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À la lumière des mathématiques et à l'ombre de la philosophie

Dix ans de séminaires Mamuphi

Sous la direction de Moreno Andreatta, François Nicolas, Charles Alunni

mamuphi : le nom d'un lieu singulier où mathématiques, musique et philosophie viennent se frotter, s'entrechoquer, se pincer, se faire résonner comme si chacune de ces disciplines devenait ici un instrument susceptible d'être frotté, frappé, pincé ou soufflé par les deux autres.

Ce lieu, suscité à l'Ircam en 1999 par des mathématiciens soucieux de « logique musicale », progressivement stabilisé et diversifié autour d'un séminaire qui se tient depuis dix ans à l'École normale supérieure (Ulm, Paris), voit collaborer musiciens et musicologues, mathématiciens et philosophes.

Ce livre voudrait présenter un bouquet significatif des voix qui viennent s'y exposer. Autant de réflexions foisonnantes plutôt que convergentes : chacun y parle en son nom propre de son travail le plus exigeant pour l'adresser à des gens d'une toute autre discipline. Certains usent de la métaphore pour mieux se faire comprendre, d'autres de l'analogie ou de la fiction ; certains théorisent, d'autres conjecturent ; quelques-uns laissent plutôt à leur auditoire le soin de décider ce qui de leur propos pourra ou non raisonner ailleurs.
Il ne s'agit pas ici à proprement parler de synthèse, ou d'application, moins encore de mélanger les formes de pensée. Il s'agit de rapprocher pour stimuler, de confronter pour distinguer, d'éprouver au plus près l'écart irréductible qui relie en séparant mathématiques, musique et philosophie.

Au total, un lieu de pensée dont le seul équivalent ne s'est peut-être jamais trouvé en France que dans « la saine émulation » qui y prévalut au siècle des Lumières.

Textes de Charles Alunni, Emmanuel Amiot, Yves André, Moreno Andreatta, Jean Bénabou, Francis Borceux, Andrea Cavazzini, Nancy Diguerher, Stéphane Dugowson, René Guitart, Xavier Hascher, Yves Hellegouarch, Franck Jedrzejewski, Julien Junod, Ralf Krömer, Pierre Lochak, Guerino Mazzola, François Nicolas, Joomi Park, Thierry Paul.

Éditions Delatour France / Ircam-Centre Pompidou

Avec la participation de l'Ircam et de l'École normale supérieure et le soutien du CNRS et de la SFAM.

Année d'édition : 2012

Prix : 28 €

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De sept moments « mamuphiques » dans l’histoire de la pensée

(Séminaire mamuphi, 13 octobre 2012)

François Nicolas (Ens-Cirphles)

Peut-on déduire du nom propre mamuphi (désignant une initiative singulière engagée à Paris en 1999, dont un séminaire éditant les actes de ses dix premières années d’existence) un adjectif apte à qualifier d’autres moments équivalents dans l’histoire de la pensée ?

« Théorisons » pour cela les principales caractéristiques de notre moment mamuphi actuel.

Ce moment procède de la conjonction inattendue de trois circonstances indépendantes :

—      en mathématique, le développement de la géométrie algébrique (Grothendieck…) et de la théorie des catégories (pour la France, Ehresmann…) ;

—      la relance d’une philosophie française du concept attachée à la pensée des sciences (dont la généalogie va de Brunschvicg à Badiou en passant par Bachelard, Cavaillès et Lautman, ainsi que – en un certain sens - Althusser et Desanti) ;

—      en musique, la nécessité compositionnelle d’échapper, en une époque nihiliste du « post » (post-sérialisme, post-spectralisme, post-modernisme…), à la dualité obscurantiste d’un néo-romantisme (lyrisme néo-tonal…) et d’un néo-positivisme (technique informatique…).

Dans ce contexte, mamuphi a noué des rapports entre mathématiques, musique et philosophie sous le signe de la logique pour se demander : comment, dans la situation de pensée caractérisée ci-dessus, les logiques respectivement mathématique, musicale et philosophique entrent-elles ou non en raisonance ?

Pour cela mamuphi a pu tirer parti d’une quatrième circonstance : une transformation interne à la logique mathématisée (voir les travaux de Girard) qui a remis sur ses pieds le rapport mathématique/logique, en fondant désormais la logique sur les avancées mathématiques les plus contemporaines, abandonnant ainsi la prétention logiciste de fonder (puis réduire) la rationalité mathématique sur la logique.

On propose alors de qualifier de mamuphique des moments où d’une part mathématiques, musique et philosophie connaissent séparément de significatives transformations internes, et où, d’autre part, ces trois transformations entrent temporairement en raisonances réciproques, se confrontant et se fécondant les unes les autres.

On propose alors de discerner au moins sept moments mamuphiques de ce type ; successivement :

1.      un moment grec originaire (VI° av. J.-C.),

2.      un moment du quadrivium qu’on dira celui de Boèce (VI° ap. J.-C.),

3.      un moment arabe (Bagdad, IX°-XI°) qu’on dira celui d’Al-Khayyâmi (XI°),

4.      un moment Descartes (XVII°),

5.      un moment des Lumières (XVIII°) qu’on dira celui de Rameau,

6.      un moment « Music Theory » (aux États-Unis, après 1950),

7.      et notre moment mamuphi en cours (à Paris, à partir de 1999).

A contrario, on ne semble pas pouvoir déceler de tels moments, ni durant l’histoire de Rome, ni pendant le Moyen Âge européen (spécialement à partir de la scolastique : XIII°…) ou la Renaissance (XVI°), ni au cours du XIX° (partagé entre romantisme et positivisme), ni même dans la plupart du XX° (et ce malgré l’important constructivisme de ce siècle et, après-guerre, le structuralisme).

On entreprendra de caractériser spécifiquement chacun des six moments mamuphiques qui nous ont précédés : que s’est-il passé, dans chaque cas, en mathématiques, en musique, en philosophie puis dans leurs rapports ?

On débouchera sur un examen de notre futur possible : comment poursuivre notre moment mamuphi ?

