mamuphi
mathématiques - musique – philosophie
dir. C. Alunni (Ens-Cirphles), M. Andreatta
(Ircam), A. Cavazzini (Liège) et F. Nicolas (Ens-Caphés/Ircam)
Les activités mamuphi
ont normalement lieu le samedi matin (10h30-13h) dans la salle de séminaire du
Département de philosophie, au sous-sol du Pavillon Pasteur
Années antérieures :
·
2012-2013
·
2011-2012
·
2010-2011
·
2009-2010
·
2008-2009
·
2007-2008
·
2006-2007
·
2005-2006
·
2004-2005
·
2000-2001
Les
séminaires, écoles et cours mamuphi sont ouverts à tous (sans
inscription préalable).
Pour tout contact :
· moreno.andreatta [at] ircam.fr`
· andreacavazzini [at] libero.it
· fnicolas [at] ens.fr / fnicolas [at] ircam.fr
Séminaire mamuphi
·
13 octobre 2012 - Table ronde des auteurs du nouveau livre
collectif « À la lumière et des mathématiques et à l’ombre de la
philosophie, dix ans de séminaire mamuphi » (Éd. Delatour-Ircam) [1]
Vidéo
sur le site d’Innovaxiom
François
Nicolas – De sept moments « mamuphiques » dans l’histoire de la pensée [2]
·
10 novembre 2012 – Matthew Lorenzon :
Musique et philosophie – Peut-on parler d’influence entre Xavier Darasse et Alain Badiou dans la composition d’Antagonisme
I en 1965 ? [3]
· 8 décembre
2012 – Alessio Moretti : La somme et le produit d’hexagones
logiques [4]
·
12 janvier 2013 – Andrée Ehresmann : Le rôle des limites projectives
dans le développement des mémoires procédurale et sémantique [5]
· 2 février
2013 – Moreno Andreatta et Jean-Louis Giavitto : Analyse formelle des concepts et
programmation spatiale - quelques aspects philosophiques du nœud
mathématique/musique/informatique [6]
·
23 mars 2013 – François Nicolas : Comment l’invention de l’algèbre redistribue
ce que calculer, théoriser et démontrer veulent dire… [7]
·
6 avril 2013 – Fréderic Maintenant & François Tusques : Un
jazz sériel ?
·
25 mai 2013 – François Viallefond :
Forme et concepts, langages et physique
(ou connivence mathématiques, physique et informatique) [8]
École de musique
(A. Bonnet et F. Nicolas)
·
13 octobre 2012 : Sonate pour piano (2003) de
François Nicolas, par son auteur
·
8 décembre 2012 : La Terre Habitable pour trois
ensembles instrumentaux d’après des textes de Julien Gracq (1994-98) d’Antoine
Bonnet, par son auteur
Les contrées de La Terre
Habitable - Les Eaux étroites, Aubrac, Les Hautes terres
du Sertalejo, La Presqu’île, Liberté
grande - reposent sur une structure unique soumise à de fortes distorsions
infléchissant les situations musicales à l’instar des mouvements telluriques
transformant la configuration des paysages.
Il s'agit d'une évocation de
l'écrivain à partir d'un choix de titres réunis par une thématique commune : la
Terre, non des origines mais des devenirs, qu'il scrute en géographe et dont
jamais il n'évoque la surface sans rendre sensible l'énergie qui la sous-tend,
nous exposant aux « champs de forces qu'Elle garde, pour chacun de nous
singulièrement, sous tension ».
La
Terre s'arrache alors à son inertie, fuit à l'infini comme une invitation au
voyage et promet qu'à son contact « toutes nos pliures se déplissent comme s'ouvre
dans l'eau une fleur japonaise ».
·
2 février 2013 : Égalité ’68 (œuvre musicale
composite, autour de mai 68) par François Nicolas [9]
· 6 avril
2013 : Fictions de l’interlude (d’après l’Œuvre de Fernando Pessoa)
par Antoine Bonnet
Séminaire mamuphi
- 8 octobre
2011 : René Guitart - L'armature hexagonale
du corps à quatre éléments,
et le formulaire de la logique borroméenne associée [10]
- 5 novembre
2011 : Jean-Yves Beziau – De l'hexagone musical (comme
application de l'hexagone logique à la théorie musicale)
-
3 décembre 2011 : Jacques Roubaud - Permutations et
composition poétique [11]
- 7 janvier
2012 : François Nicolas – De l’hexagone logique en matière
d’œuvre musicale composite [12]
- 4 février
2012 : Jean Petitot et Moreno Andreatta – Démarche structurale et approche
phénoménologique sont-elles incompatibles ? [13]
- 10 mars
2012 : Tzuchien Τho - Localisation
et relativisation dans l'ontologie (mathématique) [14]
- 31 mars
2012 : Nancy Diguerher-Mentelin - d’Alembert-Rameau-Rousseau
(& Diderot) : « mamuphi » au cœur des Lumières ? [15]
· 5 mai
2012 : Patrick Saint-Jean - La prétopologie
et la pensée complexe [16]
Cours Catégories
et structures (René Guitart)
Troisième année : Travaux pratiques
· 1° mars
2012 : François Viallefond - Structure algébrique
pour les quantités physiques et leurs contextes expérimentaux
·
15 mars 2012 : François Nicolas – Enjeux des dissymétries
entre produits et sommes et conséquences sur les esquisses rapportant les unes
aux autres ?
· 3 mai 2012
: René Guitart – Pour une modélisation qualitative en termes de catégories
· 25 mai
2012 : René Guitart – Sur les exposés de François Viallefond
et François Nicolas
· 31 mai 2012 :
Yves Chaumette – Modéliser
la perception [17]
· 21 juin 2012 (salle
646A-Mondrian): Arache Djannati-Atai
- La
phénoménologie et la recherche de pulsars [18]
École de musique (A. Bonnet et F. Nicolas)
· Samedi 5
novembre 2011 : La chute d’Icare pour clarinette et petit ensemble
(1988) de Brian Ferneyhough, par François Nicolas
· Samedi 4
février 2012 : Allegro Sostenuto pour clarinette, violoncelle et
piano (1988) de Helmut Lachenmann, par Antoine
Bonnet [19]
· Samedi 5
mai 2012 : Dérive I de Pierre Boulez et l'opus 33a d'Arnold
Schoenberg - l'indéterminé au cœur de l'œuvre, par Dimitri Kerdiles [20]
Séminaire Babel
- 15 octobre
2011 - Violaine Anger : Voix, parole, musique : généalogies (ou
comment aborder le point tangentiel qui existe entre le parlé
et le chanté…)
- 12 novembre
2011- François Nicolas : Quelles conséquences musicales tirer du fait que,
contrairement au grégorien, le tajwîd ne se thématise pas comme musique ?
- 14 janvier
2012 – Gérard Abensour : Le vers russe, de la
récitation à la mise en musique
- 11 février
2012 – Gerald Stieg : La langue allemande [21]
- 10 mars
2012 - Marjorie Berthomier : Des rapports de
Schoenberg à la traduction
-
12 mai 2012 - Marc Ballanfat :
Du son inaudible au phonème sanscrit
Séminaire
- 9 octobre
2010 – François Nicolas : Extension de Kan et écoute musicale
« élargie » d’une œuvre musicale « mixte » [22]
- 27 novembre
2010 – Franck Jedrzejewski : Extensions
de Kan et transformée de Fourier [23]
- 11 décembre
2010 – Max Yribarren : Le tempérament égal a-t-il une
justification acoustique ?
- 5 février
2011 – Jean Bénabou : Méthodes “transcendantes” en théorie des catégories [24]
Sur les
distributeurs :
—
en français, notes de Jean-Roger Roisin d’un cours donné (1973) à Louvain
— en
anglais, notes d’un cours donné (2000) à Darmstadt
- 12 mars
2011 - Thierry Paul : Rigueur,
contraintes, action sans interaction
Texte : http://www.entretemps.asso.fr/maths/Paul-rigueur.pdf
- 2 avril
2011 – René Guitart : Le corps impossible
- 7 mai 2011 –
Marco Segala : La philosophie de la musique de Schopenhauer [25]
- 21 mai 2011
- Andréa Cavazzini : Symbole et
diagramme. Sur les travaux de Gilles Châtelet
École de mathématiques (Pierre Cartier)
· 11 décembre
2010
·
5 février 2011
·
30 avril 2011 : avec Annick Lesne,
Duo sur l’entropie [26]
—
Annick Lesne :
Multiscale analysis of biological functions:
the example of biofilms
Cours Catégories
et structures (René Guitart)
Deuxième année :
1 - Révisions sur les limites et problèmes
universelles, esquisses et monades, extensions de Kan.
2 - Univers algébriques et topos.
3 - Catégories abéliennes, produits tensoriels,
structures monoïdales.
4 - Opérades.
·
10 mars 2011
·
31 Mars 2011
·
7 juin
2011
·
21 juin
2011
·
24 juin
2011
École de musique (A. Bonnet et F.
Nicolas) [27]
[ On reconnaîtra aisément, dans ce
projet de « cours de musique pour des philosophes », une reprise
variée, à 45 ans d’intervalle, du « cours de philosophie pour
scientifiques »
que Louis Althusser a organisé dans cette même École l’année 1967-1968. ]
École
mamuphi de musique, pour philosophes et autres non-musiciens :
Les
enjeux (généalogiques, archéologiques et esthétiques) d’une œuvre musicale
Le projet est d’introduire les
auditeurs (en particulier ceux qui ignorent le solfège) aux enjeux musicaux
d’une œuvre.
Si
ces enjeux se donnent dans la dialectique d’une écoute d’une interprétation et
d’une lecture de la partition, le défi de cette école est d’ouvrir un accès à
la partition d’une œuvre pour qui ne sait la lire (sans pour autant transformer
bien sûr cette école en classe de solfège).
Chaque leçon s’attachera à une
œuvre pour en dégager les enjeux pour un aujourd’hui musicien de la création
musicale. Ces enjeux seront
dépliés selon un triple point de vue :
· généalogique : avec quelles œuvres musicales
cette œuvre dialogue-t-elle ?
· archéologique : comment cette œuvre
rétroagit-elle sur l’état du monde de la musique dans lequel elle
s’enracine ?
· esthétique : de quelle époque de pensée
cette œuvre musicale se veut-elle contemporaine ?
Au total, chaque œuvre sera
présentée par un musicien qui détaillera pour quiconque sa partition, ses
interprétations significatives et une écoute envisageables.
· 27 novembre
2010 : Farben pour orchestre (op.16
n°3 ; 1909) d’Arnold Schoenberg, par François Nicolas
· 12 mars
2011 : Notation I pour orchestre (1980) de Pierre Boulez, par Antoine
Bonnet
·
7 mai 2011 : Night Fantasies
pour piano (1980) d’Elliott Carter, par François Nicolas [28]
Séminaire
· 10
octobre 2009 – François Nicolas : Théoriser l’engendrement d’une aura poétique par l’œuvre
musicale mixte, à la lumière mathématique du forçage (P.
J. Cohen) d’une extension générique [29]
· 14
novembre 2009 – Charles Alunni : Le
binôme Lautman-Cavaillès
· 5
décembre 2009 - Thomas Noll : Logics
and Mathematical Music Theory [30]
· 16
janvier 2010 – Moreno Andreatta : Quelques éléments pour une
interprétation philosophique des approches transformationnelles en théorie et
analyse musicales [31]
·
6 février 2010 – René
Guitart : Du passage du ternaire au binaire et réciproquement dans la modélisation
mathématique [32]
· 13
mars 2010 – Yves Chaumette : Du ternaire au binaire, et
réciproquement (un exemple) [33]
·
15 mai 2010 - Marco Segala : De la notion de musique absolue au XIX° siècle [34]
École (Leçons de Pierre Cartier)
·
5 décembre 2009
· 13
mars 2010
· 15
mai 2010
Cours Catégories et structures (René
Guitart)
enregistrement audio : http://2009a2010.free.fr/2009-2010-guitart
Séminaire
· 11 octobre
2008 (salle Cavaillès) - Répons François Nicolas / Charles
Alunni
Intervenant :
François Nicolas - Des connivences contemporaines
entre intellectualités mathématique & musicale [35]
— Philosophie -
Huit propositions au sujet du
structuralisme
(pdf)
— Mathématiques & musique -
Programme de travail sur
faisceaux et topos en musique
Répondant :
Charles Alunni
Compte rendu de la
discussion : « 15 questions ou objections, et
autant de premières réponses »
· 15 novembre
2008 (salle Celan) – Thierry Paul - Stephan Schaub - Michael
Schmidt : Les rapports musique-mathématiques selon Ernst Krenek
(1937/1939)
Répondant :
François Nicolas - « Une lecture de Music
here and now d’Ernst
Krenek »
·
6 décembre 2008 (salle S. Weil) – Franck Jedrzejewski : Les onto(po)logies
musicales &
Pierre Lochak : Quelques remarques sur le monde-Musique comme topos de faisceaux
Enregistrement audio (mp3) de la séance (Benoit Daval) : http://topfree.free.fr/2008-2009-mamuphi
Quelques photos de cette séance (Pierre Prouvèze) et un extrait vidéo
· 17 janvier
2009 (salle S. Weil) – Christian Houzel :
Théorie des faisceaux et linguistique [36]
· 7 mars 2009
(salle des Actes) - Pierre Lochak : Entendre - ou pas - la forme d'un tambour. Quelques
correspondances du monde physico-mathématique [37]
Mark Kac : “Can one
hear the shape of a drum?”
William
P. Thurston : “On proof
and progress in mathematics”
· 4 avril
2009 (salle Beckett) – Jean Bénabou : Magie
des topos, ou topos et magie?
« Une analogie en théorie des
catégories »
(in La recherche de la vérité ; ACL – Les éditions du
Kangourou ; décembre 1999)
·
9 mai 2009 (salle S. Weil) - René Guitart : Théorie
du nouveau [38]
[texte préparatoire]
École (Yves André)
· 7 février
2009 : « Des infinis subtils »
Texte de la leçon (pdf)
Ensemble des leçons données par
Yves André (pdf)
Séminaire
6
octobre 2007 - Séance d’ouverture par Moreno Andreatta,
François Nicolas et Charles Alunni
·
Moreno Andreatta : Quelle philosophie pour une théorie
mathématique de la musique ?
·
François
Nicolas : D’un
quatrième moment mamuphi
·
Charles Alunni
10
novembre 2007 - Évaluation de la music theory
de David Lewin (Stephan Schaub et François Nicolas)
· Stephan
Schaub - Statut de la formalisation mathématique dans la « music theory » américaine : une lecture de l’échange
entre Edward T. Cone et David Lewin (Perspectives
of New Music 1967 et 1969).
