il ne sera pas directement question de philosophie, il
s'agit pourtant d'illustrer sur le terrain un point aussi important que simple,
à savoir que les mathématiciens se promènent au jour le jour dans une forêt de
phénomènes lentement mis au jour, et qui rappellent fortement ceux que la
physique s'efforce (en principe, car ce n'est plus toujours aujourd'hui si
évident) de démêler. Et pour cause, puisque ce sont parfois les mêmes - et
parfois non.
Ces phénomènes sont `simples' par leur universalité même et s'ils
illustrent amplement la fameuse phrase de Galilée sur la nature écrite en
langage mathématique, celle-ci se laisse aussi bien lire à l'envers, comme une naturalisation
des mathématiques, ce qu'explorent quelquefois aussi les sciences cognitives
(sans qu'il soit forcement besoin
de trouver là un `nouveau paradigme').
On pourra en dernière instance poser alors quelques questions,
comme celle de tenir ensemble `philosophiquement' cette résistance de l'objet mathématique souvent très
incomplètement exploré, souvent presque inaccessible, et la construction de ce
que les mathématiciens appellent `les grandes machines', qui abordent d'autre
manière le même réel mathématique (car chacun sait que les mathématiciens sont
`naïvement' platoniciens, i.e. d'une naïveté que la pratique s'est chargée de
leur enseigner).
[21] En guise de commentaire sur les systèmes évolutifs à
mémoire d'Ehresmann-Vanbremeersch (dont nous rappellerons ce qui nous sera
utile), nous voulons proposer une manière catégoricienne de modéliser
mathématiquement l'émergence d'objets radicalement nouveaux.
Ce que nous proposons
est un mécanisme de mise en scène de l'émergence basé sur la construction de
différentielles abstraites dont la non-trivialité sur un objet exprime que cet
objet est différent de sa constitution, qu'il est nouveau par rapport à ses
composants, ou, pour dire la chose de façon plus contractée et souligner le
paradoxal de l'enjeu, qu'il diffère de lui-même.
Cet outil nous paraît utile pour aborder la question du
sens d'un discours considéré comme émergent du discours (et non pas comme
simplement un composé grammatical de significations élémentaires) ou aussi bien
pour présenter d'autres enjeux d'émergence, en musique par exemple.
[texte
préparatoire]
[22] Intuitivement, une fonction f:R→R est continue en un
point a lorsqu'une variation infinitésimale de x au voisinage de
a provoque une variation infinitésimale de f(x) au voisinage de f(a).
L'approche
que F.W. Lawvere et A. Kock ont donnée de la notion d'infiniment
petit est la suivante.
Si
x est petit, x2 est encore plus petit. Si x est très, très
petit, x2 devient vraiment minuscule. Appelons donc
"infiniment petit" un nombre x tel que x2=0.
L'idée
provient de la "théorie des jets" due à Ehresmann.
Considérons
toutes les fonctions passant par un point du plan, que rien ne nous
empêche de prendre comme origine: donc f(0)=0.
Avoir
la même tangente à l'origine est une relation d'équivalence: une classe
d'équivalence s'appelle un "jet". Le propre d'un tel jet est que
si on l'élève au carré, on trouve le jet nul (la classe d'une fonction à
tangente horizontale).
Divers
auteurs ont prouvé qu'en travaillant dans des topos ad hoc, on peut
construire des anneaux R admettant des éléments de carré nul, que l'on
peut penser comme étant les infiniment petits et grâce auxquels on peut
développer la géométrie différentielle.
Et
de bons théorèmes de plongement prouvent que tout théorème démontré grâce
à cette approche intuitive des infiniment petits est un théorème valide en
géométrie différentielle classique.
[23] Nous soutiendrons ceci :
la modélisation mathématique qualitative n’a pas à choisir entre l'approche
logicienne et l'approche géométrique, puisqu'au point de vue diagrammatique ces
méthodes s'identifient l'une à l'autre. Nous rapprocherons précisément la
démarche « logicienne » par spécification de formules modales,
et la
démarche « homologicienne », par spécification de conditions sur
la courbure ou l’homologie. Cela sera exposé de deux façons liées, d'abord en
termes de conditions différentielles générales et puis en termes d’homologie
générale.
La première partie reprendra l'unification par le calcul des
assimilations qui permet
de comprendre l’écriture de conditions différentielles générales, incluant les conditions de modalités spéculatives
et les conditions de courbure. Question du réglage direct de comment les
discours changent, de comment les figures changent.