On proposera, pour ce faire, de compléter nos activités de théorisation (théoriser la musique à la lumière de la mathématique et à l’ombre de la philosophie) d’une perspective légèrement déplacée : examiner comment les différents « faire » (faire des mathématiques, de la musique, de la philosophie) peuvent résonner directement entre leurs acteurs respectifs (plutôt qu’entre les disciplines) en une sorte de fraternité d’intellectualité entre working mathématicians, musicians and philosophers.

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Composed 1964–65, Antagonisme I sits at the start of Xavier Darasse’s compositional career and between Alain Badiou’s first novelistic and philosophical texts. Drawing on letters, drafts and manuscript scores, this seminar attempts to untangle these various projects and understand the literary, philosophical and musical stakes of the project. Through a blow-by-blow account of the work’s composition it becomes evident that Antagonisme I marks a shift in both collaborators’ understanding of composition from the deployment of musical languages to engagement in a musical process. Speaking more broadly, the seminar will ask whether Antagonisme I can help to clarify the vague concept of “influence” employed in musicological writing when attempting to link the works of philosophers and musicians.

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La « théorie de la n-opposition » (2004), qui généralise les notions d’« hexagone logique » (1950) et de « tétrahexaèdre logique » (1968) – eux-mêmes généralisant la notion traditionnelle de « carré logique » ou « carré des oppositions » (2ème siècle) – est-elle, comme le prétendent certains, une « géométrie oppositionnelle », à savoir l’embryon d’une nouvelle branche des mathématiques (les mathématiques de l’objet théorique « opposition ») ? Dans cet exposé nous suggérons de répondre à cela par l’affirmative en nous basant sur un résultat nouveau que nous allons exposer et qui est qu’il est possible de mettre à jour, pour les structures oppositionnelles de ladite géométrie, des opérations de « somme » et de « produit ». Nous allons plus précisément présenter et expliquer ces opérations sur les hexagones logiques, première étape vers l’établissement futur en bonne et due forme d’une somme et d’un produit oppositionnels, résultat ouvrant à son tour à une reformulation de la géométrie oppositionnelle dans les termes mathématiquement généraux de la « théorie des catégories ».

Présentation plus détaillée

L’hexagone logique est connu depuis 1950 comme étant une structure mathématique étrange mais puissante, qui contient en plusieurs exemplaires symétriques le mystérieux « carré logique ». Depuis 2004 une théorie formelle renouvelée de l’opposition fournit un algorithme général tel que le carré et l’hexagone logiques ne sont que deux cas particuliers (pour n=2 et n=3) d’une « théorie de la n-opposition ». Suite à la mise à jour de plusieurs autres résultats (comme les notions de « clôture » et de « générateur » oppositionnels) l’idée semble se faire jour qu’une telle théorie pourrait en fait n’être rien moins qu’une nouvelle jeune branche des mathématiques : la notion d’« opposition » pourrait dès lors être mise sur le même plan prestigieux que les notions, déjà mathématisées avec succès, de « nœud », « graphe », « catégorie », etc. Les conséquences philosophiques et épistémologiques de cela semblent être considérables : d’une part une telle notion d’opposition est un concept bien plus puissant et naturel que celui logico-mathématique de « négation » (qu’il inclut comme un cas particulier) ; d’autre part cela pourrait sonner le glas de la « philosophie analytique », dans sa prétention hégémonique comme base des formalisations des sciences humaines, et signaler la « résurrection » (au sens technique que Badiou donne à ce terme spirituel) du paradigme transdisciplinaire « structuraliste » (celui qui va de Saussure à Greimas). Toutefois, ce qui manque à ce jour pour que l’on puisse parler de manière convaincante d’émergence d’une nouvelle branche des mathématiques c’est un analogue, pour les structures oppositionnelles, des notions de « somme » et de « produit », qui sont transversales à toutes les mathématiques connues. Les obtenir pour des structures oppositionnelles ouvrirait enfin la voie à l’expression de la géométrie oppositionnelle dans la lingua franca mathématique de la « théorie des catégories » (la théorie qui a pris la place fondationnelle de la « théorie des ensembles »). Dans cet exposé nous proposons une première série de résultats formels qui montrent que de telles opérations de somme et de produit existent bel et bien pour les hexagones logiques pris comme opérandes. Nous allons essayer d’expliquer le sens spécifique que ces opérations prennent dans le domaine oppositionnel, ainsi que ce que l’on peut pour l’heure imaginer de leur probable généralisation future.

[5] Dans un système cognitif, le développement d'une mémoire robuste mais flexible repose sur la formation de combinaisons d'objets ou processus plus ou moins complexes. Cette situation est étudiée dans le cadre des "Système Evolutifs à Mémoire", un modèle, basé sur la théorie des catégories, pour des systèmes complexes auto-organisés multi-niveaux et multi-agents, en particulier des systèmes neuro-cognitifs ou sociaux. Les 'combinaisons' sont alors traduites en termes de limites inductives ou projectives. Nous montrerons que les limites projectives jouent un rôle essentiel dans le fonctionnement de la mémoire procédurale, et aussi dans la formation d'une mémoire sémantique où les objets sont classifiés en classes d'invariance. 

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Cette intervention en duo portera sur les rapports entre des outils conceptuels issus des structures d'ordre en mathématiques et des paradigmes émergents en informatique. On évoquera les deux origines indépendantes de l’analyse formelle des concepts, l’une autour de Rudolf Wille et son « école de Darmstadt » et l’autre centrée sur les travaux du CAMS (le Centre d’Analyse et de Mathématique Sociales) de l’EHESS de Paris. Après avoir introduit quelques outils préliminaires issus des structures d’ordre (opérateurs de dérivation, correspondance de Galois, échelle de Guttman, base de Duquenne-Guigues, …) on donnera les premiers exemples d’application de la CFA au problème de la classification paradigmatique des structures musicales (i.e. une classification où les classes sont des orbites par rapport à l’action d’un groupe sur un espace). 