· François
Nicolas - « Comme Freud, Schoenberg est mort en Amérique » :
« Déconstruire la music theory (1) : David Lewin »
« Déconstruire la music theory (2) : Milton Babbitt »
1° décembre 2007 -
Francis Borceux : Des jets aux infiniment
petits : quand l'intuition se mue en rigueur [39]
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1881
·
François
Nicolas : Quelques
raisonances musicales de l’exposé de Francis Borceux
15 décembre 2007 : Ralf Kromer : La théorie des catégories : un outil d'analyse musicale aux
yeux de la critique philosophique
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1882
12 janvier 2008 : Thomas Noll : Le Pli Diatonique - Algebraic Combinatorics on Words applied to the Study of the Diatonic Modes
2 février 2008 : Hector Parra : Une approche créatrice des
interrelations structurelles entre les espaces acoustiques et visuels
15 mars 2008 - René Guitart : Modalités des discours et
courbures des figures [40]
5 avril 2008 : Stephan Schaub : Les implications de la
formalisation mathématique dans les pratiques compositionnelles de Babbitt et
Xenakis [41]
17 mai 2008 : Thierry Paul : Questions
d’échelles [42]
École mamuphi Leçons d’Yves André ·
1° décembre
2007 : Représentations linéaires et analyse harmonique [43] ·
15 mars 2008 : Singularités [44] ·
17 mai 2008 : Dualité(s) |
Intellectualités mathématique et musicale
Calendrier :
·
14 octobre
2006 - François
Nicolas : Intellectualité
mathématique & intellectualité musicale : convergences et divergences
(à la lumière des écrits d’Henri Poincaré et Hermann Weyl)
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1532
·
18 novembre
2006 - Moreno
Andreatta : Mathématiques,
musique et philosophie dans la tradition américaine : la filiation
Babbitt/Lewin
Présentation PowerPoint | Documentation distribuée
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1560
·
9 décembre 2006 –
René Guitart : Toute théorie est algébrique
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1588
·
27 janvier 2007 –
Stéphane Dugowson : Attractions borroméennes
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1639
·
10 février 2007 –
David Rabouin : Mathesis universalis,
logique de l'imagination et écriture symbolique (Descartes / Leibniz …Badiou)
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1640
·
24 mars 2007 -
Gilles Dowek : Gestes et mouvements en
mathématiques (et en musique)
Video : www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1641
·
12 mai 2007 –
François Nicolas : – En
quoi la philosophie de Logiques des mondes (Alain Badiou)
peut servir au musicien (ou la question d’un matérialisme de type nouveau)
Video : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1642
version pdf :
intervention - annexes
École mathématique pour musiciens et autres non-mathématiciens
un samedi par trimestre, de 15h
à 18h à l’Ircam (salle Messiaen)
[ On reconnaîtra aisément, dans ce
projet de « cours de mathématiques pour des musiciens », une reprise
variée, à 40 ans d’intervalle, du « cours de philosophie pour
scientifiques »
que Louis Althusser a organisé dans cette même École l’année 1967-1968. ]
Nous
avons décidé de mettre en place, cette année, une « école » spéciale de
mathématiques en direction des musiciens et autres non-mathématiciens.
Le
principe en sera tout à fait singulier : il s’agira de rendre compréhensible un
concept central de la mathématique la plus contemporaine à des
non-spécialistes, en tentant de les mener au cœur de la pensée mathématique la
plus active, et sans économiser ni la spécificité de l’écriture mathématique,
ni une partie du labeur démonstratif (même si celui-ci ne saurait être, dans le
cadre d'une vulgarisation, de nature intégrale). Il ne s’agira pas d’« appliquer » les mathématiques à la musique, que ce soit
sous une modalité technique et calculatoire ou sous une forme plus
métaphorique. La ‘raisonance’ possible du concept mathématique avec la
musique ne sera pas au cœur de l’exposé lequel visera, simplement (si l’on ose
dire !), à transmettre le plus fidèlement possible, le contenu de pensée investi
dans le concept examiné (et, bien sûr, dans la théorie mathématique où il prend
place), sans négliger, tout au contraire, les aperçus historiques qui peuvent
permettre d'apprécier les problématiques au cœur desquelles se déploie le
concept présenté.
Yves
André (Cnrs-Ens) a bien voulu accepter la chaire de
cette école.
Les
concepts mathématiques envisagés sont - entre autres - ceux d’adjonction,
d’algèbre de von Neumann, de motif et d’opérade.
Ces
séances seront trimestrielles. Chaque séance devrait durer trois heures ;
Le
calendrier est le suivant : 15h à 18h - Ircam (salle Messiaen)
• 9 décembre 2006 : Aperçus
sur les algèbres d'opérateurs (algèbres de von Neumann)
• 24 mars 2007 : Les topos de Grothendieck
• 12 mai 2007 : Idées galoisiennes (théorie de l'ambiguïté)
Propositions pour les prochaines séances de l'école de
mathématiques pour musiciens et autres non-musiciens
0) Merci tout d'abord à tous
ceux qui ont pris soin de nous transmettre leur avis sur la première séance.
Ceci nous aide, et nous encourage.
1) Il ressort des points de vue
exprimés que tout le monde, même ceux qui ont peiné lors de la première séance,
souhaite une prolongation de l'expérience. C'est également
notre souhait.
2) Il faut repréciser que "école"
ici ne veut pas dire "cours" (et donc progression graduée selon un
parcours univoque en marches d'escalier). Il faut entendre ce projet
("d'un type nouveau") comme visant une compréhension plutôt qu'une
maîtrise de savoirs.
3) Pour ceux qui n'ont pas
l'habitude d'entendre un exposé de mathématique contemporaine, cette
compréhension passe nécessairement par une
phase de "choc", un peu comme un tel type de "choc"
intervient pour toute personne venant pour la première fois entendre un concert
de musique contemporaine. Il n'y a pas lieu de vouloir éviter un tel choc mais
seulement d'apprendre à le surmonter.
4) À ce titre, une certaine
dimension rétroactive (relevant donc de l'après coup) nous
semble de mise en matière de compréhension.
À cette fin, il semble
nécessaire d'instaurer plus de résonances entre les différents sujets devant
être traités lors des prochaines séances en sorte que, petit à petit, les concepts
mathématiques puissent s'éclairer les uns les autres, non plus de manière
déductive - dans l'ordre linéaire de leur exposition - mais rétrospectivement,
et selon un schéma concentrique.
5) Nous proposons de
reconfigurer les prochains thèmes en sorte de mettre en rapport différentes
approches mathématiques contemporaines de la notion d'espace. En effet,
si la notion mathématique d'espace n'a pas été définie la fois dernière, c'est
pour une raison essentielle et non pas contingente:
c'est parce qu'il n'existe pas à proprement parler de définition mathématique
de l'espace en soi (pas plus d'ailleurs qu'il n'en existe de la symétrie en
soi, ou de la singularité en soi). À ce titre, la mathématique associe toujours
au mot "espace" une spécification ("espace topologique",
"espace mesuré", "espace vectoriel", etc.), laissant à
l'intuition de chacun le soin de donner un sens spécifique au mot
"espace" détaché de ses prédicats.
6) Si le propos de l'école est
bien de rendre compréhensibles certains concepts mathématiques contemporains et
centraux, ceux-ci seront choisis (du moins dans un premier temps) sur le
critère qu'ils condensent des points de vue mathématiques sur des
notions communes - i. e. n'appartenant pas en propre
à la mathématique - telles qu'espace, symétries, temps, singularités,
etc... Chacun pourra alors confronter, s'il lui plaît, ces points de
vue mathématiques aux points de vue qui lui sont plus familiers - musicaux,
architecturaux, picturaux, ou philosophiques - sur ces notions communes.
En ce qui concerne l'espace, il
est loisible de penser que les deux points de vue mathématiques les plus
avancés et les plus profonds sont celui de la géométrie non-commutative (A.
Connes) et celui des topos (A. Grothendieck) - d'ailleurs complémentaires l'un
de l'autre.
Comprendre mieux les enjeux des
espaces non-commutatifs, la disparition des points et le rôle structural des
algèbres d'opérateurs (exposé précédent) pourra mieux se réaliser
rétroactivement si les prochaines séances de l'école traitent d'autres visions
de l'espace. Nous proposons à ce titre que la prochaine séance soit consacrée à
l'examen des topos de Grothendieck.
7) Nous maintenons le principe
d'absence de tout prérequis, mais ceci ne veut pas dire qu'il faudrait négliger
le rôle de la culture mathématique de chacun.
Si la culture est bien ce qui
vous reste quand vous avez tout oublié, la culture mathématique mobilisée pour
écouter et suivre un tel type d'exposé indique alors votre capacité
d'intuitionner et de représenter ce qui vous est présenté, votre aptitude à
supporter de perdre pied en faisant confiance à votre capacité de renouer un
peu plus loin au fil du discours.
Là encore, l'analogie avec
l'écoute de la musique est pertinente : écouter une œuvre n'est pas la
disséquer, suivre note à note et accord par accord son travail déductif mais
apprendre à se laisser guider par l'œuvre elle-même (et apprendre, cela
implique toujours, en un premier temps, un travail soustractif : se
désencombrer d'habitudes inadaptées).
8) Nous sommes des pionniers au
sens aussi où nous devons apprendre à donner à la notion de malentendu un
statut productif, et pas seulement négatif.
Si la présentation mathématique
ordinaire vise à la levée de tout malentendu (par un dispositif réglé d'écriture
univoque rendant intégralement transmissible le contenu de pensée), cette école
ne saurait fonctionner sous cet ordre (qui est tout aussi bien celui du
"cours" de mathématiques mentionné plus haut). Tentant de présenter
des enjeux de pensée les plus actuels à des gens étrangers à la mathématique
active, cette école doit miser sur la productivité et la dynamique d'un certain
type de malentendu.
À ce titre, qu'un concept
mathématique présenté prête ici à une part de malentendu ne doit pas être vu
comme une faiblesse (ce que cela serait dans un simple cours) mais plutôt comme
un pari : le pari qu'une forme de résonance peut être mise en œuvre entre jeu
mathématique des concepts et représentation mentale chez celui qui le découvre.
Bien sûr, ce pari comporte
également sa part de danger : celui que le malentendu (afférant au fait que ce
qui est présenté n'est pas maîtrisé par qui écoute) débouche sur une
mécompréhension ou un contre-sens. Mais il nous semble que le génie propre de
cette école implique de prendre ce risque pour en faire jouer la face positive
et dynamiser l'écoute spécifique de chacun - là encore, écouter un tel type
d'exposé est assez proche de l'écoute musicalement requise face à une œuvre
contemporaine -.
9) Rendez-vous donc le samedi
24 mars 2007 pour une nouvelle séance (consacrée aux topos de
Grothendieck) au début de laquelle Yves André reformulera les principes de
notre projet.
Yves André et François Nicolas
P.S. «Si les gens ne croient pas que les mathématiques
sont simples, c’est uniquement parce qu’ils ne réalisent pas à quel point la
vie est compliquée.» John von Neumann
Questions de logiques
Si,
pour les musiciens, « logique musicale » se dit en différents sens (consistance
autonome de la musique comme « monde » ou « langage », dialectique
spécifique du discours musical, stratégie à l’œuvre…), si, pour les
mathématiciens, « logique » ne profile plus seulement une norme pour
leurs énoncés mais la dynamique même de leur travail d’énonciation (une logique
du processus mathématicien tout autant que du résultat mathématique), peut-on
activer aujourd’hui des raisonances entre ces conceptions des logiques à
l’œuvre ?
Comment
faire jouer leur hétérophonie par-delà tel ou tel projet plus spécifique de
« mathématiser » la logique musicale ou de « musicaliser »
la logique mathématique ?
Calendrier :
1.
15 octobre 2005
·
François
Nicolas : La logique musicale de
l’écoute : une logique stoïcienne de l’assentiment ?
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=878
·
Guerino
Mazzola : La logique des diagrammes :
médiatrice entre geste et formule?
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=879
2.
12 novembre 2005
·
Jean-Yves
Girard : Aspects géométriques du formalisme
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=945
3.
10 décembre 2005
·
Yves André
– S’orienter
dans la pensée : l’art des conjectures
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=946
4.
14 janvier 2006
·
René Guitart -
Théorie de la théorie : esquisses ou
topos ?
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=947
5.
25 février 2006
·
Pierre Cartier
- L’ouvrage d’Euler sur la théorie musicale (1739) : les principaux
apports théoriques
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=727
6.
11 mars 2006
·
Jean-Baptiste Joinet – Temps logique et temps musical
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=728
7.
29 avril 2006
·
Giuseppe Longo (salle
des Actes) - Dynamiques de pensée en
mathématiques : principes de preuves vs.
principes de construction
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=730
8.
20 mai 2006
·
Giorgio Gargani (salle Celan)
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=731
Les
mathématiciens et la musique
Si musique et mathématiques
avèrent un long compagnonnage, depuis l'origine commune des théories musicale
et mathématique au VI° siècle av. J.-C. jusqu'à l'époque la plus contemporaine,
si penser la musique avec les mathématiques est ainsi une longue histoire où
interviennent tour à tour arithmétique (nombres) et géométrie (figures),
algèbre (écriture) et topologie (gestes), il convient d'interroger l'état
présent de ces rapports à partir des questions musicales les plus actives.
Que la philosophie pointe
nécessairement son nez en ce croisement (comme en atteste toute une généalogie,
de Parménide et Platon jusqu'à Husserl et Lautman en passant par Descartes et
Leibniz) ne doit pas dispenser le musicien d'interroger directement les
mathématiques de son temps pour discerner ce qui d'elles peut clarifier,
catégoriser, profiler les enjeux présents et à venir de son art.
Pour cette première année, on
partira des formes de conscience spécifiquement mathématiciennes des rapports
possibles entre musique et mathématiques.
Music and Mathematics
Seminar Thinking Music with
Mathematics? Music and mathematics have long
been associated, and thinking
about music in terms of mathematics via
the use of arithmetic, geometry,
algebra, topology etc. goes back a long way. With this
in mind, it's essential now, to explore the present state of this relationship based on today's important
musical issues.
Samedi
19 février 2005
Ø Charles Alunni : Transe disciplinaire
Ø
Moreno
Andreatta : Problèmes musicaux et
conjectures mathématiques. Essai d'une typologie 'mathémusicale' [45]
Ø François Nicolas :
Raisonance musique /
mathématiques : l’écriture en partage [46]
Ø Charles Alunni : Moderato
scriptile (Connexions mathématiques-musique chez
Heisenberg)
Samedi
12 mars 2005 :
Ø
Yves Hellegouarch : Esquisse d'une étude comparée
entre l'avènement de la perspective (en peinture) et de celui du tempérament
égal (en musique)
Enregistrement « Diffusion des
savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=617
Ø Michel Broué : Un peu de
théorie des groupes pour les tonalités musicales
Enregistrement « Diffusion des
savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=618
Samedi
16 avril 2005
Ø
François Nicolas : Comment évaluer musicalement les
théories mathématiques de la musique ? L’exemple de la théorie de Mazzola [47]
Enregistrement « Diffusion des
savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=642
Ø
Guerino Mazzola : Le rôle possible de la logique musicale dans une certaine
intellectualité mathématique [48]
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=643
Samedi
21 mai 2005
Ø
René Guitart : Le triple du sens : postures, différences et bougés. [49]
Enregistrement « Diffusion des
savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=720
Ø Thierry Paul : Des sons et des quantas [50]
Enregistrement « Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=721
Vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=ty7Hd-i-ouo
Texte : http://www.entretemps.asso.fr/maths/Paul-sonsquantas.pdf
–––––––
Professeur invité (mars 2005) : Guerino Mazzola
Ce séminaire reprend, dans un nouveau contexte, un projet engagé à l'Ircam dès l'année 2000 sous le nom de séminaire "Mamuphi".
Un première année de travail (2000-2001) s'est tenue à l'Ircam (sous la direction conjointe de G. Assayag, G. Mazzola et F. Nicolas). Les principales interventions de cette première année sont rappelées ci-dessous. Un livre récollectant les actes de ce séminaire "mamuphi" est en cours d'achèvement. Il sera disponible au printemps 2005.
Ce premier séminaire mamuphi s'est prolongé de 2001 à 2004 à l'Ircam (sous la direction de M. Andreatta) selon un principe un peu différent, sous le nom générique de mamuX. Les activités de mamuX sont présentées sur le site de l’Ircam.