La deuxième partie affirmera encore que d’un point de vue
suffisamment éloigné la logique comme question des quantifications et modalités
discursives et la cohomologie comme théorie du calcul qualitatif de la courbure
et des déformations, se rejoignent ; et cette fois pour le voir il sera
fourni une définition générale du concept d'homologie dont dérive aussi bien les techniques de
logique intuitionniste que les techniques d'algèbre homologique abélienne
classique. On est alors dans une problématique plus vaste que dans la première
partie, puisqu'il s'agit non plus d'un simple réglage du changement, mais de
l'analyse de la forme même des changements, des changements de changements,
etc.
Références :
1) Images
et modalités, Résumé
d'une conférence au SIC à Amiens, le samedi 10 novembre 2001, 2 p.
2) Calcul d’assimilations, modalités et analyse d’images, in Calculs
et formes, Ellipses, 2003
(Actes du Colloque « Mathématiques : calculs et formes »,
Université Toulouse Le Mirail, septembre 2000), 175-189.
3) An anabelian
definition of abelian homology, CTGDC XXXXVIII, 4, 2007, 261-269.
[24] Mon
intervention sera centrée autour des implications de la formalisation
mathématique dans deux démarches de compositeurs de la seconde moitié du XXe
siècle : Milton Babbitt (1916) et Iannis Xenakis (1922-2001). Le terme
d’« implication » sera ici entendu selon les deux sens qui lui sont
généralement attribués. Il s’agira en effet, à partir d’exemples précis, de
cerner les modalités « opératoires » de la formalisation chez ces
deux compositeurs, la manière avec elle est, donc, impliquée dans les processus compositionnels. Dans un second
temps, on s’interrogera sur les implications, dans le sens logique cette fois-ci, que nos
observations pourrait avoir sur l’interprétation analytique des œuvres
concernées, et sur celle des démarches plus générales de ces compositeurs.
[25] La notion
d’échelle temporelle est fondamentale en musique, depuis le timbre jusqu’à la
forme, en passant par la note et le rythme. La composition musicale utilise ces
différentes échelles, les mélange (parfois) et utilise ce matériau avec une logique
propre, et des contraintes spécifiques.
On se demandera si une telle problématique est
relevante en mathématiques et si elle peut produire des zones de
« friction’ » avec la musique.
En partant de quelques exemples où des objets
mathématiques émergent à partir de structures à très petite échelle, ou, inversement,
certaines échelles sont gommées afin d’exhiber des structures intéressantes, on
essaiera de noter quelques ressemblances/différences avec l’utilisation
multi-échelle du temps dans l’activité musicale.
[26] On commencera par une présentation des idées
fondamentales de linéarisation et de représentation en mathématique, avant d'esquisser
la théorie des représentations linéaires des groupes, initiée (dans le cas des
groupes finis) par Frobenius à la fin du XIXème siècle. Un acteur majeur fut
H. Weyl qui, en liaison avec ses travaux sur les fondements de la
mécanique quantique, fit la jonction inattendue avec l'analyse harmonique de
Fourier et créa l'analyse harmonique non-commutative.
Le rêve de Burnside de
mettre à profit l'impressionnante effectivité de la théorie des représentations
linéaires pour classifier tous les groupes finis simples s'est finalement
réalisé au bout d'un siècle. Entre-temps, cette théorie avait permis à Killing
et Cartan de classifier tous les groupes infinis "continus" simples.
Nous terminerons en expliquant comment le problème général de classification des
représentations linéaires mène à une trichotomie (fini, modéré, sauvage), et comment l'indécidabilité surgit au cœur de
situations extrêmement concrètes et apparemment élémentaires.
Références:
J. P. Serre, Représentations
linéaires des groupes finis, Hermann.
G. Mackey, The Scope
and History of commutative and noncommutative Harmonic Analysis, History of Mathematics, vol. 5, AMS/LMS.
[27]
L'acception la plus courante
du terme "singularité" en mathématique est celle qui s'oppose à
"lissité": il s'agit du lieu - grain, pli, fronce, etc..
- où le principe général de linéarisation tombe en défaut.
Au cours d'une présentation
phénoménologique des singularités et bifurcations (comment elles apparaissent,
se déploient, disparaissent - en laissant des traces...), nous nous attacherons
à illustrer deux "thèses" qui se dégagent de la théorie foisonnante
des singularités:
1) un peu à la manière de
Platon dans le Timée, cette
théorie jette un pont (très subtil) entre le monde continu et le monde discret;
2) comme disait P. Montel (en
exagérant volontairement), "les fonctions sont, comme les êtres
vivants, caractérisées par leurs singularités".
Bibliographie :
-
V. Arnold: Catastrophe
theory, Springer
-
(images) pages web
d'Innsbruck (H. Hauser et al.):
http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html
http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/animationenvonflaechen/start.html