Si l'analyse des concepts formels se fonde sur la structure de treillis, celle-ci peut s'interpréter comme une structure topologique combinatoire. Les travaux dans ce domaine se rapprochent alors de la Q-analyse introduite par R. Atkin dans les années 70 dans une tentative d’analyse des relations binaires dans les sciences sociales. Nous introduirons les notions de base de la Q-analyse à travers quelques exemples puis nous montrerons comment ces idées peuvent se généraliser et être mise en œuvre de manière calculatoire grâce à la programmation spatiale. La programmation spatiale vise à expliciter les structures topologiques dans la programmation et nous présenterons deux exemples d'utilisations de ces outils pour modéliser les structures narratives et l’analogie aristotélicienne. Ces travaux se retrouvent dans les tentatives récentes d'associer de nouveaux objets topologiques à des processus musicaux.

On conclura en ouvrant quelques perspectives philosophiques sur les rapports entre mathématique, musique et informatique à partir des problématiques posées par l’application de l’analyse formelle des concepts et la Q-analyse à l’informatique musicale.

Références :

- Sur l’analyse formelle des concepts : http://repmus.ircam.fr/moreno/afcm

- Sur la Q-analyse : http://repmus.ircam.fr/giavitto/q-analyse

- Sur la programmation spatiale : http://repmus.ircam.fr/giavitto/q-analyse#programmat

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Comment l’invention de l’algèbre redistribue ce que calculer, théoriser et démontrer veulent dire…

(mamuphi, 23 mars 2013)

François Nicolas

Le Bagdad arabe et musulman du Haut Moyen-Âge (à partir du IX° siècle) invente une technique de calcul (par « réduction » et « comparaison ») qui, sous le nouveau nom d’algèbre (réduction = « al-jabr »), s’avère constituer un calcul de type nouveau : « une arithmétique de l’inconnu ».

Comment cette nouvelle discipline va affecter une mathématique antiquement partagée entre arithmétique des nombres et géométrie des figures ? Comment l’algèbre, émergeant comme greffe latérale des mathématiques (telle notre informatique contemporaine), va-t-elle se déployer en une nouvelle discipline mathématique à part entière ? Ajouter ainsi une troisième discipline à la diversité mathématique existante impliquait d’établir l’autonomie relative de l’algèbre tout en assurant son unification à l’arborescence mathématique. Cette vaste entreprise va nécessiter un remaniement d’ensemble de ce que calculer, théoriser et démontrer voulaient alors mathématiquement dire.

L’enjeu de cet exposé sera de présenter cette émergence et cette recomposition mathématiques, leurs conditions de possibilité et leurs effets idéologico-philosophiques. Où l’on découvrira que cette épopée mathématique (IX°-XII°… siècles) n’est pas, mille ans plus tard, exempte de raisonances en matière d’intellectualité musicale contemporaine.

*

I. Calculer, théoriser, démontrer ?

·       L’audace fondatrice d’Al-Khawârizmî (825) est de renverser l’ordre ancestral des raisons (qui circulait naturellement du connu vers l’inconnu) pour calculer désormais en partant de l’inconnu. L’idée directrice va être de calculer sur le réseau des relations connaissables (« équation ») qui enserrent l’inconnu en question ; le calcul mathématique s’en trouve engagé sur une nouvelle voie, circulant désormais de l’obscur vers la clarté (et non plus par extension prudente d’une zone clairement balisée) par opérations réglées sur des signifiants opaques (la « chose » inconnue - chay’ - et ses acolytes également inconnus configurant « un calcul de la poussière ») qui deviendront ultérieurement (XVI° siècle) le calcul sur la lettre aveugle x. Il s’agira ici de prendre mesure du courage de pensée qu’a impliqué cette décision : sauter à pieds joints dans l’obscurité pour mieux y tresser les enchaînements d’une nouvelle raison calculatrice.

·       De quelle manière ce calcul d’un type nouveau autorise-t-il de nouvelles manières de théoriser mathématiquement ? On associera cette extension au nom d’Al-Khayyâmî (1048-1131). Si l’invention de l’algèbre vise initialement à théoriser mathématiquement des problèmes non mathématiques du monde (problèmes d’arpentage, d’astronomie, de fiscalité, etc.), l’algèbre va devoir ensuite recourir à la géométrie pour solutionner ceux des nouveaux problèmes algébriques qui s’avèrent alors algébriquement insolubles. Il s’agira ici de prendre mesure de la nouvelle stratification ainsi engagée (algèbre géométrisée) où la géométrie vient seconder théoriquement une algèbre embourbée dans sa formalisation de problèmes non mathématiques.

·       Enfin, on examinera les transformations de la notion même de preuve mathématique auxquelles cette invention va donner lieu : les résultats algébriquement produits sont-ils en effet mathématiquement démontrables et pas seulement empiriquement vérifiables ? La nouvelle rationalité algébrique, qui fait ses preuves en matière de calcul (fidélité créatrice à l’arithmétique et à ses opérations), saura-t-elle également faire ses preuves en matière de démonstration (fidélité créatrice cette fois à la géométrie et à son axiomatique déductive) ? D’où deux voies, l’une produisant des démonstrations hybrides, circulant librement entre arithmétique, géométrie et algèbre (Al-Karajî, 953-1029), l’autre s’attachant à inventer des démonstrations proprement algébriques (Al-Samaw’al, 1130-1175). On rehaussera en particulier le défi que constitue la première voie en remarquant qu’il brave l’antique interdit dressé par Aristote dans les Seconds analytiques : « On ne peut prouver une proposition géométrique par l’arithmétique ! ».

II. Raisonances mamuphiques ?

S’agissant d’un séminaire s’intéressant aux raisonances entre pensées mathématiques, musicales et philosophiques, on se demandera d’abord à quelles conditions tout ceci a-t-il été rendu possible : conditions linguistiques, idéologiques, politiques, etc.

On se demandera ensuite ce que cette glorieuse épopée peut nous aider à réfléchir en matière de musique.

·       Calculer sur l’inconnu en l’enserrant dans un réseau connaissable de relations, n’est-ce pas là une ressource essentielle  de tout travail précompositionnel ?

·       Géométriser l’algèbrisation d’un modèle non mathématique, n’est-ce pas en partie analogue à mathématiser la théorisation (musicologique ou musicienne) d’un modèle musical (même si, bien sûr, la première disposition opère au sein de mathématiques intérieurement unifiées quand la seconde circule entre disciplines - mathématique et musicale - essentiellement hétérogènes) ?