Sous la direction de Gérard Assayag, Guerino Mazzola et François Nicolas
·
Discussion
collective de l'exposé
o Gérard ASSAYAG (informaticien) : De la calculabilité à l'implémentation musicale
·
Discussion
collective de l'exposé
o Guerino MAZZOLA (mathématicien) : Penser la musique dans la logique fonctorielle des topoi
·
Discussion
collective de l'exposé
Samedi 2 décembre 2000 : Journée d'étude autour d'Anatol VIERU (1926-1998)
o Costin CAZABAN (compositeur) : Structure et expression chez Anatol Vieru
Concert de clôture: oeuvres d'Anatol Vieru
·
Discussion
collective de la journée
o Tom JOHNSON (compositeur) : Objets (mathématiques) trouvés
·
Discussion
collective de l'exposé
o René GUITART (mathématicien) : Modalités : Discours et images. Musique?
o Georges BLOCH (musicologue) : Lettre à Philippe Lacoue-Labarthe
·
Discussion
collective de l'exposé
o Stephane SCHAUB (informaticien) : Sur le lien mathématiques-musique chez Xenakis
·
Guerino Mazzola : "La force créatrice de l'hétérogène"
·
François Nicolas :
"Huit types de rapport entre mathématiques et philosophie"
À la lumière des mathématiques et à
l'ombre de la philosophie
Dix ans de séminaires Mamuphi
Sous
la direction de Moreno Andreatta, François Nicolas, Charles Alunni
mamuphi : le nom d'un lieu
singulier où mathématiques, musique et philosophie viennent se frotter,
s'entrechoquer, se pincer, se faire résonner comme si chacune de ces
disciplines devenait ici un instrument susceptible d'être frotté, frappé, pincé
ou soufflé par les deux autres.
Ce lieu, suscité
à l'Ircam en 1999 par des mathématiciens soucieux de « logique
musicale », progressivement stabilisé et diversifié autour d'un séminaire
qui se tient depuis dix ans à l'École normale supérieure (Ulm, Paris), voit
collaborer musiciens et musicologues, mathématiciens et philosophes.
Ce livre
voudrait présenter un bouquet significatif des voix qui viennent s'y exposer.
Autant de réflexions foisonnantes plutôt que convergentes : chacun y parle
en son nom propre de son travail le plus exigeant pour l'adresser à des gens
d'une toute autre discipline. Certains usent de la métaphore pour mieux se
faire comprendre, d'autres de l'analogie ou de la fiction ; certains
théorisent, d'autres conjecturent ; quelques-uns laissent plutôt à leur
auditoire le soin de décider ce qui de leur propos pourra ou non raisonner
ailleurs.
Il
ne s'agit pas ici à proprement parler de synthèse, ou d'application, moins
encore de mélanger les formes de pensée. Il s'agit de rapprocher pour stimuler,
de confronter pour distinguer, d'éprouver au plus près l'écart irréductible qui
relie en séparant mathématiques, musique et philosophie.
Au total, un
lieu de pensée dont le seul équivalent ne s'est peut-être jamais trouvé en
France que dans « la saine émulation » qui y prévalut au siècle des
Lumières.
Textes de Charles Alunni,
Emmanuel Amiot, Yves André, Moreno Andreatta, Jean Bénabou, Francis Borceux,
Andrea Cavazzini, Nancy Diguerher, Stéphane Dugowson, René Guitart, Xavier
Hascher, Yves Hellegouarch, Franck Jedrzejewski, Julien Junod, Ralf Krömer,
Pierre Lochak, Guerino Mazzola, François Nicolas, Joomi Park, Thierry Paul.
Éditions Delatour France
/ Ircam-Centre Pompidou
Avec la
participation de l'Ircam et de l'École normale supérieure et le soutien du CNRS
et de la SFAM.
Année
d'édition : 2012
Prix : 28 €
De
sept moments « mamuphiques » dans l’histoire de la pensée
(Séminaire
mamuphi, 13 octobre 2012)
François
Nicolas (Ens-Cirphles)
Peut-on déduire
du nom propre mamuphi (désignant une initiative singulière engagée à Paris
en 1999, dont un séminaire éditant les actes de ses dix premières années
d’existence) un adjectif apte à qualifier d’autres moments équivalents dans
l’histoire de la pensée ?
« Théorisons »
pour cela les principales caractéristiques de notre moment mamuphi
actuel.
Ce moment
procède de la conjonction inattendue de trois circonstances
indépendantes :
—
en mathématique, le développement
de la géométrie algébrique (Grothendieck…) et de la théorie des catégories
(pour la France, Ehresmann…) ;
—
la relance d’une philosophie
française du concept attachée à la pensée des sciences (dont la généalogie va
de Brunschvicg à Badiou en passant par Bachelard, Cavaillès et Lautman, ainsi
que – en un certain sens - Althusser et Desanti) ;
—
en musique, la nécessité
compositionnelle d’échapper, en une époque nihiliste du « post »
(post-sérialisme, post-spectralisme, post-modernisme…), à la dualité
obscurantiste d’un néo-romantisme (lyrisme néo-tonal…) et d’un néo-positivisme
(technique informatique…).
Dans ce
contexte, mamuphi a noué des rapports entre mathématiques, musique et
philosophie sous le signe de la logique pour se demander : comment,
dans la situation de pensée caractérisée ci-dessus, les logiques respectivement
mathématique, musicale et philosophique entrent-elles ou non en raisonance ?
Pour cela mamuphi
a pu tirer parti d’une quatrième circonstance : une transformation interne
à la logique mathématisée (voir les travaux de Girard) qui a remis sur ses
pieds le rapport mathématique/logique, en fondant désormais la logique sur les
avancées mathématiques les plus contemporaines, abandonnant ainsi la prétention
logiciste de fonder (puis réduire) la rationalité mathématique sur la logique.
On propose alors
de qualifier de mamuphique des moments où d’une part mathématiques,
musique et philosophie connaissent séparément de significatives transformations
internes, et où, d’autre part, ces trois transformations entrent temporairement
en raisonances réciproques, se confrontant et se fécondant les unes les
autres.
On propose alors
de discerner au moins sept moments mamuphiques de ce type ;
successivement :
1.
un moment grec originaire (VI°
av. J.-C.),
2.
un moment du quadrivium
qu’on dira celui de Boèce (VI° ap. J.-C.),
3.
un moment arabe (Bagdad, IX°-XI°)
qu’on dira celui d’Al-Khayyâmi (XI°),
4.
un moment Descartes (XVII°),
5.
un moment des Lumières (XVIII°)
qu’on dira celui de Rameau,
6.
un moment « Music
Theory » (aux États-Unis, après 1950),
7.
et notre moment mamuphi en
cours (à Paris, à partir de 1999).
A contrario, on
ne semble pas pouvoir déceler de tels moments, ni durant l’histoire de Rome, ni
pendant le Moyen Âge européen (spécialement à partir de la scolastique :
XIII°…) ou la Renaissance (XVI°), ni au cours du XIX° (partagé entre romantisme
et positivisme), ni même dans la plupart du XX° (et ce malgré l’important
constructivisme de ce siècle et, après-guerre, le structuralisme).
On entreprendra
de caractériser spécifiquement chacun des six moments mamuphiques qui
nous ont précédés : que s’est-il passé, dans chaque cas, en mathématiques,
en musique, en philosophie puis dans leurs rapports ?
On débouchera
sur un examen de notre futur possible : comment poursuivre notre moment mamuphi ?
On proposera,
pour ce faire, de compléter nos activités de théorisation (théoriser la
musique à la lumière de la mathématique et à l’ombre de la philosophie)
d’une perspective légèrement déplacée : examiner comment les différents
« faire » (faire des mathématiques, de la musique, de la philosophie)
peuvent résonner directement entre leurs acteurs respectifs (plutôt qu’entre
les disciplines) en une sorte de fraternité d’intellectualité entre working
mathématicians, musicians and philosophers.
*
Composed 1964–65, Antagonisme I sits at the
start of Xavier Darasse’s compositional career and between Alain Badiou’s first
novelistic and philosophical texts. Drawing on letters, drafts and manuscript
scores, this seminar attempts to untangle these various projects and understand
the literary, philosophical and musical stakes of the project. Through a
blow-by-blow account of the work’s composition it becomes evident that Antagonisme
I marks a shift in both collaborators’ understanding of composition from
the deployment of musical languages to engagement in a musical process.
Speaking more broadly, the seminar will ask whether Antagonisme I can
help to clarify the vague concept of “influence” employed in musicological
writing when attempting to link the works of philosophers and musicians.
La
« théorie de la n-opposition » (2004), qui généralise les notions d’« hexagone
logique » (1950) et de « tétrahexaèdre logique » (1968) –
eux-mêmes généralisant la notion traditionnelle de « carré logique »
ou « carré des oppositions » (2ème siècle) – est-elle, comme le
prétendent certains, une « géométrie oppositionnelle », à savoir
l’embryon d’une nouvelle branche des mathématiques (les mathématiques de
l’objet théorique « opposition ») ? Dans cet exposé nous
suggérons de répondre à cela par l’affirmative en nous basant sur un résultat
nouveau que nous allons exposer et qui est qu’il est possible de mettre à jour,
pour les structures oppositionnelles de ladite géométrie, des opérations de
« somme » et de « produit ». Nous allons plus précisément
présenter et expliquer ces opérations sur les hexagones logiques, première
étape vers l’établissement futur en bonne et due forme d’une somme et d’un
produit oppositionnels, résultat ouvrant à son tour à une reformulation de la
géométrie oppositionnelle dans les termes mathématiquement généraux de la
« théorie des catégories ».
Présentation plus détaillée
L’hexagone
logique est connu depuis 1950 comme étant une structure mathématique étrange
mais puissante, qui contient en plusieurs exemplaires symétriques le mystérieux
« carré logique ». Depuis 2004 une théorie formelle renouvelée de l’opposition
fournit un algorithme général tel que le carré et l’hexagone logiques ne sont
que deux cas particuliers (pour n=2 et n=3) d’une « théorie de la
n-opposition ». Suite à la mise à jour de plusieurs autres résultats
(comme les notions de « clôture » et de « générateur »
oppositionnels) l’idée semble se faire jour qu’une telle théorie pourrait en
fait n’être rien moins qu’une nouvelle jeune branche des mathématiques :
la notion d’« opposition » pourrait dès lors être mise sur le même
plan prestigieux que les notions, déjà mathématisées avec succès, de
« nœud », « graphe », « catégorie », etc. Les
conséquences philosophiques et épistémologiques de cela semblent être
considérables : d’une part une telle notion d’opposition est un concept
bien plus puissant et naturel que celui logico-mathématique de
« négation » (qu’il inclut comme un cas particulier) ; d’autre
part cela pourrait sonner le glas de la « philosophie analytique »,
dans sa prétention hégémonique comme base des formalisations des sciences humaines,
et signaler la « résurrection » (au sens technique que Badiou donne à
ce terme spirituel) du paradigme transdisciplinaire
« structuraliste » (celui qui va de Saussure à Greimas). Toutefois,
ce qui manque à ce jour pour que l’on puisse parler de manière convaincante
d’émergence d’une nouvelle branche des mathématiques c’est un analogue, pour
les structures oppositionnelles, des notions de « somme » et de
« produit », qui sont transversales à toutes les mathématiques
connues. Les obtenir pour des structures oppositionnelles ouvrirait enfin la
voie à l’expression de la géométrie oppositionnelle dans la lingua franca
mathématique de la « théorie des catégories » (la théorie qui a pris
la place fondationnelle de la « théorie des ensembles »). Dans cet exposé
nous proposons une première série de résultats formels qui montrent que de
telles opérations de somme et de produit existent bel et bien pour les
hexagones logiques pris comme opérandes. Nous allons essayer d’expliquer le
sens spécifique que ces opérations prennent dans le domaine oppositionnel,
ainsi que ce que l’on peut pour l’heure imaginer de leur probable
généralisation future.
[5] Dans un système cognitif, le
développement d'une mémoire robuste mais flexible repose sur la formation de
combinaisons d'objets ou processus plus ou moins complexes. Cette situation est
étudiée dans le cadre des "Système Evolutifs à Mémoire", un modèle,
basé sur la théorie des catégories, pour des systèmes complexes auto-organisés
multi-niveaux et multi-agents, en particulier des systèmes neuro-cognitifs ou
sociaux. Les 'combinaisons' sont alors traduites en termes de limites
inductives ou projectives. Nous montrerons que les limites projectives jouent
un rôle essentiel dans le fonctionnement de la mémoire procédurale, et aussi
dans la formation d'une mémoire sémantique où les objets sont classifiés en
classes d'invariance.
Cette intervention en duo portera sur les rapports entre des
outils conceptuels issus des structures d'ordre en mathématiques et des
paradigmes émergents en informatique. On évoquera les deux origines
indépendantes de l’analyse formelle des concepts, l’une autour de Rudolf Wille
et son « école de Darmstadt » et l’autre centrée sur les travaux du CAMS (le
Centre d’Analyse et de Mathématique Sociales) de l’EHESS de Paris. Après avoir
introduit quelques outils préliminaires issus des structures d’ordre
(opérateurs de dérivation, correspondance de Galois, échelle de Guttman, base
de Duquenne-Guigues, …) on donnera les premiers exemples d’application de
la CFA au problème de la classification paradigmatique des structures musicales
(i.e. une classification où les classes sont des orbites par rapport à l’action
d’un groupe sur un espace).
Si l'analyse des concepts formels se fonde sur la structure
de treillis, celle-ci peut s'interpréter comme une structure topologique
combinatoire. Les travaux dans ce domaine se rapprochent alors de la Q-analyse
introduite par R. Atkin dans les années 70 dans une tentative d’analyse des
relations binaires dans les sciences sociales. Nous introduirons les notions de
base de la Q-analyse à travers quelques exemples puis nous montrerons comment
ces idées peuvent se généraliser et être mise en œuvre de manière calculatoire
grâce à la programmation spatiale. La programmation spatiale vise à expliciter
les structures topologiques dans la programmation et nous présenterons deux
exemples d'utilisations de ces outils pour modéliser les structures narratives
et l’analogie aristotélicienne. Ces travaux se retrouvent dans les tentatives récentes
d'associer de nouveaux objets topologiques à des processus musicaux.
On conclura en ouvrant quelques perspectives philosophiques
sur les rapports entre mathématique, musique et informatique à partir des
problématiques posées par l’application de l’analyse formelle des concepts et
la Q-analyse à l’informatique musicale.
Références :
- Sur l’analyse formelle des
concepts : http://repmus.ircam.fr/moreno/afcm
- Sur la Q-analyse
: http://repmus.ircam.fr/giavitto/q-analyse
- Sur la programmation spatiale : http://repmus.ircam.fr/giavitto/q-analyse#programmat
Comment l’invention
de l’algèbre redistribue ce que calculer,
théoriser et démontrer veulent dire…
(mamuphi, 23 mars 2013)
François Nicolas
Le Bagdad arabe et musulman du Haut Moyen-Âge (à partir du IX° siècle) invente une technique de calcul (par « réduction » et « comparaison ») qui, sous le nouveau nom d’algèbre (réduction = « al-jabr »), s’avère constituer un calcul de type nouveau : « une arithmétique de l’inconnu ».
