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À la lumière des mathématiques et à l'ombre de la philosophie

Dix ans de séminaires Mamuphi

Sous la direction de Moreno Andreatta, François Nicolas, Charles Alunni

mamuphi : le nom d'un lieu singulier où mathématiques, musique et philosophie viennent se frotter, s'entrechoquer, se pincer, se faire résonner comme si chacune de ces disciplines devenait ici un instrument susceptible d'être frotté, frappé, pincé ou soufflé par les deux autres.

Ce lieu, suscité à l'Ircam en 1999 par des mathématiciens soucieux de « logique musicale », progressivement stabilisé et diversifié autour d'un séminaire qui se tient depuis dix ans à l'École normale supérieure (Ulm, Paris), voit collaborer musiciens et musicologues, mathématiciens et philosophes.

Ce livre voudrait présenter un bouquet significatif des voix qui viennent s'y exposer. Autant de réflexions foisonnantes plutôt que convergentes : chacun y parle en son nom propre de son travail le plus exigeant pour l'adresser à des gens d'une toute autre discipline. Certains usent de la métaphore pour mieux se faire comprendre, d'autres de l'analogie ou de la fiction ; certains théorisent, d'autres conjecturent ; quelques-uns laissent plutôt à leur auditoire le soin de décider ce qui de leur propos pourra ou non raisonner ailleurs.
Il ne s'agit pas ici à proprement parler de synthèse, ou d'application, moins encore de mélanger les formes de pensée. Il s'agit de rapprocher pour stimuler, de confronter pour distinguer, d'éprouver au plus près l'écart irréductible qui relie en séparant mathématiques, musique et philosophie.

Au total, un lieu de pensée dont le seul équivalent ne s'est peut-être jamais trouvé en France que dans « la saine émulation » qui y prévalut au siècle des Lumières.

Textes de Charles Alunni, Emmanuel Amiot, Yves André, Moreno Andreatta, Jean Bénabou, Francis Borceux, Andrea Cavazzini, Nancy Diguerher, Stéphane Dugowson, René Guitart, Xavier Hascher, Yves Hellegouarch, Franck Jedrzejewski, Julien Junod, Ralf Krömer, Pierre Lochak, Guerino Mazzola, François Nicolas, Joomi Park, Thierry Paul.

Éditions Delatour France / Ircam-Centre Pompidou

Avec la participation de l'Ircam et de l'École normale supérieure et le soutien du CNRS et de la SFAM.

Année d'édition : 2012

Prix : 28 €

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De sept moments « mamuphiques » dans l’histoire de la pensée

(Séminaire mamuphi, 13 octobre 2012)

François Nicolas (Ens-Cirphles)

Peut-on déduire du nom propre mamuphi (désignant une initiative singulière engagée à Paris en 1999, dont un séminaire éditant les actes de ses dix premières années d’existence) un adjectif apte à qualifier d’autres moments équivalents dans l’histoire de la pensée ?

« Théorisons » pour cela les principales caractéristiques de notre moment mamuphi actuel.

Ce moment procède de la conjonction inattendue de trois circonstances indépendantes :

—      en mathématique, le développement de la géométrie algébrique (Grothendieck…) et de la théorie des catégories (pour la France, Ehresmann…) ;

—      la relance d’une philosophie française du concept attachée à la pensée des sciences (dont la généalogie va de Brunschvicg à Badiou en passant par Bachelard, Cavaillès et Lautman, ainsi que – en un certain sens - Althusser et Desanti) ;

—      en musique, la nécessité compositionnelle d’échapper, en une époque nihiliste du « post » (post-sérialisme, post-spectralisme, post-modernisme…), à la dualité obscurantiste d’un néo-romantisme (lyrisme néo-tonal…) et d’un néo-positivisme (technique informatique…).

Dans ce contexte, mamuphi a noué des rapports entre mathématiques, musique et philosophie sous le signe de la logique pour se demander : comment, dans la situation de pensée caractérisée ci-dessus, les logiques respectivement mathématique, musicale et philosophique entrent-elles ou non en raisonance ?

Pour cela mamuphi a pu tirer parti d’une quatrième circonstance : une transformation interne à la logique mathématisée (voir les travaux de Girard) qui a remis sur ses pieds le rapport mathématique/logique, en fondant désormais la logique sur les avancées mathématiques les plus contemporaines, abandonnant ainsi la prétention logiciste de fonder (puis réduire) la rationalité mathématique sur la logique.

On propose alors de qualifier de mamuphique des moments où d’une part mathématiques, musique et philosophie connaissent séparément de significatives transformations internes, et où, d’autre part, ces trois transformations entrent temporairement en raisonances réciproques, se confrontant et se fécondant les unes les autres.