·       Prouver mathématiquement en faisant feu de tout bois sans crainte de mettre à mal l’antique impératif aristotélicien en matière de démonstration mathématique n’équivaut-il pas à développer musicalement sans crainte de mettre à mal les traditionnels interdits néopositivistes en matière de déduction musicale ?

·       Plus largement, si l’émergence d’une nouvelle figure de la raison (ici algébrique) au sein d’un monde de pensée (ici mathématique) repose sur le courage de braver des interdits (traditionnellement travestis en présumées impossibilités : « on ne peut… »), tout de même le monde de la musique ne se trouve-t-il pas globalement réinterrogé chaque fois qu’une nouvelle figure de la sensibilité sonore vient à émerger ? On avancera ici deux exemples opposés :

-   D’un côté l’échec de Pierre Schaeffer à traiter ses nouveaux « objets sonores » en discipline proprement musicale a courageusement conduit Michel Chion à fonder un « art des sons fixés » explicitement hétérogène à la logique musicale et exogène donc au monde de la musique (tout comme informatique et logique mathématisées restent finalement aux frontières du monde propre des mathématiques).

-   D’un autre côté l’émergence du jazz au cours du XX° siècle a conduit le monde-Musique à des effets intramusicaux d’ensemble ; on ouvrira ce faisant à la séance ultérieure du séminaire mamuphi (Fréderic Maintenant et François Tusques, 6 avril 2013) qui examinera comment l’aventure d’un « jazz sériel » a pu, elle aussi, braver quelques cloisonnements néo-aristotéliciens.

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Je vais présenter quelques résultats de recherches obtenus durant ces derniers 18 mois dans le but de formaliser des travaux antérieurs mais aussi de plus récents, en physique, en particulier pour les développements instrumentaux de la radioastronomie.

Pour ce faire, j’utilise les catégories, sensibilisé à cette approche grâce à l’école mamuphi et aux cours 2011/12 de René Guitart mais aussi par le fait qu’il me semblait que cela pouvait s’appliquer à des réalisations très concrètes effectuées sur le terrain. De plus, en avançant dans ce travail, j’ai pris conscience que ceci offrait une nouvelle manière de pratiquer la recherche en physique et d’en cerner ses fondements.

Enfin j’ai aussi vu un lien fort avec l’informatique telle que je la pratique, du développement de codes en programmation générique, une technique reposant sur l’usage du polymorphisme paramétrique.

Je vais montrer qu’il existe un diagramme générique assez fondamental car il permet de formaliser de nombreux concepts dans des domaines très différents. Ce diagramme, à plat une structure hexagonale à l’intérieur d’un triangle, fait bien entendu penser à l’hexagone des contraires et à la logique borroméenne associée (cf. René Guitart : mamuphi, oct. 2011). Cela dit, je suis arrivé à cette structure sans l’usage d’une géométrie de la logique des oppositions, étant d’abord guidé par la manière de décrire un système physique mais aussi par l’adoption d’une figuration géométrique en 3D, un complexe de simpliciaux, celle-ci me permettant de mettre en relief des relations porteuses de sens en les associant par trois (une algèbre de groupe, signature espace-fréquence-temps en physique).

Par le biais d’une connexion avec le langage en informatique (résultat obtenu en développant un générateur de code ayant pour source un langage de typage et pour destination un langage objet, l’usage du lemme traductif) et la théorie des types en mathématiques et à l’occasion de la lecture d’un article sur le boson de Higgs, j’ai alors réalisé, à partir de la logique, qu’on retrouve l’ensemble des relations du modèle standard des particules élémentaires. Dans ce cheminement, les mots clef sont partition et composition.

Ceci me conduit à regarder les groupes de symétrie, en particulier S3 et S4, et me suggère de rajouter un troisième mot-clef : pulsation, terme dont nous avons déjà entendu parler sans trop de précision. Adoptant ce terme, je lui associe la pulsation à trois phases d’un objet géométrique dans notre espace 3D, ceci pour comprendre cet hexagone en utilisant la catégorie des modèles.

Ceci me permet alors de comprendre pourquoi ces hexagones ont tendance à se présenter par paires - en termes informatiques : des diagrammes d’activité et d’état. Ces diagrammes sont caractérisés par une invariance dans les positions de concepts qui, bien que très génériques, sont suffisamment précis pour guider les recherches si l’on veut utiliser cette approche diagrammatique comme outils pour analyser un domaine ou développer des concepts.

De façon assez magique, ce diagramme aide à la conceptualisation. J’illustrerai son usage dans le contexte de la radioastronomie et montrerai en particulier que les objets qui le constituent, des concepts du domaine de métier, sont eux-mêmes de semblables diagrammes. Ce diagramme fermé dans son langage interne, la partie constituée de l’hexagone semble donc n’avoir ni début ni fin en ‘profondeur’, l’axe sémantique s’engendrant par la définition des types et termes à l’extérieur. Parmi ces concepts très génériques se trouve l’émergence. Je montrerai qu’en physique expérimentale, cette émergence s’identifie le plus souvent à la calibration de l’instrument de mesure.

Au niveau informatique ce diagramme se retrouve dans la conception de ce qu’est un type. Il transparait donc au niveau même de la grammaire des langages. On se retrouve donc dans la situation de formaliser des concepts à l’aide d’un langage qui, dans sa grammaire, est bâti sur ces mêmes concepts. De façon plus philosophique, nous pourrions nous poser la question du pourquoi de cette connivence entre la forme (qu’elle soit au niveau du langage, des signes ou d’une simple géométrie) et cette matière ou le rayonnement, des éléments a priori tangibles de la physique au moins au niveau macroscopique!

J’utiliserai ce diagramme pour poser cette question.

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« Annoncer Égalité ’68 »

(Séance mamuphi du 2 février 2013)

Il s’agit de présenter, sous cet intitulé générique, le travail en cours pour composer, à l’horizon du cinquantième anniversaire de Mai 68, une vaste œuvre musicale en quatre parties (disons : une tétralogie). Il s’agit ce faisant d’annoncer au présent un projet, autant dire l’actualité d’un futur : une possibilité ébréchant le moment en cours.