Comment cette nouvelle discipline va affecter une mathématique antiquement partagée entre arithmétique des nombres et géométrie des figures ? Comment l’algèbre, émergeant comme greffe latérale des mathématiques (telle notre informatique contemporaine), va-t-elle se déployer en une nouvelle discipline mathématique à part entière ? Ajouter ainsi une troisième discipline à la diversité mathématique existante impliquait d’établir l’autonomie relative de l’algèbre tout en assurant son unification à l’arborescence mathématique. Cette vaste entreprise va nécessiter un remaniement d’ensemble de ce que calculer, théoriser et démontrer voulaient alors mathématiquement dire.
L’enjeu de cet exposé sera de présenter cette émergence et cette recomposition mathématiques, leurs conditions de possibilité et leurs effets idéologico-philosophiques. Où l’on découvrira que cette épopée mathématique (IX°-XII°… siècles) n’est pas, mille ans plus tard, exempte de raisonances en matière d’intellectualité musicale contemporaine.
*
I. Calculer, théoriser, démontrer ?
· L’audace fondatrice
d’Al-Khawârizmî (825) est de renverser l’ordre ancestral des raisons (qui
circulait naturellement du connu vers l’inconnu) pour calculer désormais en
partant de l’inconnu. L’idée directrice va être de calculer sur le réseau des
relations connaissables (« équation ») qui enserrent l’inconnu en
question ; le calcul mathématique s’en trouve engagé sur une nouvelle
voie, circulant désormais de l’obscur vers la clarté (et non plus par extension
prudente d’une zone clairement balisée) par opérations réglées sur des
signifiants opaques (la « chose » inconnue - chay’ - et ses acolytes également
inconnus configurant « un calcul de
la poussière ») qui deviendront ultérieurement (XVI° siècle) le calcul
sur la lettre aveugle x. Il s’agira ici de prendre mesure du courage de pensée
qu’a impliqué cette décision : sauter à pieds joints dans l’obscurité pour
mieux y tresser les enchaînements d’une nouvelle raison calculatrice.
· De quelle manière ce calcul d’un
type nouveau autorise-t-il de nouvelles manières de théoriser mathématiquement ? On associera
cette extension au nom d’Al-Khayyâmî (1048-1131). Si l’invention de l’algèbre
vise initialement à théoriser mathématiquement des problèmes non mathématiques
du monde (problèmes d’arpentage, d’astronomie, de fiscalité, etc.), l’algèbre
va devoir ensuite recourir à la géométrie pour solutionner ceux des nouveaux
problèmes algébriques qui s’avèrent alors algébriquement insolubles. Il s’agira
ici de prendre mesure de la nouvelle stratification ainsi engagée (algèbre géométrisée) où la géométrie
vient seconder théoriquement une algèbre embourbée dans sa formalisation de
problèmes non mathématiques.
· Enfin, on examinera les
transformations de la notion même de preuve mathématique auxquelles cette
invention va donner lieu : les résultats algébriquement produits sont-ils
en effet mathématiquement démontrables et pas seulement empiriquement
vérifiables ? La nouvelle rationalité algébrique, qui fait ses preuves en
matière de calcul (fidélité créatrice à l’arithmétique et à ses opérations),
saura-t-elle également faire ses preuves en matière de démonstration (fidélité
créatrice cette fois à la géométrie et à son axiomatique déductive) ? D’où
deux voies, l’une produisant des démonstrations hybrides, circulant librement
entre arithmétique, géométrie et algèbre (Al-Karajî, 953-1029), l’autre
s’attachant à inventer des démonstrations proprement algébriques (Al-Samaw’al,
1130-1175). On rehaussera en particulier le défi que constitue la première voie
en remarquant qu’il brave l’antique interdit dressé par Aristote dans les Seconds analytiques : « On ne peut prouver une proposition
géométrique par l’arithmétique ! ».
II. Raisonances mamuphiques ?
S’agissant d’un séminaire s’intéressant aux raisonances entre pensées mathématiques, musicales et philosophiques, on se demandera d’abord à quelles conditions tout ceci a-t-il été rendu possible : conditions linguistiques, idéologiques, politiques, etc.
On se demandera ensuite ce que cette glorieuse épopée peut nous aider à réfléchir en matière de musique.
· Calculer sur l’inconnu en
l’enserrant dans un réseau connaissable de relations, n’est-ce pas là une
ressource essentielle de tout travail
précompositionnel ?
· Géométriser l’algèbrisation d’un
modèle non mathématique, n’est-ce pas en partie analogue à mathématiser la
théorisation (musicologique ou musicienne) d’un modèle musical (même si, bien
sûr, la première disposition opère au sein de mathématiques intérieurement
unifiées quand la seconde circule entre disciplines - mathématique et musicale
- essentiellement hétérogènes) ?
· Prouver mathématiquement en
faisant feu de tout bois sans crainte de mettre à mal l’antique impératif
aristotélicien en matière de démonstration mathématique n’équivaut-il pas à
développer musicalement sans crainte de mettre à mal les traditionnels
interdits néopositivistes en matière de déduction musicale ?
· Plus largement, si l’émergence
d’une nouvelle figure de la raison (ici algébrique) au sein d’un monde de
pensée (ici mathématique) repose sur le courage de braver des interdits
(traditionnellement travestis en présumées impossibilités : « on ne peut… »), tout de même le
monde de la musique ne se trouve-t-il pas globalement réinterrogé chaque fois
qu’une nouvelle figure de la sensibilité sonore vient à émerger ? On
avancera ici deux exemples opposés :
-
D’un côté l’échec de Pierre Schaeffer à traiter ses nouveaux
« objets sonores » en discipline proprement musicale a courageusement
conduit Michel Chion à fonder un « art des sons fixés » explicitement
hétérogène à la logique musicale et exogène donc au monde de la musique (tout
comme informatique et logique mathématisées restent finalement aux frontières
du monde propre des mathématiques).
-
D’un autre côté l’émergence du jazz au cours du XX° siècle a conduit le
monde-Musique à des effets
intramusicaux d’ensemble ; on
ouvrira ce faisant à la séance ultérieure du séminaire mamuphi (Fréderic Maintenant
et François Tusques, 6 avril 2013) qui examinera comment l’aventure d’un « jazz sériel » a pu, elle aussi,
braver quelques cloisonnements néo-aristotéliciens.
Je vais présenter quelques résultats de recherches obtenus durant ces derniers 18 mois dans le but de formaliser des travaux antérieurs mais aussi de plus récents, en physique, en particulier pour les développements instrumentaux de la radioastronomie.
Pour ce faire, j’utilise les catégories, sensibilisé à cette approche grâce à l’école mamuphi et aux cours 2011/12 de René Guitart mais aussi par le fait qu’il me semblait que cela pouvait s’appliquer à des réalisations très concrètes effectuées sur le terrain. De plus, en avançant dans ce travail, j’ai pris conscience que ceci offrait une nouvelle manière de pratiquer la recherche en physique et d’en cerner ses fondements.
Enfin j’ai aussi vu un lien fort avec l’informatique telle que je la pratique, du développement de codes en programmation générique, une technique reposant sur l’usage du polymorphisme paramétrique.
Je vais montrer qu’il existe un diagramme générique assez fondamental car il permet de formaliser de nombreux concepts dans des domaines très différents. Ce diagramme, à plat une structure hexagonale à l’intérieur d’un triangle, fait bien entendu penser à l’hexagone des contraires et à la logique borroméenne associée (cf. René Guitart : mamuphi, oct. 2011). Cela dit, je suis arrivé à cette structure sans l’usage d’une géométrie de la logique des oppositions, étant d’abord guidé par la manière de décrire un système physique mais aussi par l’adoption d’une figuration géométrique en 3D, un complexe de simpliciaux, celle-ci me permettant de mettre en relief des relations porteuses de sens en les associant par trois (une algèbre de groupe, signature espace-fréquence-temps en physique).
Par le biais d’une connexion avec le langage en informatique (résultat obtenu en développant un générateur de code ayant pour source un langage de typage et pour destination un langage objet, l’usage du lemme traductif) et la théorie des types en mathématiques et à l’occasion de la lecture d’un article sur le boson de Higgs, j’ai alors réalisé, à partir de la logique, qu’on retrouve l’ensemble des relations du modèle standard des particules élémentaires. Dans ce cheminement, les mots clef sont partition et composition.
Ceci me conduit à regarder les groupes de symétrie, en particulier S3 et S4, et me suggère de rajouter un troisième mot-clef : pulsation, terme dont nous avons déjà entendu parler sans trop de précision. Adoptant ce terme, je lui associe la pulsation à trois phases d’un objet géométrique dans notre espace 3D, ceci pour comprendre cet hexagone en utilisant la catégorie des modèles.
Ceci me permet alors de comprendre pourquoi ces hexagones ont tendance à se présenter par paires - en termes informatiques : des diagrammes d’activité et d’état. Ces diagrammes sont caractérisés par une invariance dans les positions de concepts qui, bien que très génériques, sont suffisamment précis pour guider les recherches si l’on veut utiliser cette approche diagrammatique comme outils pour analyser un domaine ou développer des concepts.
De façon assez magique, ce diagramme aide à la conceptualisation. J’illustrerai son usage dans le contexte de la radioastronomie et montrerai en particulier que les objets qui le constituent, des concepts du domaine de métier, sont eux-mêmes de semblables diagrammes. Ce diagramme fermé dans son langage interne, la partie constituée de l’hexagone semble donc n’avoir ni début ni fin en ‘profondeur’, l’axe sémantique s’engendrant par la définition des types et termes à l’extérieur. Parmi ces concepts très génériques se trouve l’émergence. Je montrerai qu’en physique expérimentale, cette émergence s’identifie le plus souvent à la calibration de l’instrument de mesure.
Au niveau informatique ce diagramme se retrouve dans la conception de ce qu’est un type. Il transparait donc au niveau même de la grammaire des langages. On se retrouve donc dans la situation de formaliser des concepts à l’aide d’un langage qui, dans sa grammaire, est bâti sur ces mêmes concepts. De façon plus philosophique, nous pourrions nous poser la question du pourquoi de cette connivence entre la forme (qu’elle soit au niveau du langage, des signes ou d’une simple géométrie) et cette matière ou le rayonnement, des éléments a priori tangibles de la physique au moins au niveau macroscopique!
J’utiliserai ce diagramme pour poser cette question.
« Annoncer Égalité ’68 »
(Séance
mamuphi du 2 février 2013)
Il s’agit de présenter, sous cet
intitulé générique, le travail en cours pour composer, à l’horizon du
cinquantième anniversaire de Mai 68, une vaste œuvre musicale en quatre parties
(disons : une tétralogie). Il s’agit ce faisant d’annoncer au présent un projet, autant dire
l’actualité d’un futur : une possibilité ébréchant le moment en cours.
Cette séance portera plus
spécifiquement sur le travail prosodique et musical engagé sur les six langues
destinées à opérer comme personnages à l’œuvre : l’anglais, l’allemand, le
russe, l’arabe (littéraire), le latin (d’Église) et le français.
D’où trois questions :
1. Qu’est-ce qui, dans ce contexte d’une œuvre musicale composite, spécifiera chacune des six langues, au fil d’une juste violence musicalement exercée sur leur génie propre ?
On
appellera brutalité son
contraire : une violence injuste.
2. Quels rapports ces individualités spécifiques sont-elles susceptibles de nouer entre elles ?
3. Comment composer un collectif-Babel à partir de ces langues individuelles ?
L’examen de ces questions nous
amènera à formaliser notre ensemble de six langues selon cet hexagone logique
des oppositions :
On présentera alors les œuvres
littéraires qui donneront corps à ces différentes langues : celles de
George Oppen [spécifiquement Of being
numerous (1968)] d’Ingeborg Bachmann [spécifiquement Die Wahrheit ist dem Menschen zumutbar (1959) - On peut
exiger de l’homme qu’il affronte la vérité],
de Nadejda [spécifiquement ses mémoires : Воспоминания (1970) – en français : Contre tout espoir] et Ossip Mandelstam,
d’Adonis [spécifiquement son Manifeste du 5 juin 1967] et de Salvien de Marseille
[spécifiquement De gubernatione Dei
(milieu du V° siècle)] ; la langue française, au statut spécifique, sera
portée par différents auteurs.
On examinera ensuite comment
dialectiser égalité individuelle et liberté collective relativement à ces six
langues-personnages.
On
appellera liberté-Pentecôte cette
conquête du collectif-Babel.
En particulier, comment ces
acteurs singuliers peuvent-ils être aptes à composer successivement une libre manifestation (I : le 21 février
1968), un libre rassemblement
(II : le 1° mai 1968), de libres lieux
idéologico-politiques (III : usines et facultés en grève pendant le mois
de mai 1968), une libre réunion
politique (IV : au cours du mois de juin 1968).
On esquissera enfin le
dispositif instrumental et vocal prévu pour cette entreprise compositionnelle
au long cours.
Sur
le corps à quatre éléments se combinent, suivant un dispositif hexagonal, 12
logiques booléennes isomorphes et distinctes, dont les algèbres de fonctions
logiques sont donc isomorphes à l'algèbre de Post-Malcev $P_2$, pour produire
une logique dont l'algèbre des fonctions est l'algèbre de Post-Malcev $P_4$,
que l'on comprendra comme borroméenne de quatre façons ou modes. De surcroît il
existe 12 spéculations où points de vues (ou notes) dont on peut jouer pour
annoter des formules classiques, et qui engendrent encore la même logique
borroméenne. On dispose ainsi d'un outil détaillé en un formulaire explicite
pour rompre les paradoxes logiques et pour faire entendre leurs sens. Dès lors
se pose la question de comprendre le sens comme une composition sur ces 12
notes.
La
généralisation de la sextine du troubadour Arnaut Daniel par Antoine Tavera et
Raymond Queneau a donné lieu à une vaste exploration d'un petit morceau du
groupe des permutations sur n lettres et a donné naissance à de
nombreuses formes poétiques originales. On essayera d'interpréter cette
stratégie de composition poétique et on posera une question aux
musiciens.
De
l’hexagone logique en matière d’œuvre musicale composite
(mamuphi,
Ens - 7 janvier 2012)
François
Nicolas
De quelle
manière l’hexagone logique des contraires dégagé par Robert Blanché et
développé par Jean-Yves Beziau peut-il orienter une formalisation de la logique
propre au discours musical, y compris au discours si spécifique de l’œuvre
musicale composite (ou mixte) ?
On examinera ces points mamuphiques
à l’ombre de l’orientation philosophique suivante : les véritables décisions
sont d’ordre ontologique (et non pas logique), et les délibérations
logiques qui les suivent (nullement qui les précèdent) s’attachent alors
à en évaluer les conséquences phénoménologiques dans une situation
ontique donnée.
I
On montrera
d’abord de quelles manières cet hexagone
1.
met en scène trois figures
distinctes de la négation logique :
—
la négation classique des contradictoires
[rouge] ;
—
la négation intuitionniste
des contraires [bleue] ;
—
la négation paraconsistante
des sub-contraires [verte] ;
2.
restitue ce faisant les trois types
philosophiques de synthèse distingués par Deleuze :
—
la synthèse connective
(celle d’un « donc »),
—
la synthèse conjonctive
(celle d’un « et »),
—
la synthèse disjonctive
(celle d’un « ou » exclusif) ;
3.
articule, par son système d’implication,
deux types d’objets :
—
des produits (dotés d’un
contradictoire et de deux contraires) ;
—
des sommes (dotées d’un
contradictoire et de deux subcontraires).
Hexagone
logique (sa syntaxe & une sémantique possible)
II
On entreprendra
d’approprier cette structure logique à la discursivité proprement musicale en
posant qu’en musique, la négation est essentiellement une altération (Veränderung).