On propose alors de discerner au moins sept moments mamuphiques de ce type ; successivement :

1.      un moment grec originaire (VI° av. J.-C.),

2.      un moment du quadrivium qu’on dira celui de Boèce (VI° ap. J.-C.),

3.      un moment arabe (Bagdad, IX°-XI°) qu’on dira celui d’Al-Khayyâmi (XI°),

4.      un moment Descartes (XVII°),

5.      un moment des Lumières (XVIII°) qu’on dira celui de Rameau,

6.      un moment « Music Theory » (aux États-Unis, après 1950),

7.      et notre moment mamuphi en cours (à Paris, à partir de 1999).

A contrario, on ne semble pas pouvoir déceler de tels moments, ni durant l’histoire de Rome, ni pendant le Moyen Âge européen (spécialement à partir de la scolastique : XIII°…) ou la Renaissance (XVI°), ni au cours du XIX° (partagé entre romantisme et positivisme), ni même dans la plupart du XX° (et ce malgré l’important constructivisme de ce siècle et, après-guerre, le structuralisme).

On entreprendra de caractériser spécifiquement chacun des six moments mamuphiques qui nous ont précédés : que s’est-il passé, dans chaque cas, en mathématiques, en musique, en philosophie puis dans leurs rapports ?

On débouchera sur un examen de notre futur possible : comment poursuivre notre moment mamuphi ?

On proposera, pour ce faire, de compléter nos activités de théorisation (théoriser la musique à la lumière de la mathématique et à l’ombre de la philosophie) d’une perspective légèrement déplacée : examiner comment les différents « faire » (faire des mathématiques, de la musique, de la philosophie) peuvent résonner directement entre leurs acteurs respectifs (plutôt qu’entre les disciplines) en une sorte de fraternité d’intellectualité entre working mathématicians, musicians and philosophers.

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Composed 1964–65, Antagonisme I sits at the start of Xavier Darasse’s compositional career and between Alain Badiou’s first novelistic and philosophical texts. Drawing on letters, drafts and manuscript scores, this seminar attempts to untangle these various projects and understand the literary, philosophical and musical stakes of the project. Through a blow-by-blow account of the work’s composition it becomes evident that Antagonisme I marks a shift in both collaborators’ understanding of composition from the deployment of musical languages to engagement in a musical process. Speaking more broadly, the seminar will ask whether Antagonisme I can help to clarify the vague concept of “influence” employed in musicological writing when attempting to link the works of philosophers and musicians.

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La « théorie de la n-opposition » (2004), qui généralise les notions d’« hexagone logique » (1950) et de « tétrahexaèdre logique » (1968) – eux-mêmes généralisant la notion traditionnelle de « carré logique » ou « carré des oppositions » (2ème siècle) – est-elle, comme le prétendent certains, une « géométrie oppositionnelle », à savoir l’embryon d’une nouvelle branche des mathématiques (les mathématiques de l’objet théorique « opposition ») ? Dans cet exposé nous suggérons de répondre à cela par l’affirmative en nous basant sur un résultat nouveau que nous allons exposer et qui est qu’il est possible de mettre à jour, pour les structures oppositionnelles de ladite géométrie, des opérations de « somme » et de « produit ». Nous allons plus précisément présenter et expliquer ces opérations sur les hexagones logiques, première étape vers l’établissement futur en bonne et due forme d’une somme et d’un produit oppositionnels, résultat ouvrant à son tour à une reformulation de la géométrie oppositionnelle dans les termes mathématiquement généraux de la « théorie des catégories ».