Cette séance portera plus spécifiquement sur le travail prosodique et musical engagé sur les six langues destinées à opérer comme personnages à l’œuvre : l’anglais, l’allemand, le russe, l’arabe (littéraire), le latin (d’Église) et le français.

D’où trois questions :

1.     Qu’est-ce qui, dans ce contexte d’une œuvre musicale composite, spécifiera chacune des six langues, au fil d’une juste violence musicalement exercée sur leur génie propre ?

On appellera brutalité son contraire : une violence injuste.

2.     Quels rapports ces individualités spécifiques sont-elles susceptibles de nouer entre elles ?

3.     Comment composer un collectif-Babel à partir de ces langues individuelles ?

L’examen de ces questions nous amènera à formaliser notre ensemble de six langues selon cet hexagone logique des oppositions :

On présentera alors les œuvres littéraires qui donneront corps à ces différentes langues : celles de George Oppen [spécifiquement Of being numerous (1968)] d’Ingeborg Bachmann [spécifiquement Die Wahrheit ist dem Menschen zumutbar (1959) - On peut exiger de l’homme qu’il affronte la vérité], de Nadejda [spécifiquement ses mémoires : Воспоминания (1970) – en français : Contre tout espoir] et Ossip Mandelstam, d’Adonis [spécifiquement son Manifeste du 5 juin 1967] et de Salvien de Marseille [spécifiquement De gubernatione Dei (milieu du V° siècle)] ; la langue française, au statut spécifique, sera portée par différents auteurs.

On examinera ensuite comment dialectiser égalité individuelle et liberté collective relativement à ces six langues-personnages.

On appellera liberté-Pentecôte cette conquête du collectif-Babel.

En particulier, comment ces acteurs singuliers peuvent-ils être aptes à composer successivement une libre manifestation (I : le 21 février 1968), un libre rassemblement (II : le 1° mai 1968), de libres lieux idéologico-politiques (III : usines et facultés en grève pendant le mois de mai 1968), une libre réunion politique (IV : au cours du mois de juin 1968).

On esquissera enfin le dispositif instrumental et vocal prévu pour cette entreprise compositionnelle au long cours.

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Sur le corps à quatre éléments se combinent, suivant un dispositif hexagonal, 12 logiques booléennes isomorphes et distinctes, dont les algèbres de fonctions logiques sont donc isomorphes à l'algèbre de Post-Malcev $P_2$, pour produire une logique dont l'algèbre des fonctions est l'algèbre de Post-Malcev $P_4$, que l'on comprendra comme borroméenne de quatre façons ou modes. De surcroît il existe 12 spéculations où points de vues (ou notes) dont on peut jouer pour annoter des formules classiques, et qui engendrent encore la même logique borroméenne. On dispose ainsi d'un outil détaillé en un formulaire explicite pour rompre les paradoxes logiques et pour faire entendre leurs sens. Dès lors se pose la question de comprendre le sens comme une composition sur ces 12 notes.

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La généralisation de la sextine du troubadour Arnaut Daniel par Antoine Tavera et Raymond Queneau a donné lieu à une vaste exploration d'un petit morceau du groupe des permutations sur n lettres et a donné naissance à de nombreuses formes poétiques originales. On essayera d'interpréter cette stratégie de composition poétique et on posera une question aux  musiciens.

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De l’hexagone logique en matière d’œuvre musicale composite

(mamuphi, Ens - 7 janvier 2012)

François Nicolas

De quelle manière l’hexagone logique des contraires dégagé par Robert Blanché et développé par Jean-Yves Beziau peut-il orienter une formalisation de la logique propre au discours musical, y compris au discours si spécifique de l’œuvre musicale composite (ou mixte) ?

On examinera ces points mamuphiques à l’ombre de l’orientation philosophique suivante : les véritables décisions sont d’ordre ontologique (et non pas logique), et les délibérations logiques qui les suivent (nullement qui les précèdent) s’attachent alors à en évaluer les conséquences phénoménologiques dans une situation ontique donnée.

I

On montrera d’abord de quelles manières cet hexagone

1.      met en scène trois figures distinctes de la négation logique :

—      la négation classique des contradictoires [rouge] ;

—      la négation intuitionniste des contraires [bleue] ;

—      la négation paraconsistante des sub-contraires [verte] ;

2.      restitue ce faisant les trois types philosophiques de synthèse distingués par Deleuze :

—      la synthèse connective (celle d’un « donc »),

—      la synthèse conjonctive (celle d’un « et »),

—      la synthèse disjonctive (celle d’un « ou » exclusif) ;

3.      articule, par son système d’implication, deux types d’objets :

—      des produits (dotés d’un contradictoire et de deux contraires) ;

—      des sommes (dotées d’un contradictoire et de deux subcontraires).

Hexagone logique (sa syntaxe & une sémantique possible)

II

On entreprendra d’approprier cette structure logique à la discursivité proprement musicale en posant qu’en musique, la négation est essentiellement une altération (Veränderung).

On spécifiera ainsi le travail du négatif en musique selon trois principes, venant contraposer logique musicale et logique aristotélicienne :

—      Le principe de différenciation s’opposant au classique principe d’identité : aucun terme n’est, posé deux fois, identique à lui-même si bien qu’en musique, répéter, c’est altérer.

—      Le principe de négation contrainte s’opposant au classique principe de non-contradiction : tout objet musical posé doit se composer avec son contraire, c’est-à-dire se composer en devenir (avec sa propre altération).

—      Le principe du tiers obligé s’opposant au classique principe du tiers exclu : tout terme musical posé (A) doit se composer avec un autre terme (B), autre que la négation en devenir du premier (A’).

Ces trois principes, qui configurent la composition musicale comme interaction minimale entre trois objets - un objet premier A, son altération A’ et un autre objet B – conduiront à la construction de deux hexagones musicaux : l’un rapportant des relations spécifiquement musicales (identité/répétition – altérité constituante/altération constituée), l’autre rapportant des types d’objets spécifiquement musicaux (thèmes/cothèmes - objets génériques/motifs constituants…).