On spécifiera
ainsi le travail du négatif en musique selon trois principes, venant
contraposer logique musicale et logique aristotélicienne :
—
Le principe de différenciation
s’opposant au classique principe d’identité : aucun terme n’est,
posé deux fois, identique à lui-même si bien qu’en musique, répéter, c’est
altérer.
—
Le principe de négation
contrainte s’opposant au classique principe de non-contradiction :
tout objet musical posé doit se composer avec son contraire,
c’est-à-dire se composer en devenir (avec sa propre altération).
—
Le principe du tiers obligé
s’opposant au classique principe du tiers exclu : tout terme
musical posé (A) doit se composer avec un autre terme (B), autre que la
négation en devenir du premier (A’).
Ces trois principes, qui configurent la
composition musicale comme interaction minimale entre trois objets - un
objet premier A, son altération A’ et un autre objet B – conduiront à la
construction de deux hexagones musicaux : l’un rapportant des relations
spécifiquement musicales (identité/répétition – altérité
constituante/altération constituée), l’autre rapportant des types d’objets spécifiquement
musicaux (thèmes/cothèmes - objets génériques/motifs constituants…).
III
Qu’en est-il
alors de cette logique musicale dans ces œuvres composites qui entrelacent deux
logiques discursives hétérogènes : celle de la musique et celle d’un flux
non musical accueilli dans l’œuvre en question ? Qu’en est-il en
particulier quand ce flux non musical est le flux sonore et signifiant d’un
discours tenu en langue arabe ?
Pour ce faire,
peut-on identifier, dans la grande langue arabe littéraire, quelques manières
spécifiques de donner forme discursive au travail du négatif ?
On examinera,
pour ce faire, trois modalités caractéristiques de cette discursivité
« arabe » qu’on tentera de formaliser selon les principes logiques
organisant notre hexagone :
—
la parataxe, si cardinale
en langue arabe, qui constitue un mode spécifique d’implication par apposition
de blocs ;
—
le Diddun – soit ce type
de mot venant indexer simultanément une chose et son contraire – qui somme des
contraires selon l’unité disjointe d’une alternative ;
—
l’hapax comme exception
produite par une double négation (selon le modèle « Nul dieu sauf
Dieu ! ») où la négation d’une négation contraire génère un
contradictoire singulier.
On aboutira ce
faisant à l’hexagone suivant :
IV
Sur ces bases,
on tentera de mettre nos hexagones « musicaux » et
« arabe » en raisonances en sorte de clarifier l’intention/intension
compositionnelle suivante : comment une œuvre musicale composite
pourrait-elle entreprendre d’avouer musicalement quelque(s) secret(s) de
la langue arabe, sachant bien sûr que « ce n’est pas parce qu’on
l’avoue qu’un secret cesse d’être un secret » (Jacques Lacan) ?
On devinera
qu’il s’agira ici de conclure - tout à fait provisoirement ! - sur ce
qu’un tel type d’œuvre musicale mixte pourrait avoir de spécifiquement concret.
[13] Cette séance se propose
d’ouvrir une discussion sur quelques enjeux de la démarche phénoménologique à
partir des problèmes théoriques posés par la formalisation algébrique et
catégorielle en musique. L’approche transformationnelle en théorie et analyse
musicales soulève en effet des questions philosophiques intéressantes,
notamment dans ses rapports avec la phénoménologie husserlienne et les sciences
cognitives. On se propose de confronter ce point de vue avec d’autres lectures
de la phénoménologie dans ses relations avec la pensée mathématique
contemporaine en montrant, ainsi, toute l’actualité de l’approche
phénoménologique dans les (neuro)sciences cognitives. En s’appuyant sur une
double formalisation de la phénoménologie, l’une issue des modèles
morphodynamiques et l’autre de la théorie des catégories, on posera la question
du rapport entre phénoménologie et structuralisme en ouvrant le débat sur la
possibilité d’une coexistence d’une démarche structurale et d’une approche
phénoménologique en sciences humaines. On avancera donc en conclusion
l’hypothèse d’une pertinence de la catégorie de « structuralisme
phénoménologique » dans une relecture/réactivation de la tradition structurale
tout en montrant les implications d’une telle entreprise au sein d’une théorie
mathématique de la musique.
Références
bibliographiques et documents préparatoires disponibles à l'adresse :
[14] Depuis le développent de la
théorie des catégories par Eilenberg et Mac Lane (1945) à travers le concept de
foncteur, cette théorie a été maintes fois reprise par les philosophes
des mathématiques pour remettre en cause le statut que la théorie des ensembles
détient depuis le début du XXème siècle, comme sol fondateur pour les objets
mathématiques.
Quelles que soient les différentes approches de cette
question, il est certain que la théorie des catégories rend possible une
localisation de la théorie des ensembles dans un contexte plus large où la
perspective ensembliste n’est plus qu’un mode d’expression mathématique parmi
d’autres. Ces modes d’expression concernent des formes invariantes ou
covariantes qui, à leur tour, peuvent ne pas appartenir de manière univoque à
l’une ou à l’autre forme.
Cette situation a ainsi provoqué une relativisation de la
perspective ensembliste en matière de fondements des mathématiques, au point
qu’un commentateur comme J. T. Bell a pu comparer la théorie des catégories à
la relativité restreinte einsteinienne, capable d’expliquer la mécanique
newtonienne comme l’un des cas possibles d’une physique élargie.
Dans mon intervention je me propose d’examiner l’argument de
Bell concernant cette vision « relativiste » dans le but de critiquer
sa compréhension des suppositions ensemblistes qu’il cherchait à réfuter.
En m’appuyant sur cette critique de Bell, je vais souligner
la différence entre, d’une part, l’approche de l’ontologie des objets
mathématiques propre à la « philosophie des mathématiques » et,
d’autre part, le traitement de la pensée mathématique propre à Alain
Badiou pour qui les mathématiques seraient l’ontologie en tant que telle.
Enfin,
j’interrogerai les possibles conséquences de ce processus de localisation ou de
« relativisation » lorsqu’il est appliqué à l’interprétation
ensembliste de la thèse « mathématique=ontologie » exprimée dans L’être
et l’événement.
Nancy
Diguerher-Mentelin - D’Alembert-Rameau-Rousseau (&
Diderot) : « mamuphi » au cœur des Lumières ?
L’objet de cette conférence est d’ouvrir un espace de
visibilité pour ce croisement interdisciplinaire hautement fécond qui s’est
noué autour de Jean-Philippe Rameau au beau milieu du XVIIIe siècle. Alors que
ses œuvres et sa théorie sont respectivement arrimées à une ère musicale et
philosophique
sévèrement mise à mal vers 1750, c’est à cette époque qu’adviennent les
rencontres décisives qui feront de lui un penseur écarté des Lumières, et pourtant
si intimement lié à leur émergence.
Très
précisément, l’année 1749 est celle où, réagissant à la théorie mais aussi à la
musique ramistes, Rousseau, Diderot et d’Alembert apportent tour à tour leurs
premières grandes contributions à tout ce qui façonnera la postérité de Rameau.
C’est alors que se configure cet espace de confrontation tout-à-fait inédit où
la voix du compositeur se met à résonner sur plusieurs dimensions : en même
temps qu’elle excite l’hostilité de Rousseau, qui s’éveille contre elle à sa
propre vocation philosophique, sa rencontre avec Diderot lui donne un tout
nouvel essor, aussi décisif pour le musicien que stimulant pour l’écrivain,
alors que ses premiers échanges avec d’Alembert portent en eux les germes de la
puissante controverse à venir.
Notre
propos sera donc de dégager les grandes lignes de force de cet épisode 1749
essentiel dans la trajectoire intellectuelle de Rameau, et doté également d’une
incidence très neuve et caractérisée sur les orientations respectives de pensées
qui sont celles de Rousseau, de Diderot et de d’Alembert : si le projet
encyclopédique commun de ceux-ci se présente en écartant Rameau, force est de
constater qu’aucun d’eux ne s’est, sans lui, engagé sur ces voies qui les
feront tant connaître.
Nous
tâcherons ainsi de faire émerger un moment important dans l’avènement des
Lumières, où le mathématicien, le musicien et le philosophe se rencontrent pour
la première fois en une scène où Diderot, écrivain et critique d’art, se sent
lui aussi un rôle à jouer.
[16] Partant des structures
algébriques et topologiques en Théorie des Catégories, il est intéressant
d'ouvrir les structures topologiques à la prétopologie d'Alexander Grothendieck
puis de Marcel Brissaud pour s'apercevoir d'une part que tout est fondé
sur l'homomorphisme et la transitivité, et d'autre part qu'il existe dans des
travaux parallèles de l'auteur depuis 1967 des notions de
« trans-combinaison » et de « prétopologie » dès 1971.
La
non-transitivité et l'hétéromorphisme introduisent aux textures prétopologiques
(sonores et visuelles au départ, puis généralisées) qui s'avèrent propices à la
recherche d'esthétiques musicales et visuelles (voir la suite de l'UPIC -
Iannis Xenakis - conçue par l'auteur de l'exposé).
Une façon peut-être d'ajouter au "théorème du sandwich
au jambon" d'Hugo SteinHaus repris par Stephan Banach (1938) le
"théorème de la soupe de légumes" (PSJ, 2012) en sorte de ne plus
avoir peur du mélange, de l'amalgame et des co-polymères.
Le
jugement s'établit dans un topos; la perception, relative au Deux, suppose une
structure plus légère qu'une flèche d'une catégorie. En dépointant une arête du
graphe sous-jacent de celle-ci, on obtient une spire et l'on peut dessiner
l'esquisse d'une telle structure.
On
observe alors une genèse du nombre:
-
le monde du Quatre, les ensembles avec leurs éléments
-
le monde du Trois, les catégories avec flèches et boucles
-
le monde du Deux : les spires
-
quid du monde du Un, les pôles ? Ces pôles peuvent être de dimension des questions,
des valeurs.
En
musique, le monde du Trois s'apparente à une partition, suite de notes
discrètes, alors que le son écouté s'apparente à la perception.
Chaque
monde a un mouvement spécifique (rotation, spire ou pulsation), une attitude
par rapport à la négation, un sens de l'identité.
Cette
genèse du nombre s'accompagne d'une genèse du trait : représentation graphique de
structures cognitives. Pour enrichir le graphisme, chaque monde peut être
associé à une couleur, en accord avec les liens logiques de J-Y Beziau.
Enfin, plutôt que de juxtaposer (projeter) les mondes, on
peut décrire la genèse du jugement à partir de la perception (basée sur des
remarques de Merleau-Ponty) et s'interroger sur une genèse des pôles à partir
de limites de spires.
La
phénoménologie et la recherche de pulsars : les catégories seraient-elles
opératoires pour les méthodes de mesure et d'approximation?
Après
une introduction brève à la phénoménologie des pulsars telle qu'elle est
considérée aujourd'hui, nous nous intéresserons au problème spécifique de
recherche "aveugle" de signaux pulsés (périodiques), c'est-à-dire
sans connaissance à priori des éphémérides. Nous donnerons un aperçu de l'état
de l'art tout en soulignant les limitations méthodologiques, notamment en ce
qui concerne le déficit de rapport (mais aussi d'apport) des mesures locales
(périodes courtes) quant aux propriétés temporelles globales (longues périodes)
des pulsars.
Un
discussion avec René Guitart permettra ensuite de se poser la question de
savoir si une formulation catégoricienne de cette problématique pourrait être
pertinente, et si oui en quoi.
[19] Ecouter Allegro sostenuto,
c’est « s’exposer » à un instrument, celui, ad hoc, que
Lachenmann a « construit » et que désigne tout autant ce titre que
l’œuvre elle-même. Cet instrument, c’est en l’occurrence le
« pianoclarinettevioloncelle » en tant qu’il est agi par diverses actions
physiques en interaction, des familles de « gestes », les uns
regroupés par leurs effets (« Tonloss » de souffle, d’archet ou de
pédale par exemple), les autres par leurs causes (raclements de cordes etc.).
Ecouter
Allegro sostenuto, c’est alors « faire l’expérience » du
paysage sonore qu’offre à nos sens le dépliement temporel de cet instrument,
traverser et se laisser traverser (par) « l’arpège » que présente son
exploration et en quoi consiste sa forme.
Pour
singulière qu’elle est, cette approche « existentielle » de la
composition n’en est pas moins un dialogue tendu tant avec d’autres œuvres
musicales qu’avec la pensée de son temps.
Les
enjeux de Allegro sostenuto se laissent alors cerner d’un triple point
de vue.
- Généalogique : dialogue avec d’autres
œuvres de Lachenmann (Ausklang, Serynade), Varèse, Boulez, Nono,
mais aussi avec une certaine tradition des « Nachtmusik » et tant
d’œuvres de différentes époques qui affleurent ici ou là comme des
« souvenirs » musicaux que Lachenmann croise au gré de son aventure
et salue comme autant d’ « amis ».
- Archéologique : souci de prendre en
charge les questions musicales léguées par la fin de la tonalité à travers ce
qu’il appelle une « réflexion sur les moyens », à savoir la tonalité
(en tant qu’elle définit le paradigme hérité qu’il s’agit de dépasser),
l’acoustique, la structure et l’aura.
- Esthétique : résonance de son œuvre
(musique et texte) avec la pensée de philosophes (Adorno, qui semble avoir
largement structuré sa formation intellectuelle, et, à certains égards,
Deleuze, Lacoue-Labarthe) et de poètes (Pessoa-Caeiro, Celan).
Se
fait alors jour une inclinaison générale relevant moins d’une entreprise de
« déconstruction » de la musique que d’une volonté obstinée de la continuer.
[20] Si la notion d’idée musicale
émerge dans les écrits de Pierre Boulez au tournant des années 1980, elle fut
déjà l’objet d’une profonde réflexion de la part d’Arnold Schoenberg, qui la
définissait d’abord comme une relation purement musicale entre sons. Sur cette
base, nous soumettrons Dérive 1 (1984) à une étude visant à rendre
compte des différentes relations musicales qui la constituent ainsi que des
procédés sur lesquels celles-ci reposent. Nous mettrons alors au jour les
enjeux propres de cette pièce et les problématiques qu’elle soulève.
Ceux-ci
seront surtout révélés par une confrontation avec le Klavierstück opus
33a (1928) de Schoenberg, qui nous permettra de dresser une certaine
généalogie, notamment autour de la récupération d’un contrôle de l’harmonie par
les moyens sériels. L’analyse de leurs divergences, quant à la forme et
l’action de cette tentative sur la perception de l’œuvre, nous permettra de
montrer que sous cette question se dessine une dialectique, fondamentale pour
le XXe siècle, entre l’indétermination et l’écriture. Nous verrons alors
que ces deux pièces marquent les frontières extérieures d’une situation
esthétique représentée par l’œuvre ouverte.
A partir de leur position respective, nous montrerons enfin
que Schoenberg rend musicalement compte d’une certaine « fin de la
métaphysique » annoncée par Heidegger, tandis que, avec Dérive,
Boulez semble rejoindre Badiou pour décréter la « fin de toutes les
fins » et ajouter ainsi un point à la « constellation
affirmative ».
[21] 0. Prélude: Brève réflexion sur
l'orthographe allemande
1.
Synesthésie romantique
2.
Rilke et Trakl à l'époque de la Sprachkritik
3.
« L'alliance de la musique avec le verbe » dans le Docteur Faustus
de Thomas Mann
Extension
de Kan et écoute musicale « élargie » d’une œuvre musicale
« mixte »
(mamuphi,
9 octobre 2010)
F.