Présentation plus détaillée

L’hexagone logique est connu depuis 1950 comme étant une structure mathématique étrange mais puissante, qui contient en plusieurs exemplaires symétriques le mystérieux « carré logique ». Depuis 2004 une théorie formelle renouvelée de l’opposition fournit un algorithme général tel que le carré et l’hexagone logiques ne sont que deux cas particuliers (pour n=2 et n=3) d’une « théorie de la n-opposition ». Suite à la mise à jour de plusieurs autres résultats (comme les notions de « clôture » et de « générateur » oppositionnels) l’idée semble se faire jour qu’une telle théorie pourrait en fait n’être rien moins qu’une nouvelle jeune branche des mathématiques : la notion d’« opposition » pourrait dès lors être mise sur le même plan prestigieux que les notions, déjà mathématisées avec succès, de « nœud », « graphe », « catégorie », etc. Les conséquences philosophiques et épistémologiques de cela semblent être considérables : d’une part une telle notion d’opposition est un concept bien plus puissant et naturel que celui logico-mathématique de « négation » (qu’il inclut comme un cas particulier) ; d’autre part cela pourrait sonner le glas de la « philosophie analytique », dans sa prétention hégémonique comme base des formalisations des sciences humaines, et signaler la « résurrection » (au sens technique que Badiou donne à ce terme spirituel) du paradigme transdisciplinaire « structuraliste » (celui qui va de Saussure à Greimas). Toutefois, ce qui manque à ce jour pour que l’on puisse parler de manière convaincante d’émergence d’une nouvelle branche des mathématiques c’est un analogue, pour les structures oppositionnelles, des notions de « somme » et de « produit », qui sont transversales à toutes les mathématiques connues. Les obtenir pour des structures oppositionnelles ouvrirait enfin la voie à l’expression de la géométrie oppositionnelle dans la lingua franca mathématique de la « théorie des catégories » (la théorie qui a pris la place fondationnelle de la « théorie des ensembles »). Dans cet exposé nous proposons une première série de résultats formels qui montrent que de telles opérations de somme et de produit existent bel et bien pour les hexagones logiques pris comme opérandes. Nous allons essayer d’expliquer le sens spécifique que ces opérations prennent dans le domaine oppositionnel, ainsi que ce que l’on peut pour l’heure imaginer de leur probable généralisation future.

[5] Dans un système cognitif, le développement d'une mémoire robuste mais flexible repose sur la formation de combinaisons d'objets ou processus plus ou moins complexes. Cette situation est étudiée dans le cadre des "Système Evolutifs à Mémoire", un modèle, basé sur la théorie des catégories, pour des systèmes complexes auto-organisés multi-niveaux et multi-agents, en particulier des systèmes neuro-cognitifs ou sociaux. Les 'combinaisons' sont alors traduites en termes de limites inductives ou projectives. Nous montrerons que les limites projectives jouent un rôle essentiel dans le fonctionnement de la mémoire procédurale, et aussi dans la formation d'une mémoire sémantique où les objets sont classifiés en classes d'invariance. 

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Cette intervention en duo portera sur les rapports entre des outils conceptuels issus des structures d'ordre en mathématiques et des paradigmes émergents en informatique. On évoquera les deux origines indépendantes de l’analyse formelle des concepts, l’une autour de Rudolf Wille et son « école de Darmstadt » et l’autre centrée sur les travaux du CAMS (le Centre d’Analyse et de Mathématique Sociales) de l’EHESS de Paris. Après avoir introduit quelques outils préliminaires issus des structures d’ordre (opérateurs de dérivation, correspondance de Galois, échelle de Guttman, base de Duquenne-Guigues, …) on donnera les premiers exemples d’application de la CFA au problème de la classification paradigmatique des structures musicales (i.e. une classification où les classes sont des orbites par rapport à l’action d’un groupe sur un espace). 

Si l'analyse des concepts formels se fonde sur la structure de treillis, celle-ci peut s'interpréter comme une structure topologique combinatoire. Les travaux dans ce domaine se rapprochent alors de la Q-analyse introduite par R. Atkin dans les années 70 dans une tentative d’analyse des relations binaires dans les sciences sociales. Nous introduirons les notions de base de la Q-analyse à travers quelques exemples puis nous montrerons comment ces idées peuvent se généraliser et être mise en œuvre de manière calculatoire grâce à la programmation spatiale. La programmation spatiale vise à expliciter les structures topologiques dans la programmation et nous présenterons deux exemples d'utilisations de ces outils pour modéliser les structures narratives et l’analogie aristotélicienne. Ces travaux se retrouvent dans les tentatives récentes d'associer de nouveaux objets topologiques à des processus musicaux.

On conclura en ouvrant quelques perspectives philosophiques sur les rapports entre mathématique, musique et informatique à partir des problématiques posées par l’application de l’analyse formelle des concepts et la Q-analyse à l’informatique musicale.

Références :

- Sur l’analyse formelle des concepts : http://repmus.ircam.fr/moreno/afcm

- Sur la Q-analyse : http://repmus.ircam.fr/giavitto/q-analyse

- Sur la programmation spatiale : http://repmus.ircam.fr/giavitto/q-analyse#programmat

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Comment l’invention de l’algèbre redistribue ce que calculer, théoriser et démontrer veulent dire…

(mamuphi, 23 mars 2013)

François Nicolas

Le Bagdad arabe et musulman du Haut Moyen-Âge (à partir du IX° siècle) invente une technique de calcul (par « réduction » et « comparaison ») qui, sous le nouveau nom d’algèbre (réduction = « al-jabr »), s’avère constituer un calcul de type nouveau : « une arithmétique de l’inconnu ».