III

Qu’en est-il alors de cette logique musicale dans ces œuvres composites qui entrelacent deux logiques discursives hétérogènes : celle de la musique et celle d’un flux non musical accueilli dans l’œuvre en question ? Qu’en est-il en particulier quand ce flux non musical est le flux sonore et signifiant d’un discours tenu en langue arabe ?

Pour ce faire, peut-on identifier, dans la grande langue arabe littéraire, quelques manières spécifiques de donner forme discursive au travail du négatif ?

On examinera, pour ce faire, trois modalités caractéristiques de cette discursivité « arabe » qu’on tentera de formaliser selon les principes logiques organisant notre hexagone :

—      la parataxe, si cardinale en langue arabe, qui constitue un mode spécifique d’implication par apposition de blocs ;

—      le Diddun – soit ce type de mot venant indexer simultanément une chose et son contraire – qui somme des contraires selon l’unité disjointe d’une alternative ;

—      l’hapax comme exception produite par une double négation (selon le modèle « Nul dieu sauf Dieu ! ») où la négation d’une négation contraire génère un contradictoire singulier.

On aboutira ce faisant à l’hexagone suivant :

IV

Sur ces bases, on tentera de mettre nos hexagones « musicaux » et « arabe » en raisonances en sorte de clarifier l’intention/intension compositionnelle suivante : comment une œuvre musicale composite pourrait-elle entreprendre d’avouer musicalement quelque(s) secret(s) de la langue arabe, sachant bien sûr que « ce n’est pas parce qu’on l’avoue qu’un secret cesse d’être un secret » (Jacques Lacan) ?

On devinera qu’il s’agira ici de conclure - tout à fait provisoirement ! - sur ce qu’un tel type d’œuvre musicale mixte pourrait avoir de spécifiquement concret.

[13] Cette séance se propose d’ouvrir une discussion sur quelques enjeux de la démarche phénoménologique à partir des problèmes théoriques posés par la formalisation algébrique et catégorielle en musique. L’approche transformationnelle en théorie et analyse musicales soulève en effet des questions philosophiques intéressantes, notamment dans ses rapports avec la phénoménologie husserlienne et les sciences cognitives. On se propose de confronter ce point de vue avec d’autres lectures de la phénoménologie dans ses relations avec la pensée mathématique contemporaine en montrant, ainsi, toute l’actualité de l’approche phénoménologique dans les (neuro)sciences cognitives. En s’appuyant sur une double formalisation de la phénoménologie, l’une issue des modèles morphodynamiques et l’autre de la théorie des catégories, on posera la question du rapport entre phénoménologie et structuralisme en ouvrant le débat sur la possibilité d’une coexistence d’une démarche structurale et d’une approche phénoménologique en sciences humaines. On avancera donc en conclusion l’hypothèse d’une pertinence de la catégorie de « structuralisme phénoménologique » dans une relecture/réactivation de la tradition structurale tout en montrant les implications d’une telle entreprise au sein d’une théorie mathématique de la musique.

Références bibliographiques et documents préparatoires disponibles à l'adresse :

http://repmus.ircam.fr/moreno/mamuphi

[14] Depuis le développent de la théorie des catégories par Eilenberg et Mac Lane (1945) à travers le concept de foncteur, cette théorie a été maintes fois reprise par les philosophes des mathématiques pour remettre en cause le statut que la théorie des ensembles détient depuis le début du XXème siècle, comme sol fondateur pour les objets mathématiques.

Quelles que soient les différentes approches de cette question, il est certain que la théorie des catégories rend possible une localisation de la théorie des ensembles dans un contexte plus large où la perspective ensembliste n’est plus qu’un mode d’expression mathématique parmi d’autres. Ces modes d’expression concernent des formes invariantes ou covariantes qui, à leur tour, peuvent ne pas appartenir de manière univoque à l’une ou à l’autre forme.

Cette situation a ainsi provoqué une relativisation de la perspective ensembliste en matière de fondements des mathématiques, au point qu’un commentateur comme J. T. Bell a pu comparer la théorie des catégories à la relativité restreinte einsteinienne, capable d’expliquer la mécanique newtonienne comme l’un des cas possibles d’une physique élargie.

Dans mon intervention je me propose d’examiner l’argument de Bell concernant cette vision « relativiste » dans le but de critiquer sa compréhension des suppositions ensemblistes qu’il cherchait à réfuter.

En m’appuyant sur cette critique de Bell, je vais souligner la différence entre, d’une part, l’approche de l’ontologie des objets mathématiques propre à la « philosophie des mathématiques » et, d’autre part, le traitement de la pensée  mathématique propre à Alain Badiou pour qui les mathématiques seraient l’ontologie en tant que telle.

Enfin, j’interrogerai les possibles conséquences de ce processus de localisation ou de « relativisation » lorsqu’il est appliqué à l’interprétation ensembliste de la thèse « mathématique=ontologie » exprimée dans L’être et l’événement.

[15]

Nancy Diguerher-Mentelin - D’Alembert-Rameau-Rousseau (& Diderot) : « mamuphi » au cœur des Lumières ?

L’objet de cette conférence est d’ouvrir un espace de visibilité pour ce croisement interdisciplinaire hautement fécond qui s’est noué autour de Jean-Philippe Rameau au beau milieu du XVIIIe siècle. Alors que ses œuvres et sa théorie sont respectivement arrimées à une ère musicale et  philosophique sévèrement mise à mal vers 1750, c’est à cette époque qu’adviennent les rencontres décisives qui feront de lui un penseur écarté des Lumières, et pourtant si intimement lié à leur émergence. 

Très précisément, l’année 1749 est celle où, réagissant à la théorie mais aussi à la musique ramistes, Rousseau, Diderot et d’Alembert apportent tour à tour leurs premières grandes contributions à tout ce qui façonnera la postérité de Rameau. C’est alors que se configure cet espace de confrontation tout-à-fait inédit où la voix du compositeur se met à résonner sur plusieurs dimensions : en même temps qu’elle excite l’hostilité de Rousseau, qui s’éveille contre elle à sa propre vocation philosophique, sa rencontre avec Diderot lui donne un tout nouvel essor, aussi décisif pour le musicien que stimulant pour l’écrivain, alors que ses premiers échanges avec d’Alembert portent en eux les germes de la puissante controverse à venir. 