Nicolas
« Aujourd’hui,
la musique a besoin de quelque chose d’hétérogène pour rester art. »
(d’après Adorno) [1]
Il s’agira
d’examiner l’aptitude d’une notion mathématique – celle d’extension de Kan [EK]
- à formaliser ce que nous proposons d’appeler l’écoute musicale élargie
d’une œuvre musicale mixte [OMM].
Nous repartirons
pour cela des résultats d’un précédent travail (présenté en mamuphi le
10 octobre 2009 et disponible sous forme du chapitre D.II d’un prochain livre –
le monde-Musique - à paraître en 2011) [2]. On y thématise l’OMM (ou
œuvre musicale accueillant en son sein un flux hétérogène – texte, chorégraphie,
vidéo… - sans pour autant l’homogénéiser à la musique ou se contenter de
l’accompagner musicalement) comme « extension auratique de l’œuvre
musicale ».
On se demandera
alors : existe-t-il, corrélativement à l’extension de l’objet musical en
question, une extension de son écoute (soit une extension d’un rapport musical
à cet objet étendu) ? L’écoute musicale de l’OMM peut-elle être ainsi
pensée comme une extension de l’écoute musicale « ordinaire » ?
Dans quelle mesure l’OMM invente-t-elle une écoute proprement musicale du flux
non musical accueilli ? Par exemple, y a-t-il une manière proprement
musicale d’écouter le poème chanté par/dans un lied ?
C’est en ce
point que la notion mathématique d’EK va être mobilisée (quand celles
d’extensions algébrique et générique nous avaient éclairés sur l’extension
d’objet constituant l’OMM).
On commencera
par rappeler les notions techniques de foncteurs adjoints et d’extension
de Kan.
On formalisera
ensuite notre problème avec ces notions en sorte de préciser ce que l’énoncé
suivant veut dire : « l’écoute musicale de l’OMM est formalisable
comme EK d’une écoute de la musique à l’œuvre ».
On en viendra à
la question suivante, mathématiquement délicate (« non triviale »
nous disent Barr & Wells) [3] mais musicalement essentielle : cette
extension d’écoute est-elle constructible pas à pas (« pointwise »
disent les anglo-saxons) ? Soit, en première approche : cette écoute
musicale élargie est-elle constructible localement à partir de l’écoute
musicale ordinaire ou relève-t-elle d’une édification globale, sans embrayage
local ?
On thématisera
d’abord ce que « construction point par point » (pointwise)
veut mathématiquement dire (au moyen de différents exemples mathématiques) et
on examinera ensuite son ajustement à notre question, ce qui reviendra à
examiner techniquement le point suivant : dans quelles conditions un
extension de Kan est-elle constructible point par point ?
On s’appuiera,
pour ce faire, sur trois présentations mathématiques :
—
celle de René Guitart lors de son
quatrième cours mamuphi « Catégories et structures » du 6 mai
2010 [4]
—
celle de Barr & Lane dans Toposes,
Triples and Theories (Kan extensions : p. 56-61)
—
celle de Mac Lane dans Categories
for the working mathematician (chap. X : Kan Extensions) [5]
On s’attaquera
ensuite à la démonstration mathématique du théorème suivant [22] :
« dans certaines conditions, la construction point par point d’un foncteur
adjoint par limites (ou colimites) produit une extension de Kan à droite
(ou à gauche) ».
On examinera ce
que ce développement mathématique éclaire quant à notre problème musical.
On en conclura
trois points, intéressants directement l’intellectualité musicale de
l’OMM :
1.
Une écoute musicale élargie
s’affirme immédiatement à une échelle globale sans transiter par une
construction localement constituée.
2.
L’éventuelle décision musicale
qui imposerait a contrario un embrayage local, un contrôle point par point, une
constructibilité généralisée du rapport auditif à l’OMM (on la nommera
« décision boulézienne »), conduirait à thématiser ce rapport auditif
comme simple perception/audition et non comme écoute musicale proprement dite.
3.
La vertu musicale propre de l’OMM
réside ainsi en une dialectique entre construction point par point de son aura
poétique et écoute globale du flux hétérogène qui l’a fécondée.
Soit la
conclusion très simple suivante : le lied (par exemple) ouvre à une écoute
proprement musicale de son poème mais, si ce lied construit bien ponctuellement
son extension auratique (comme on l’a montré en octobre 2009), pour autant
l’écoute musicale de ce lied balance entre écoute de proche en proche au
fil de la musique et écoute uniquement globale de l’intension du poème.
Au total, l’OMM
est une extension localement constituée mais l’extension de son écoute est
globalement constituante d’une écoute musicale de l’hétérogène.
[1] Son énoncé
exact est : « L’art a besoin de quelque chose qui lui est
hétérogène pour devenir art. »
[2] Il est
disponible à l’adresse http://www.entretemps.asso.fr/maths/D.II.pdf
[3] Toposes,
Triples and Theories - p. 57
[4] http://www.entretemps.asso.fr/maths/Cours4.htm
[5] Plus
spécifiquement ici X.3
*
Extensions
de Kan et transformée de Fourier
F.
Jedrzejewski
Après un rappel
sur les extensions de Kan et l'intérêt de la transformée de Fourier pour la
musique, nous présentons les généralisations qui ont eu lieu à partir du
théorème de dualité de Pontryagin (1934), établies d'abord pour les groupes non
commutatifs par Tannaka (1938), puis étendues aux algèbres de von Neumann et de
Kac dans les années 1970.
Les
constructions catégorielles récentes définissent les transformées de Fourier à
droite et à gauche dans des catégories promonoïdales comme des extensions de
Kan.
Nous présentons
l'idée de cette construction et vérifions que cette transformation a les
propriétés usuelles d'une transformée de Fourier, en particulier, qu'elle
préserve les convolutions et la relation de Parseval.
[24]
"Classiquement" la Théorie des Catégories étudie les propriétés des
catégories, foncteurs et transformations naturelles. Ce que j'appelle méthodes
"transcendantes" est l'utilisation, pour l'étude de ces notions,
de "foncteurs généralisés", les distributeurs que je définirai
et dont je donnerai quelques propriétés.
Puis
je donnerai quelques exemples de leur utilisation en théorie
"classique" des catégories. Mais ils ont une "vie propre"
et j'indiquerai comment on peut élaborer toute une "théorie non
classique" en les utilisant.
[25] Les pages que Schopenhauer a
dédiées à la musique sont profondément liées à la fois à sa métaphysique et à
la culture musicale de son temps. Elles présentent des idées qui ont eu une
importance fondamentale dans notre culture: la supériorité de la musique
instrumentale ou musique « absolue », la vision romantique de la
musique comme langue universelle, et encore la puissance expressive de la
musique.
On
propose ici d’analyser la philosophie de la musique de Schopenhauer en relation
à ces contextes. On pourra apprécier le fait que, pendant les dizaines d’années
de son activité, la réflexion de Schopenhauer sur la musique a introduit
d'assez importantes transformations conceptuelles.
[26] On se propose de décrire le
modèle d'Ising , en termes physiques et combinatoires. Puis on posera le
problème de la limite thermodynamique et de la limite continue, menant à la
notion de domaine (de Weiss). On introduira ensuite les notions diverses
d'entropie, et les théorèmes de concentration correspondants. On sera alors
équipé pour des applications à la physique statistique, la chimie, la biologie
...
École
mamuphi de musique, pour philosophes et autres non-musiciens :
Les
enjeux (généalogiques, archéologiques et esthétiques) d’une œuvre musicale
Le
projet est d’introduire les auditeurs (en particulier ceux qui ignorent le
solfège) aux enjeux musicaux d’une œuvre.
Si
les enjeux musicaux d’une œuvre se donnent dans la dialectique interprétative
d’une écoute et d’une lecture de la partition, le défi de cette école est alors
d’ouvrir un accès à la partition d’une œuvre pour qui ne sait la lire (sans
pour autant transformer bien sûr l’école en classe de solfège).
Chaque
leçon s’attachera à une œuvre pour en dégager les enjeux musicaux contemporains
(s’entend : pour un aujourd’hui musicien de la création musicale).
Les
enjeux seront dépliés selon un triple point de vue :
généalogique : avec quelles œuvres musicales
cette œuvre dialogue-t-elle ?
archéologique : comment cette œuvre
rétroagit-elle sur l’état du monde de la musique dans lequel elle s’enracine ?
esthétique : de quelle époque de pensée
cette œuvre musicale se veut-elle contemporaine ?
Chaque
œuvre sera présentée par un musicien qui s’attachera à détailler pour quiconque
sa partition, ses interprétations significatives et une écoute possible.
[28] On commencera par une analyse
musicale qui aborde l’œuvre selon son écoute (la musique n’est-elle pas l’art
spécifique de l’écoute ?).
Pour
ce faire, on repèrera d’oreille (à un type très spécifique de fluidité
rythmique faisant trou dans l’ordre musical du discours) un moment singulier
intervenant dès les premières mesures (mes. 18-19), moment qui s’avère
susceptible d’orienter l’écoute globale de l’œuvre (on appelle moment-faveur
ce type particulier de moment).
On
analysera, cette fois partition en mains, ce moment pour en dégager la figure
de crux rythmique (en reprenant à Ralf Kirpatrick analysant les sonates
de Scarlatti le terme de crux pour l’approprier à un tout autre
contexte).
De
quelle manière ce moment-faveur oriente-il l’écoute en lui proposant un fil
rouge, traversant l’œuvre de part en part?
On
dégagera d’abord le double striage extrêmement contraignant qui ossature
l’œuvre d’un bout à l’autre : en termes de rythmes d’une part (trains
d’impulsions régulières) et de hauteurs d’autre part (séries tous intervalles
inscrites verticalement).
On
exhaussera alors la fluidité affleurant lors du moment-faveur comme index d’une
subjectivité musicale parcourant fantasmatiquement le territoire rigoureusement
balisé selon des lois inapparentes.
On
dégagera ce faisant comment un contraste local entre deux voix s’accorde, au
fil de l’œuvre, à un contraste régional entre deux tempi comme à un contraste
global entre deux allures en sorte, au bout du compte, d’entendre la figure de crux
comme constitutive de l’intension musicale stratégique ici à l’œuvre.
À
partir d’une telle intelligence musicale de l’œuvre, on examinera ses enjeux généalogiques
(la généalogie de l’œuvre est simultanément schumanienne et sérielle, ce qui suffirait
en soi à l’inscrire comme singularité…), archéologiques (ce que, dans le
monde-Musique contemporain, figure peut vouloir dire s’il ne
s’agit plus d’un thème ou même d’un objet musical proprement dit) et esthétiques :
quelles raisonances avec le travail freudien du rêve (condensation et
déplacement) et avec une problématique de la subjectivité comme traversée
hasardeuse d’un esplace institutionnellement réglé ?
Théoriser
l’engendrement d’une aura poétique par l’œuvre musicale mixte à la lumière mathématique
du forçage (P. J. Cohen) d’une extension générique
On partira de
deux hypothèses.
1) La première
est de fond : les œuvres musicales mixtes (celles qui mettent en œuvre
deux déroulements temporels synchronisés : texte, danse, film, action
scénique…) peuvent engendrer une aura poétique, qui constitue une sorte
d’extension enveloppant l’œuvre de départ - cette hypothèse est suggérée par la
théorie wagnérienne du drame (Opéra et Drame, 1850) qui prône une
musique poétiquement fécondée.
2) Comment théoriser
expérimentalement la constitution musicale d’une telle « aura
poétique » ? C’est là qu’intervient notre seconde hypothèse, cette
fois de méthode : éclairer une telle théorisation par la mathématique des
extensions, plus précisément du forçage (forcing) d’extensions
génériques (P. J. Cohen).
Ceci engage un
programme de travail mamuphi 2009-2010 : l’exposé (qui, au
demeurant, ne supposera nulle compréhension préalable de la mathématique du
forcing – on présentera liminairement sa dynamique générale) sera donc
problématisant plutôt qu’il n’offrira un fascicule de résultats (voir, en
annexe, le fascicule de résultats pour le programme 2008-2009).
Les principales
idées qui vont guider cette théorisation musicienne à la lumière des
mathématiques sont les suivantes :
1.
Une œuvre musicale mixte compose
des interactions entre flux temporels synchrones.
2.
Ces interactions seront
formalisées comme interférences entre différents types de segmentation
(segmentation proprement musicale, segmentation littéraire ou chorégraphique…).
3.
Dans une œuvre musicale mixte,
c’est la musique qui dirige ces interactions, ce qui implique une violence
musicale exercée sur le flux hétérogène que l’œuvre accueille et épouse.
4.
La composition proprement
musicale d’une extension auratique mobilise la « convolution » de
deux opérations inverses : une « modulation » de la segmentation
musicale par la segmentation hétérogène, puis une « rétroaction » de
la segmentation musicale ainsi modulée sur le flux hétérogène.
5.
Dans la première opération –
« modulation » -, la musique fait violence au flux hétérogène en
déposant son inspect propre (tout en captant son aspect et
épousant son intension). Dans la seconde opération –
« rétroaction » -, la musique fait violence au flux hétérogène en le
remodelant selon un inspect musical importé, non natif.
6.
Au total, l’œuvre musicale mixte
sera ainsi ressentie comme étendue (dotée d’une aura), la pointe de la
théorisation, guidée par la problématique mathématique du forcing, étant alors
d’examiner de quelle manière il est possible de contrôler, de l’intérieur
même de la musique (compositionnellement donc), une telle extension
auratique non musicale (tout de même que la mathématique contrôle une extension
algébrique du corps des rationnels ℚ de l’intérieur même
de l’espace des polynômes à coefficients dans ℚ et tout de même
que le forcing contrôle l’extension M[G] de l’intérieur même de l’espace
de départ M).
Annexes
Documentation mathématique
sur le forcing des extensions génériques (Paul J. Cohen)
·
Thomas Jech : What is forcing ?
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Jech.pdf
· Timothy
Y. Chow :
o
Forcing for dummies
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Dummies.pdf
o
A beginner’s guide to forcing
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Chow.pdf
·
Patrick Dehornoy : La
méthode du forcing
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Dehornoy.pdf
Fascicule de
résultats du programme de travail (2008-2009) sur la théorie des faisceaux
·
Objets : l’objet
musical (le morceau de musique) est un faisceau.
B.VIII :
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.VIII.pdf
·
Relations : mais les plus
musicales des relations entre ces objets (leurs influences réciproques) ne sont
pas des morphismes (de faisceaux).
B.IX : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.IX.pdf
·
Topos : au total, le
monde-Musique (fait de ces objets et de leurs relations c’est-à-dire des
morceaux de musique et de leurs influences musicales) n’est donc pas un topos
de faisceaux.
B.X : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.X.pdf
Logics and Music Theory appear in different
classifications of the medieval academic curriculum. Logic is part of the
trivium (among grammar and rhetoric, while music theory is listed among the more
mathematical disciplines: arithmetic, geometry and astronomy). Logics as the
study of reasoning underwent a tremendous transformation through a process of
formalization and mathematization. Music Theory opened its scope to many
non-mathematical aspects (in particular those, traditionally covered by the
disciplines of the trivium). This "contrary motion" of research
interest offers several meetings points for Logics and Music Theory. One
particularly interesting 19th century meeting point shall be the starting point
for my talk which then proceeds into 20th century Logics and Mathematical Music
Theory.
Moritz Hauptmann (1953) in his treatise "Die
Natur der Harmonik und der Metrik: Zur Theorie der Musik" presented some
ideas which mark a radical position in the context of this MaMuPhi session.