Comment cette nouvelle discipline va affecter une mathématique antiquement partagée entre arithmétique des nombres et géométrie des figures ? Comment l’algèbre, émergeant comme greffe latérale des mathématiques (telle notre informatique contemporaine), va-t-elle se déployer en une nouvelle discipline mathématique à part entière ? Ajouter ainsi une troisième discipline à la diversité mathématique existante impliquait d’établir l’autonomie relative de l’algèbre tout en assurant son unification à l’arborescence mathématique. Cette vaste entreprise va nécessiter un remaniement d’ensemble de ce que calculer, théoriser et démontrer voulaient alors mathématiquement dire.

L’enjeu de cet exposé sera de présenter cette émergence et cette recomposition mathématiques, leurs conditions de possibilité et leurs effets idéologico-philosophiques. Où l’on découvrira que cette épopée mathématique (IX°-XII°… siècles) n’est pas, mille ans plus tard, exempte de raisonances en matière d’intellectualité musicale contemporaine.

*

I. Calculer, théoriser, démontrer ?

·       L’audace fondatrice d’Al-Khawârizmî (825) est de renverser l’ordre ancestral des raisons (qui circulait naturellement du connu vers l’inconnu) pour calculer désormais en partant de l’inconnu. L’idée directrice va être de calculer sur le réseau des relations connaissables (« équation ») qui enserrent l’inconnu en question ; le calcul mathématique s’en trouve engagé sur une nouvelle voie, circulant désormais de l’obscur vers la clarté (et non plus par extension prudente d’une zone clairement balisée) par opérations réglées sur des signifiants opaques (la « chose » inconnue - chay’ - et ses acolytes également inconnus configurant « un calcul de la poussière ») qui deviendront ultérieurement (XVI° siècle) le calcul sur la lettre aveugle x. Il s’agira ici de prendre mesure du courage de pensée qu’a impliqué cette décision : sauter à pieds joints dans l’obscurité pour mieux y tresser les enchaînements d’une nouvelle raison calculatrice.

·       De quelle manière ce calcul d’un type nouveau autorise-t-il de nouvelles manières de théoriser mathématiquement ? On associera cette extension au nom d’Al-Khayyâmî (1048-1131). Si l’invention de l’algèbre vise initialement à théoriser mathématiquement des problèmes non mathématiques du monde (problèmes d’arpentage, d’astronomie, de fiscalité, etc.), l’algèbre va devoir ensuite recourir à la géométrie pour solutionner ceux des nouveaux problèmes algébriques qui s’avèrent alors algébriquement insolubles. Il s’agira ici de prendre mesure de la nouvelle stratification ainsi engagée (algèbre géométrisée) où la géométrie vient seconder théoriquement une algèbre embourbée dans sa formalisation de problèmes non mathématiques.

·       Enfin, on examinera les transformations de la notion même de preuve mathématique auxquelles cette invention va donner lieu : les résultats algébriquement produits sont-ils en effet mathématiquement démontrables et pas seulement empiriquement vérifiables ? La nouvelle rationalité algébrique, qui fait ses preuves en matière de calcul (fidélité créatrice à l’arithmétique et à ses opérations), saura-t-elle également faire ses preuves en matière de démonstration (fidélité créatrice cette fois à la géométrie et à son axiomatique déductive) ? D’où deux voies, l’une produisant des démonstrations hybrides, circulant librement entre arithmétique, géométrie et algèbre (Al-Karajî, 953-1029), l’autre s’attachant à inventer des démonstrations proprement algébriques (Al-Samaw’al, 1130-1175). On rehaussera en particulier le défi que constitue la première voie en remarquant qu’il brave l’antique interdit dressé par Aristote dans les Seconds analytiques : « On ne peut prouver une proposition géométrique par l’arithmétique ! ».

II. Raisonances mamuphiques ?

S’agissant d’un séminaire s’intéressant aux raisonances entre pensées mathématiques, musicales et philosophiques, on se demandera d’abord à quelles conditions tout ceci a-t-il été rendu possible : conditions linguistiques, idéologiques, politiques, etc.

On se demandera ensuite ce que cette glorieuse épopée peut nous aider à réfléchir en matière de musique.

·       Calculer sur l’inconnu en l’enserrant dans un réseau connaissable de relations, n’est-ce pas là une ressource essentielle  de tout travail précompositionnel ?