Notre propos sera donc de dégager les grandes lignes de force de cet épisode 1749 essentiel dans la trajectoire intellectuelle de Rameau, et doté également d’une incidence très neuve et caractérisée sur les orientations respectives de pensées qui sont celles de Rousseau, de Diderot et de d’Alembert : si le projet encyclopédique commun de ceux-ci se présente en écartant Rameau, force est de constater qu’aucun d’eux ne s’est, sans lui, engagé sur ces voies qui les feront tant connaître.

Nous tâcherons ainsi de faire émerger un moment important dans l’avènement des Lumières, où le mathématicien, le musicien et le philosophe se rencontrent pour la première fois en une scène où Diderot, écrivain et critique d’art, se sent lui aussi un rôle à jouer.

[16] Partant des structures algébriques et topologiques en Théorie des Catégories, il est intéressant d'ouvrir les structures topologiques à la prétopologie d'Alexander Grothendieck puis de Marcel Brissaud pour s'apercevoir d'une part que tout est fondé sur l'homomorphisme et la transitivité, et d'autre part qu'il existe dans des travaux parallèles de l'auteur depuis 1967 des notions de « trans-combinaison » et de « prétopologie » dès 1971.

La non-transitivité et l'hétéromorphisme introduisent aux textures prétopologiques (sonores et visuelles au départ, puis généralisées) qui s'avèrent propices à la recherche d'esthétiques musicales et visuelles (voir la suite de l'UPIC - Iannis Xenakis - conçue par l'auteur de l'exposé).

Une façon peut-être d'ajouter au "théorème du sandwich au jambon" d'Hugo SteinHaus repris par Stephan Banach (1938) le "théorème de la soupe de légumes" (PSJ, 2012) en sorte de ne plus avoir peur du mélange, de l'amalgame et des co-polymères.

[17]

Le jugement s'établit dans un topos; la perception, relative au Deux, suppose une structure plus légère qu'une flèche d'une catégorie. En dépointant une arête du graphe sous-jacent de celle-ci, on obtient une spire et l'on peut dessiner l'esquisse d'une telle structure.

On observe alors une genèse du nombre:

-      le monde du Quatre, les ensembles avec leurs éléments

-      le monde du Trois, les catégories avec flèches et boucles

-      le monde du Deux : les spires

-      quid du monde du Un, les pôles ? Ces pôles peuvent être de dimension des questions, des valeurs.

En musique, le monde du Trois s'apparente à une partition, suite de notes discrètes, alors que le son écouté s'apparente à la perception.

Chaque monde a un mouvement spécifique (rotation, spire ou pulsation), une attitude par rapport à la négation, un sens de l'identité.

Cette genèse du nombre s'accompagne d'une genèse du trait : représentation graphique de structures cognitives. Pour enrichir le graphisme, chaque monde peut être associé à une couleur, en accord avec les liens logiques de J-Y Beziau.

Enfin, plutôt que de juxtaposer (projeter) les mondes, on peut décrire la genèse du jugement à partir de la perception (basée sur des remarques de Merleau-Ponty) et s'interroger sur une genèse des pôles à partir de limites de spires.

[18]

La phénoménologie et la recherche de pulsars : les catégories seraient-elles opératoires pour les méthodes de mesure et d'approximation?

Après une introduction brève à la phénoménologie des pulsars telle qu'elle est considérée aujourd'hui, nous nous intéresserons au problème spécifique de recherche "aveugle" de signaux pulsés (périodiques), c'est-à-dire sans connaissance à priori des éphémérides. Nous donnerons un aperçu de l'état de l'art tout en soulignant les limitations méthodologiques, notamment en ce qui concerne le déficit de rapport (mais aussi d'apport) des mesures locales (périodes courtes) quant aux propriétés temporelles globales (longues périodes) des pulsars.

Un discussion avec René Guitart permettra ensuite de se poser la question de savoir si une formulation catégoricienne de cette problématique pourrait être pertinente, et si oui en quoi.

[19] Ecouter Allegro sostenuto, c’est « s’exposer » à un instrument, celui, ad hoc, que Lachenmann a « construit » et que désigne tout autant ce titre que l’œuvre elle-même. Cet instrument, c’est en l’occurrence le « pianoclarinettevioloncelle » en tant qu’il est agi par diverses actions physiques en interaction, des familles de « gestes », les uns regroupés par leurs effets (« Tonloss » de souffle, d’archet ou de pédale par exemple), les autres par leurs causes (raclements de cordes etc.).

Ecouter Allegro sostenuto, c’est alors « faire l’expérience » du paysage sonore qu’offre à nos sens le dépliement temporel de cet instrument, traverser et se laisser traverser (par) « l’arpège » que présente son exploration et en quoi consiste sa forme.

Pour singulière qu’elle est, cette approche « existentielle » de la composition n’en est pas moins un dialogue tendu tant avec d’autres œuvres musicales qu’avec la pensée de son temps.

Les enjeux de Allegro sostenuto se laissent alors cerner d’un triple point de vue.

     - Généalogique : dialogue avec d’autres œuvres de Lachenmann (Ausklang, Serynade), Varèse, Boulez, Nono, mais aussi avec une certaine tradition des « Nachtmusik » et tant d’œuvres de différentes époques qui affleurent ici ou là comme des « souvenirs » musicaux que Lachenmann croise au gré de son aventure et salue comme autant d’ « amis ».

     - Archéologique : souci de prendre en charge les questions musicales léguées par la fin de la tonalité à travers ce qu’il appelle une « réflexion sur les moyens », à savoir la tonalité (en tant qu’elle définit le paradigme hérité qu’il s’agit de dépasser), l’acoustique, la structure et l’aura.

     - Esthétique : résonance de son œuvre (musique et texte) avec la pensée de philosophes (Adorno, qui semble avoir largement structuré sa formation intellectuelle, et, à certains égards, Deleuze, Lacoue-Labarthe) et de poètes (Pessoa-Caeiro, Celan).