Hauptmann interprets music first of all as a manifestation of human thought.
While assuming general dialectical principles behind the activity of human
thought he claims that musical mistakes are logical mistakes. According to
Hauptmann the unity of a tonality (Tonart) is the result of a dialectical
triad. Inspired by the idea to literally interpret the musical triad as a
dialectical triad, he loads the names of the intervals octave, fifth and third
with the corresponding dialectical meanings. A tonality is a kind of
hypertriad, i.e. constituted by three musical triads. Their contiguity via
common tones is the source for the Quintbegriff of the tonality, a diremption
as the result of conflicting tone meanings. The mediating and unifying
Terzbegriff is based on a change of perspective: the state of the tonic triad
of being a dominant (relative to the subdominant triad) is turned into the
state of having a dominant (relative to the dominant triad).
Hugo Riemann's (1872 and 1874)
"Musikalische Logik" is inspired by Hauptmann's ideas. Riemann
elaborates upon the explanatory power of this dialectical paradigm for the
constitution of typical cadences. I will show some traces of the intellectual
squeeze on Riemann when he tries to bring both sides together: the dialectical
explanation and music-theoretical facts. [Being in Paris I cannot refrain from
re-addressing Riemann's problem with a side glance to the semiotic square].
Riemann's "Musikalische Logik" and
"Musikalische Syntaxis" inspired the recent Neo-Riemannian approaches
by David Lewin, Richard Cohn, Clifton Callender, Jay Hook, Tom Fiore and Ramon
Satyendra and several others. But these left the original dialectical
motivations behind. Yet the transformational approaches of David Lewin and
Guerino Mazzola offer new ways to tie up with H. Riemann's orphaned project of
a "musical logic". My 2004 article "The Topos of Triads" is
an attempt in this direction. [In my MaMuX-talk (friday december 4) I will clarify
the close mathematical links between these investigations on the one hand and
the american Neo-Riemannian tradition on the other]. The locial component which
enters music theory here, is the internal logical semantics of a topos, even
though in a rudimentary way. I will explain and illustrate this in my talk.
Cet
exposé est divisé en deux parties. Dans la première partie, on discutera le
caractère à la fois algébrique et géométrique des approches
transformationnelles en musique [Lewin 1987/2007] en séparant la composante
proprement théorique des applications analytiques. Dans la deuxième partie, à
partir d’une généralisation catégorielle de certaines constructions
transformationnelles [Mazzola & Andreatta
2006], on essaiera de donner quelques éléments en vue d’une interprétation
philosophique des approches transformationnelles. Bien qu’ayant des rapports
étroits avec le positivisme logique [Andreatta 2006], nous proposons une
nouvelle lecture philosophique de l’approche transformationnelle visant à
élargir les catégories structurales appliquées traditionnellement à la musique more
linguistico afin de mettre en lumière des nouveaux enjeux philosophiques
relevant du rapport entre structuralisme et phénoménologie [Boi et al. 2007].
Après une brève digression sur la place de la logique dans les approches
set-théoriques et transformationnelles [Kolman 1999], on conclura en présentant
une démarche récente autour du projet d’une géométrisation de l’analyse
musicale basée sur la théorie des orbifolds [Tymoczko 2006 ;
Callender et al. 2008] et dépassant, selon l’un des auteurs, certaines
limitations de l’approche transformationnelle de David Lewin [Tymoczko 2010].
Références
bibliographiques :
· [Lewin
1987/2007] D. Lewin, Generalized Musical Intervals and Transformations,
Yale University Press (réédition Oxford University Press, 2007).
· [Kolman
1999] O. Kolman, « Generalized interval systems: an application of
logic », Orbis Musicae, Rethinking Interpretative Traditions in
Musicology, Conference Proceedings, Tel Aviv University, 67-73.
·
[Andreatta 2006] M. Andreatta,
« Mathématiques, musique et philosophie dans la tradition américaine : la
filiation Babbitt/Lewin », intervention au séminaire MaMuPhi du 18
novembre 2006 [http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1560].
·
[Mazzola/Andreatta 2006] G.
Mazzola, M. Andreatta, « From a Categorical Point of View :
· K-nets
as Limit Denotators », Perspectives of New Music, 44(2).
· [Tymoczko
2006] D. Tymoczko, « The Geometry of Musical Chords », Science 313,
p. 72-74.
· [Boi
et al. 2007] L. Boi, P. Kerszberg, F. Patras (éd.), Rediscovering
Phenomenology. Phenomenological Essays on Mathematical Beings, Physical
Reality, Perception and Consciusness, Springer.
· [Callender
et al. 2008] C. Callender, I. Quinn, D. Tymoczko, « Generalized
Voice-Leading Spaces », Science 320, p. 346-348.
· [Tymoczko
2010] D. Tymoczko, « Generalizing Musical Intervals », à paraître
dans Journal of Music Theory
La modélisation mathématique,
par exemple en musique, est basée sur des "structures algébriques"
déterminées en général par des lois de compositions binaires. Est-ce naturelle
? Est-ce simple ? En fait il est parfois mieux d'utiliser des lois de
compositions ternaires.
Il
arrive alors que les axiomes soient plus naturels, les calculs plus simples. En fait si ce que l'on
modélise est rythmé par 3, si les objets s'y disposent spontanément par 3,
alors présenter la situation par un système binaire reste artificiel. C'est comme
cette conception malheureuse de Jean Dieudonné qui rejetait les espaces affines
au profit des espaces vectoriels ; au prix de l'artifice de fixer une origine
dans l'espace, alors que celui-ci est pourtant sans origine. La réduction du 3
au 2 dépend de façon analogue de systèmes de choix artificiels d'origines.
C'est possible, cela permet un développement analytique plus élémentaire mais
parfois plus aveugle, mais il ne faut pas alors oublié ensuite d'analyser les
effets de ces choix, ce qui, en réalité relève d'une petite analyse
cohomologique (disons d'effets de torseurs). On gagne par exemple à examiner
comme ternaire la loi sur une cubique. Au passage on réexaminera l'idée d'objet
borroméen, et le groupe de Klein $G_{168}$ sera revue à l'aide d'une loi
ternaire. En fait je montrerai comment en général la représentation du ternaire
dans le binaire est possible, à travers notamment un théorème de Post un théorème de Gluskin-Hoszu, un théorème de Tamari-Ginsburg, et enfin un
théorème de représentation par semi-anneaux. Le résultat est donc, pour les
musiciens, qu'ils pourront dès lors commencer certains modèles au niveau de
leur naturel ternaire, pour ensuite seulement, si nécessaire pour l'analyse,
réduire automatiquement au binaire. Cette démarche peut sembler préférable à
celle où d'emblée le modélisateur essaie directement d'utiliser les outils
binaires connus à disposition, même si en fait ceux-ci ne s'adaptent que mal,
suivant des contorsions difficiles. et incontrôlées.
1. Du binaire au ternaire pour élargir l'espace
Suivant la Chromodynamique quantique, l'antinomie Noir –
Blanc peut s'ouvrir à une nouvelle dimension en passant à la couleur (RVB). On
peut donner à celle-ci un sens général qui concerne, non l'œuvre en elle-même,
mais le rapport à l'œuvre. Alors Vert dénote le devenir, l'évolution; Bleu : la
variance, la latéralité; Rouge : la fondation, le type, l'inscription
transverse. Ces nuances se lisent en mathématiques, sur les schémas et sur les
textes.
2. Du ternaire au binaire pour intégrer le mouvement
Comme l'ont noté Bailly & Longo, la science décrit des
transformations entre deux états supposés définis.Pour intégrer le mouvement
dans la pensée (Bergson), il est utile de passer à la tendance ou force. La
perception (sans sujet ni objet) se modélise par une spire = une boucle ouverte
sans extrémités définies. L'objet se définit alors comme l'invariant dans un
cône (selon la démarche de Kant).
3. Du binaire au ternaire pour poser
La perception (binaire) est une interface, une visée. Elle se
projette sur des objets se définissant (action modélisée par une boucle),
l'autre pôle de cette interface –l'expectative de la visée - est une valeur,
question ou grandeur, notions regroupées sous le terme pôle -archétype.
Ces pôles jouent différemment dans la négation et suivent un mouvement de
pulsation.
Ainsi se dessine un ternaire entre action, perception et
pôle, mais ce ternaire concerne trois ordres de choses différents et non plus
une transformation.
Dorothea Graumann, Baronne von Ertmann,
est une des pianistes les plus talentueuses au début du XIXème siècle. Elle
connut Beethoven au début de sa carrière, se passionna pour sa musique et,
selon les mots du compositeur, elle fut capable de l’interpréter comme «la
vraie tutrice des créatures de mon esprit» (cité par Walter Riezler, Beethoven).
Quand, en 1831, Felix Mendelssohn lui rendit visite à Milan, ils passèrent
plusieurs heures ensemble à évoquer la musique de Beethoven. Mendelssohn fut
frappé par la narration d’un épisode remontant à vingt ans auparavant. À la
suite du deuil infligé par la mort du plus jeune de ses fils, la Baronne avait
renoncé à la vie mondaine, et Beethoven lui-même, en craignant de la troubler,
avait évité de la voir. Il attendit le retour à la vie et à la musique de son amie,
et quand elle se rendit chez lui, il s’assit au piano et murmura une seule
phrase : «on va parler par la musique». Il joua durant plus d’une heure
et il lui laissa une impression inoubliable, une impression qu’elle expliqua à
Mendelssohn avec ces mots: «Il me dit tout, et enfin il me donna réconfort»
(l’épisode est relaté par Alexander Thayer, Life of Beethoven ).
L’idée que la musique instrumentale
puisse exprimer un langage universel, plus profond et précis que la parole, fut
élaborée par les philosophes et les musiciens pendant la première moitié du
XIXème siècle. En suivant Haydn et Mozart, Beethoven donna à la musique une
capacité expressive inconnue auparavant. Le sujet de l’indépendance de la
musique de par rapport à l’expression verbale, que Carl Dahlhaus a brillamment
défini «musique absolue», manifeste le changement profond de la notion
de musique au XIXème siècle par rapport à l’époque précédente. Cette notion est
devenue une part essentielle de notre culture sous le nom d’"esthétique
musicale romantique". Elle fut développée par des écrivains
romantiques allemands – Ludwig Tiek, Wilhelm Heinrich Wackenroder, E.T.A.
Hoffmann entre autres – et par des philosophes à l’âge romantique, notamment
par Schopenhauer et Hegel.
La
question qui se pose est celle de l’adjectif "romantique".
Hoffmann célébra comme "romantique" la musique des grands
maîtres du style classique, Haydn, Mozart et Beethoven. Hegel et Schopenhauer
proposèrent la notion de "musique absolue" en glorifiant
Rossini. Nous essayons d’aborder cette question en examinant les relations
entre philosophie, sciences et musique dans les premiers décennies du 19ème
siècle.
·
S’il est vrai que
l’intellectualité mathématique trouve son impulsion réflexive dans le geste
d’Évariste Galois (1833) décidant que les mathématiques doivent « sauter
à pieds joints par-dessus les calculs » pour mieux déployer la
puissance formelle de leurs concepts, s’il est vrai que depuis lors se dessine
une polarisation du champ mathématique entre d’un côté ce qu’Alain Connes
appelle « mathématiques fondamentales » et de l’autre ce que
le (néo)positivisme appelle « mathématiques pour la modélisation »,
comment tout ceci concerne-t-il cette intellectualité musicale mamuphi
qui se soucie des raisonances musique-mathématiques ?
·
S’il est vrai que les rapports
musique-mathématiques ne sauraient être entièrement réfléchis de l’intérieur de
la musique ni de l’intérieur des mathématiques - l’autonomie de pensée de la
mathématique n’est pas intelligible de l’intérieur de la musique, et vice versa
-, s’il est vrai qu’il faut donc convoquer la philosophie pour s’orienter dans
ces rapports, comment la réactivation actuelle du structuralisme conçu comme
mouvement philosophique déployé contre le positivisme (et non comme
épistémologie des sciences humaines) peut-elle éclairer les débats mamuphi
en cours ?
·
S’il est vrai que l’entreprise
structuraliste constitue une nouvelle donne en matière de théoricité, où
s’affrontent deux modes de théorisation – d’un côté des pratiques théoriques,
conjoncturellement situées et subjectivement orientées comme interventions
stratégiques s’épuisant dans leurs effets ; de l’autre des théories
objectivement applicables, outils venant se déposer et s’ajouter à
l’encyclopédie des savoirs -, de quelle manière cette ligne de partage
éclaire-t-elle les différentes manières de théoriser la musique à la lumière
des mathématiques et à l’ombre de la philosophie ?
Sur la base de
réponses à ces trois questionnements, on essaiera de clarifier ce qu’il en est
de possibles connivences entre intellectualités mathématiques attachées aux
« mathématiques fondamentales » (tout particulièrement celle de
Grothendieck) et intellectualités musicales attachées à des pratiques
théoriques mathématiquement éclairées et s’inscrivant ainsi dans la droite
ligne de cette déclaration, contemporaine de la fondation ramiste de
l’intellectualité musicale : « Ce n'est que par le secours des
Mathématiques que mes idées se sont débrouillées. » (Rameau).
On exposera à ce
titre un programme de travail visant à éclairer le monde de la musique par les
concepts mathématiques de faisceaux et de topos (Grothendieck / Lawvere). On
l’initiera en formalisant mathématiquement l’idée suivante : une œuvre
musicale est un faisceau d’interprétations, le faisceau des interprétations
d’une partition donnée. Ceci ouvrira à une formalisation possible du monde de
la musique comme topos d’œuvres.
[36] Les productions
des langues naturelles se présentent comme des concaténations d'éléments. On
peut traduire mathématiquement la concaténation par la loi de composition d'un
monoïde.
Mais toute suite de mots ne constitue
pas une phrase ; il faut une structure syntaxique. De telles structures
constituent les morphismes d'une catégorie monoïdale.
Les théories
interprétatives, comme la phonologie ou la sémantique introduisent des filtres
additionnels, qu'il paraît convenable de prendre en compte au moyen d'une
topologie convenable. Une théorie interprétative est alors représentée par un
faisceau sur un site convenable.
[37] Nous demanderons à un article devenu célèbre de M.Kac (Can
one hear the shape of a drum?) de nous servir de prétexte pour une promenade
à travers des phénomènes et des questions
mathématiques et physiques qui sont parmi celles qui ont marqué le
vingtième siècle.
Sans forcer le pas ni le
trait, on peut rencontrer ainsi entre autres les systèmes dynamiques sous la
forme des billards et des flots géodésiques, partant la distinction cruciale
entre elliptique et hyperbolique, la quantification et la correspondance entre
flots géodésiques et analyse harmonique, la question de départ qui est celle de
l'isospectralité possible - et de fait réalisée - entre des variétés
riemanniennes, la formule des traces de Selberg qui réalise en quelque sorte la
correspondance entre les théories classique et quantique dans les cas
favorables, l'hypothèse de Riemann, la question du `chaos quantique' qui reste passablement mystérieuse, l'importance des
orbites périodiques dans ce contexte, comme aussi l'énigme du rayonnement du corps noir qui est
à la source de l'introduction (toujours mystérieuse elle aussi) de la quantification, etc.
Ajoutons tout de même qu'il
s'agit bien aussi d'écouter une certaine musique, comme le marquent et la
question de départ et la biennommée analyse harmonique.