Se fait alors jour une inclinaison générale relevant moins d’une entreprise de « déconstruction » de la musique que d’une volonté obstinée de la continuer.

[20] Si la notion d’idée musicale émerge dans les écrits de Pierre Boulez au tournant des années 1980, elle fut déjà l’objet d’une profonde réflexion de la part d’Arnold Schoenberg, qui la définissait d’abord comme une relation purement musicale entre sons. Sur cette base, nous soumettrons Dérive 1 (1984) à une étude visant à rendre compte des différentes relations musicales qui la constituent ainsi que des procédés sur lesquels celles-ci reposent. Nous mettrons alors au jour les enjeux propres de cette pièce et les problématiques qu’elle soulève.

Ceux-ci seront surtout révélés par une confrontation avec le Klavierstück opus 33a (1928) de Schoenberg, qui nous permettra de dresser une certaine généalogie, notamment autour de la récupération d’un contrôle de l’harmonie par les moyens sériels. L’analyse de leurs divergences, quant à la forme et l’action de cette tentative sur la perception de l’œuvre, nous permettra de montrer que sous cette question se dessine une dialectique, fondamentale pour le XXe siècle, entre l’indétermination et l’écriture. Nous verrons alors que ces deux pièces marquent les frontières extérieures d’une situation esthétique représentée par l’œuvre ouverte.

A partir de leur position respective, nous montrerons enfin que Schoenberg rend musicalement compte d’une certaine « fin de la métaphysique » annoncée par Heidegger, tandis que, avec Dérive, Boulez semble rejoindre Badiou pour décréter la « fin de toutes les fins » et ajouter ainsi un point à la « constellation affirmative ».

[21] 0. Prélude: Brève réflexion sur l'orthographe allemande

1. Synesthésie romantique

2. Rilke et Trakl à l'époque de la Sprachkritik

3. « L'alliance de la musique avec le verbe » dans le Docteur Faustus de Thomas Mann

[22]

Extension de Kan et écoute musicale « élargie » d’une œuvre musicale « mixte »

(mamuphi, 9 octobre 2010)

F. Nicolas

« Aujourd’hui, la musique a besoin de quelque chose d’hétérogène pour rester art. » (d’après Adorno) [1]

Il s’agira d’examiner l’aptitude d’une notion mathématique – celle d’extension de Kan [EK] - à formaliser ce que nous proposons d’appeler l’écoute musicale élargie d’une œuvre musicale mixte [OMM].

Nous repartirons pour cela des résultats d’un précédent travail (présenté en mamuphi le 10 octobre 2009 et disponible sous forme du chapitre D.II d’un prochain livre – le monde-Musique - à paraître en 2011) [2]. On y thématise l’OMM (ou œuvre musicale accueillant en son sein un flux hétérogène – texte, chorégraphie, vidéo… - sans pour autant l’homogénéiser à la musique ou se contenter de l’accompagner musicalement) comme « extension auratique de l’œuvre musicale ».

On se demandera alors : existe-t-il, corrélativement à l’extension de l’objet musical en question, une extension de son écoute (soit une extension d’un rapport musical à cet objet étendu) ? L’écoute musicale de l’OMM peut-elle être ainsi pensée comme une extension de l’écoute musicale « ordinaire » ? Dans quelle mesure l’OMM invente-t-elle une écoute proprement musicale du flux non musical accueilli ? Par exemple, y a-t-il une manière proprement musicale d’écouter le poème chanté par/dans un lied ?

C’est en ce point que la notion mathématique d’EK va être mobilisée (quand celles d’extensions algébrique et générique nous avaient éclairés sur l’extension d’objet constituant l’OMM).

On commencera par rappeler les notions techniques de foncteurs adjoints et d’extension de Kan.

On formalisera ensuite notre problème avec ces notions en sorte de préciser ce que l’énoncé suivant veut dire : « l’écoute musicale de l’OMM est formalisable comme EK d’une écoute de la musique à l’œuvre ».

On en viendra à la question suivante, mathématiquement délicate (« non triviale » nous disent Barr & Wells) [3] mais musicalement essentielle : cette extension d’écoute est-elle constructible pas à pas (« pointwise » disent les anglo-saxons) ? Soit, en première approche : cette écoute musicale élargie est-elle constructible localement à partir de l’écoute musicale ordinaire ou relève-t-elle d’une édification globale, sans embrayage local ?

On thématisera d’abord ce que « construction point par point » (pointwise) veut mathématiquement dire (au moyen de différents exemples mathématiques) et on examinera ensuite son ajustement à notre question, ce qui reviendra à examiner techniquement le point suivant : dans quelles conditions un extension de Kan est-elle constructible point par point ?

On s’appuiera, pour ce faire, sur trois présentations mathématiques :

—      celle de René Guitart lors de son quatrième cours mamuphi « Catégories et structures » du 6 mai 2010 [4]

—      celle de Barr & Lane dans Toposes, Triples and Theories (Kan extensions : p. 56-61)

—      celle de Mac Lane dans Categories for the working mathematician (chap. X : Kan Extensions) [5]

On s’attaquera ensuite à la démonstration mathématique du théorème suivant [22] : « dans certaines conditions, la construction point par point d’un foncteur adjoint par limites (ou colimites) produit une extension de Kan à droite (ou à gauche) ».

On examinera ce que ce développement mathématique éclaire quant à notre problème musical.

On en conclura trois points, intéressants directement l’intellectualité musicale de l’OMM :

1.      Une écoute musicale élargie s’affirme immédiatement à une échelle globale sans transiter par une construction localement constituée.

2.      L’éventuelle décision musicale qui imposerait a contrario un embrayage local, un contrôle point par point, une constructibilité généralisée du rapport auditif à l’OMM (on la nommera « décision boulézienne »), conduirait à thématiser ce rapport auditif comme simple perception/audition et non comme écoute musicale proprement dite.

3.      La vertu musicale propre de l’OMM réside ainsi en une dialectique entre construction point par point de son aura poétique et écoute globale du flux hétérogène qui l’a fécondée.