Ce qui précède est presque
à dessein décousu sinon incompréhensible. Car s'il ne sera pas directement
question de philosophie, il s'agit pourtant d'illustrer sur le terrain un point
aussi important que simple, à savoir que les mathématiciens se promènent au
jour le jour dans une forêt de phénomènes lentement mis au jour, et qui
rappellent fortement ceux que la physique s'efforce (en principe, car ce n'est
plus toujours aujourd'hui si évident) de démêler. Et pour cause, puisque ce
sont parfois les mêmes - et parfois non.
Ces phénomènes sont
`simples' par leur universalité même et s'ils illustrent amplement la fameuse
phrase de Galilée sur la nature écrite en langage mathématique, celle-ci se
laisse aussi bien lire à l'envers, comme une naturalisation des mathématiques,
ce qu'explorent quelquefois aussi les sciences cognitives (sans qu'il soit forcement besoin de trouver là un
`nouveau paradigme').
On pourra en dernière
instance poser alors quelques questions, comme celle de tenir ensemble
`philosophiquement' cette résistance de
l'objet mathématique souvent très incomplètement exploré, souvent presque
inaccessible, et la construction de ce que les mathématiciens appellent `les
grandes machines', qui abordent d'autre manière le même réel mathématique (car
chacun sait que les mathématiciens sont `naïvement' platoniciens, i.e. d'une
naïveté que la pratique s'est chargée de leur enseigner).
[38] En guise de
commentaire sur les systèmes évolutifs à mémoire d'Ehresmann-Vanbremeersch
(dont nous rappellerons ce qui nous sera utile), nous voulons proposer une
manière catégoricienne de modéliser mathématiquement l'émergence d'objets radicalement
nouveaux.
Ce que nous proposons est un mécanisme de mise en scène de
l'émergence basé sur la construction de différentielles abstraites dont la
non-trivialité sur un objet exprime que cet objet est différent de sa
constitution, qu'il est nouveau par rapport à ses composants, ou, pour dire la
chose de façon plus contractée et souligner le paradoxal de l'enjeu, qu'il
diffère de lui-même.
Cet
outil nous paraît utile pour aborder la question du sens d'un discours
considéré comme émergent du discours (et non pas comme simplement un composé
grammatical de significations élémentaires) ou aussi bien pour présenter
d'autres enjeux d'émergence, en musique par exemple.
[39] Intuitivement, une
fonction f:R→R est continue en un point a lorsqu'une variation
infinitésimale de x au voisinage de a provoque une variation
infinitésimale de f(x) au voisinage de f(a).
L'approche que F.W. Lawvere et A.
Kock ont donnée de la notion d'infiniment petit est la suivante.
Si x est petit, x2 est
encore plus petit. Si x est très, très petit, x2 devient
vraiment minuscule. Appelons donc "infiniment petit" un nombre x
tel que x2=0.
L'idée provient de la "théorie des
jets" due à Ehresmann.
Considérons toutes les fonctions
passant par un point du plan, que rien ne nous empêche de prendre comme
origine: donc f(0)=0.
Avoir la même tangente à l'origine est
une relation d'équivalence: une classe d'équivalence s'appelle un
"jet". Le propre d'un tel jet est que si on l'élève au
carré, on trouve le jet nul (la classe d'une fonction à tangente
horizontale).
Divers auteurs ont prouvé qu'en
travaillant dans des topos ad hoc, on peut construire des anneaux R
admettant des éléments de carré nul, que l'on peut penser comme étant les
infiniment petits et grâce auxquels on peut développer la géométrie
différentielle.
Et de bons
théorèmes de plongement prouvent que tout théorème démontré grâce à cette
approche intuitive des infiniment petits est un théorème valide en
géométrie différentielle classique.
[40] Nous soutiendrons ceci : la modélisation mathématique
qualitative n’a pas à choisir entre l'approche logicienne et l'approche
géométrique, puisqu'au point de vue diagrammatique ces méthodes s'identifient
l'une à l'autre. Nous rapprocherons précisément la démarche « logicienne »
par spécification de formules modales, et
la démarche « homologicienne », par spécification de
conditions sur la courbure ou l’homologie. Cela sera exposé de deux façons
liées, d'abord en termes de conditions différentielles générales et puis en
termes d’homologie générale.
La première partie
reprendra l'unification par le calcul des assimilations qui permet de
comprendre l’écriture de conditions différentielles générales, incluant
les conditions de modalités spéculatives et les conditions de courbure.
Question du réglage direct de comment les discours changent, de comment les
figures changent.
La deuxième partie
affirmera encore que d’un point de vue suffisamment éloigné la logique comme
question des quantifications et modalités discursives et la cohomologie comme théorie
du calcul qualitatif de la courbure et des déformations, se rejoignent ;
et cette fois pour le voir il sera fourni une définition générale du concept
d'homologie dont dérive aussi bien les techniques de logique intuitionniste
que les techniques d'algèbre homologique abélienne classique. On est alors dans
une problématique plus vaste que dans la première partie, puisqu'il s'agit non
plus d'un simple réglage du changement, mais de l'analyse de la forme même des
changements, des changements de changements, etc.
Références :
1) Images et
modalités, Résumé d'une conférence au SIC à Amiens, le samedi 10 novembre
2001, 2 p.
2) Calcul d’assimilations, modalités
et analyse d’images, in Calculs et formes, Ellipses, 2003 (Actes du
Colloque « Mathématiques : calculs et formes », Université
Toulouse Le Mirail, septembre 2000), 175-189.
3) An anabelian
definition of abelian homology, CTGDC XXXXVIII, 4,
2007, 261-269.
[41] Mon
intervention sera centrée autour des implications de la formalisation
mathématique dans deux démarches de compositeurs de la seconde moitié du XXe
siècle : Milton Babbitt (1916) et Iannis Xenakis (1922-2001). Le terme
d’« implication » sera ici entendu selon les deux sens qui lui sont
généralement attribués. Il s’agira en effet, à partir d’exemples précis, de
cerner les modalités « opératoires » de la formalisation chez ces
deux compositeurs, la manière avec elle est, donc, impliquée dans les
processus compositionnels. Dans un second temps, on s’interrogera sur les implications,
dans le sens logique cette fois-ci, que nos observations pourrait avoir sur
l’interprétation analytique des œuvres concernées, et sur celle des démarches
plus générales de ces compositeurs.
[42] La notion
d’échelle temporelle est fondamentale en musique, depuis le timbre jusqu’à la
forme, en passant par la note et le rythme. La composition musicale utilise ces
différentes échelles, les mélange (parfois) et utilise ce matériau avec une
logique propre, et des contraintes spécifiques.
On
se demandera si une telle problématique est relevante en mathématiques et si
elle peut produire des zones de « friction’ » avec la musique.
En
partant de quelques exemples où des objets mathématiques émergent à partir de
structures à très petite échelle, ou, inversement, certaines échelles
sont gommées afin d’exhiber des structures intéressantes, on essaiera de noter
quelques ressemblances/différences avec l’utilisation multi-échelle du temps
dans l’activité musicale.
[43] On commencera
par une présentation des idées fondamentales de linéarisation et de
représentation en mathématique, avant d'esquisser la théorie des
représentations linéaires des groupes, initiée (dans le cas des groupes finis)
par Frobenius à la fin du XIXème siècle. Un acteur majeur fut H. Weyl qui,
en liaison avec ses travaux sur les fondements de la mécanique quantique, fit
la jonction inattendue avec l'analyse harmonique de Fourier et créa l'analyse
harmonique non-commutative.
Le rêve de Burnside de mettre à profit l'impressionnante
effectivité de la théorie des représentations linéaires pour classifier tous
les groupes finis simples s'est finalement réalisé au bout d'un siècle.
Entre-temps, cette théorie avait permis à Killing et Cartan de classifier tous
les groupes infinis "continus" simples. Nous terminerons en
expliquant comment le problème général de classification des représentations
linéaires mène à une trichotomie (fini, modéré, sauvage),
et comment l'indécidabilité surgit au cœur de situations extrêmement concrètes
et apparemment élémentaires.
Références:
J. P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis,
Hermann.
G. Mackey, The Scope and History of commutative and
noncommutative Harmonic Analysis, History of Mathematics, vol. 5, AMS/LMS.
L'acception la
plus courante du terme "singularité" en mathématique est celle qui
s'oppose à "lissité": il s'agit du lieu - grain, pli, fronce,
etc.. - où le principe général de linéarisation tombe en défaut.
Au cours d'une
présentation phénoménologique des singularités et bifurcations (comment elles
apparaissent, se déploient, disparaissent - en laissant des traces...), nous
nous attacherons à illustrer deux "thèses" qui se dégagent de la
théorie foisonnante des singularités:
1) un peu à
la manière de Platon dans le Timée, cette théorie jette un pont
(très subtil) entre le monde continu et le monde discret;
2) comme disait
P. Montel (en exagérant volontairement), "les fonctions sont, comme les
êtres vivants, caractérisées par leurs singularités".
Bibliographie :
-
V. Arnold: Catastrophe theory,
Springer
-
(images) pages web d'Innsbruck
(H. Hauser et al.):
http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html
http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/animationenvonflaechen/start.html
À partir d'un rappel
historique sur l'émergence des structures algébriques en musique et musicologie
du XXe siècle, on essayera de montrer comment certains problèmes posés par la
théorie de la musique, l'analyse et la composition soulèvent des questions mathématiques
susceptibles d'intéresser à la fois l'historien des mathématiques et le 'working
mathematician'. En particulier on s'attardera sur l'étude des quelques
correspondances entre des problèmes musicaux sur lesquels nous avons travaillé
(autour par exemple de la construction de canons rythmiques ou de pavages) et
des conjectures mathématiques (Minkowski, Steinhaus, Keller, Fuglede).
On essayera ainsi de
montrer comment la musique peut parfois alimenter l'activité mathématique et on
donnera quelques éléments pour édifier une typologie 'mathémusicale' que nous
espérons pouvoir compléter et améliorer tout au long de ce séminaire.
`
On
rappellera d’abord brièvement différentes manières de rapporter les
mathématiques à la musique : on distinguera pour ce faire trois genres,
sept espèces et dix sous-espèces.
Parmi ces dernières, on exhaussera la fiction,
ou logique du « comme si » : la pensée mathématique y
dispense en effet un éclairage rasant (et non pas frontal, comme dans les
théories mathématiques de la musique) susceptible de faire ressortir, dans un
domaine bien choisi, des aspérités et singularités musicales inaperçues par le
regard musicien artisanal.
On
soutiendra ensuite que, par-delà les rapports précédents, musique et
mathématiques entretiennent une affinité élective, et ce pour
deux raisons :
• D’abord elles partagent un même souci
logique, qu’elles déploient en deux problématiques orthogonales. On
comparera à ce titre le rôle joué par la démonstration dans la pensée
mathématique à celui joué par le développement dans la pensée musicale.
• Ensuite, musique et
mathématiques sont deux pensées « à la lettre »,
intérieurement normées par leur propre dispositif d’écriture, ce qui constitue
une singularité absolue parmi les différents types de pensée.
On
esquissera alors le programme d’un penser l’écriture musicale à la lumière
de l’écriture mathématique.
On fera à ce titre l’hypothèse d’un double
chiasme entre ces deux types
d’écriture :
• l’écriture mathématique utilise une
même lettre pour différentes opérations là où l’écriture musicale
utilise différentes lettres pour une même opération (d’où une
redondance singulière que Rousseau proposera d’amender en arithmétisant le
solfège…) ;
• la mathématique utilise différentes
inscriptions pour une même chose là où la musique utilise la même
inscription pour plusieurs choses (d’où les problématiques, proprement
musicales, de transposition, d’arrangement et de transcription…).
Ainsi les lignes de partage lettre claire
/ lettre obscure s’avèreraient duales entre musique et
mathématiques…
S’il
est vrai que tout ceci met en œuvre une dialectique du sensible et
l’intelligible, on conclura sur l’intérêt d’associer la philosophie
aux rapports musique-mathématiques en sorte de réactiver le vieux nœud grec à
trois, quand les raisonances musicales accompagnaient la naissance
tant de la philosophie (Parménide) que de la mathématique comme raison
et plus simplement comme calcul (invention de la démonstration via la
création du raisonnement par l’absurde).
On rappellera qu’une
certaine mathématique joue un rôle nécessaire dans l’intellectualité musicale.
On distinguera à ce titre deux affinités électives (partages d’écriture et de
souci logique) et une raisonance privilégiée (le musicien est à l’école
de la mathématique en matière de théorisation) parmi les différentes manières
musiciennes de se mettre à l’écoute de la mathématique.
On interrogera alors la
situation singulière où le musicien est confronté à des théories mathématiques de
la musique : comment évaluer musicalement de telles théories, en
particulier ces théories mathématiques qui formalisent des théories musiciennes
« naïves » ?
Même si, contrairement au
désir proprement mathématicien, il faut prendre acte que théories musiciennes
et mathématiques ne commutent pas, on soutiendra qu’une théorie mathématique de
la musique peut stimuler le musicien, entre autres par des extensions
humoristiques et des intensions ironiques.
On examinera sous tous ces
angles la théorie mathématique de G. Mazzola — The Topos of Music
—, tout spécialement ses théorisations du contrepoint, de la modulation et du
geste.
On conclura sur l’intérêt
spécifique pour le musicien pensif d’une singulière figure subjective de
mathématicien (à la suite d’H. Poincaré et H. Weyl…) qu’on proposera de nommer intellectualité
mathématique.
Il est vrai que le but du
travail des mathématiciens est de démontrer des théorèmes. Mais pour y arriver,
le mathématicien doit parcourir un chemin dans un paysage d’idées et de procès
qui relèvent du domaine de l’improvisation musicale plutôt que du mécanisme de
la logique classique. La fameuse parabole de Grothendieck dans « Récoltes
et Semailles » en témoigne.
Symétriquement, faire ou
composer de la musique est loin d’être un jeu esthétique mais relève d’une
logique complexe. Le point crucial d’une telle logique est que le concept de
vérité se réfère à ce qui est le cas. Or, ce qui est le cas en musique pointe
vers un jeu dialectique d’opérateurs logiques. Loin de la situation classique,
la logique musicale est liée à celle des topoi.
La thèse de notre
intervention sera que le procès créatif mathématicien, dans la mesure où il
s’avère de nature musicale, est un procès de nature logique, précisément parce
que la musique se fait dans une ambiance de logique toposique. Nous
conjecturerons que, sous cette perspective, la démonstration de la vérité d’un
énoncé peut être comprise comme passage à la limite, en partant d’une série de
logiques toposiques et convergeant dans la logique classique.
La question du sens d'un
discours n'est pas si différente de celle du sens d'une interprétation de
musique. Pour entendre cela, expliquerons-nous, il faut y entendre le rôle de
la vérité. Nous traiterons du sens des discours en termes de postures,
différences et bougés, trois points en effet de nature musicale. Pour chaque
point on verra comment une mise en œuvre mathématique de son principe est
possible. Et puis on verra comment en
fait, au plan mathématique, dans la perspective de la théorie des catégories,
les trois points sont intimement reliés.
On se propose dans cet exposé de présenter
diverses situations, issues du formalisme quantique et de l’expérience
musicale, qui semblent relever de problématiques communes.
En particulier seront discutés, sans
toutefois les théoriser, le formalisme mathématique et la notation
musicale, le rôle de l’aléatoire dans les œuvres ouvertes et la mesure
quantique, le phénomène temporel, et une brève allusion à la reproduction de
l’œuvre musicale interprétée, en regard avec les idées de concept et énoncé en
mathématiques.