·       Géométriser l’algèbrisation d’un modèle non mathématique, n’est-ce pas en partie analogue à mathématiser la théorisation (musicologique ou musicienne) d’un modèle musical (même si, bien sûr, la première disposition opère au sein de mathématiques intérieurement unifiées quand la seconde circule entre disciplines - mathématique et musicale - essentiellement hétérogènes) ?

·       Prouver mathématiquement en faisant feu de tout bois sans crainte de mettre à mal l’antique impératif aristotélicien en matière de démonstration mathématique n’équivaut-il pas à développer musicalement sans crainte de mettre à mal les traditionnels interdits néopositivistes en matière de déduction musicale ?

·       Plus largement, si l’émergence d’une nouvelle figure de la raison (ici algébrique) au sein d’un monde de pensée (ici mathématique) repose sur le courage de braver des interdits (traditionnellement travestis en présumées impossibilités : « on ne peut… »), tout de même le monde de la musique ne se trouve-t-il pas globalement réinterrogé chaque fois qu’une nouvelle figure de la sensibilité sonore vient à émerger ? On avancera ici deux exemples opposés :

-   D’un côté l’échec de Pierre Schaeffer à traiter ses nouveaux « objets sonores » en discipline proprement musicale a courageusement conduit Michel Chion à fonder un « art des sons fixés » explicitement hétérogène à la logique musicale et exogène donc au monde de la musique (tout comme informatique et logique mathématisées restent finalement aux frontières du monde propre des mathématiques).

-   D’un autre côté l’émergence du jazz au cours du XX° siècle a conduit le monde-Musique à des effets intramusicaux d’ensemble ; on ouvrira ce faisant à la séance ultérieure du séminaire mamuphi (Fréderic Maintenant et François Tusques, 6 avril 2013) qui examinera comment l’aventure d’un « jazz sériel » a pu, elle aussi, braver quelques cloisonnements néo-aristotéliciens.

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Je vais présenter quelques résultats de recherches obtenus durant ces derniers 18 mois dans le but de formaliser des travaux antérieurs mais aussi de plus récents, en physique, en particulier pour les développements instrumentaux de la radioastronomie.

Pour ce faire, j’utilise les catégories, sensibilisé à cette approche grâce à l’école mamuphi et aux cours 2011/12 de René Guitart mais aussi par le fait qu’il me semblait que cela pouvait s’appliquer à des réalisations très concrètes effectuées sur le terrain. De plus, en avançant dans ce travail, j’ai pris conscience que ceci offrait une nouvelle manière de pratiquer la recherche en physique et d’en cerner ses fondements.

Enfin j’ai aussi vu un lien fort avec l’informatique telle que je la pratique, du développement de codes en programmation générique, une technique reposant sur l’usage du polymorphisme paramétrique.

Je vais montrer qu’il existe un diagramme générique assez fondamental car il permet de formaliser de nombreux concepts dans des domaines très différents. Ce diagramme, à plat une structure hexagonale à l’intérieur d’un triangle, fait bien entendu penser à l’hexagone des contraires et à la logique borroméenne associée (cf. René Guitart : mamuphi, oct. 2011). Cela dit, je suis arrivé à cette structure sans l’usage d’une géométrie de la logique des oppositions, étant d’abord guidé par la manière de décrire un système physique mais aussi par l’adoption d’une figuration géométrique en 3D, un complexe de simpliciaux, celle-ci me permettant de mettre en relief des relations porteuses de sens en les associant par trois (une algèbre de groupe, signature espace-fréquence-temps en physique).

Par le biais d’une connexion avec le langage en informatique (résultat obtenu en développant un générateur de code ayant pour source un langage de typage et pour destination un langage objet, l’usage du lemme traductif) et la théorie des types en mathématiques et à l’occasion de la lecture d’un article sur le boson de Higgs, j’ai alors réalisé, à partir de la logique, qu’on retrouve l’ensemble des relations du modèle standard des particules élémentaires. Dans ce cheminement, les mots clef sont partition et composition.

Ceci me conduit à regarder les groupes de symétrie, en particulier S3 et S4, et me suggère de rajouter un troisième mot-clef : pulsation, terme dont nous avons déjà entendu parler sans trop de précision. Adoptant ce terme, je lui associe la pulsation à trois phases d’un objet géométrique dans notre espace 3D, ceci pour comprendre cet hexagone en utilisant la catégorie des modèles.

Ceci me permet alors de comprendre pourquoi ces hexagones ont tendance à se présenter par paires - en termes informatiques : des diagrammes d’activité et d’état. Ces diagrammes sont caractérisés par une invariance dans les positions de concepts qui, bien que très génériques, sont suffisamment précis pour guider les recherches si l’on veut utiliser cette approche diagrammatique comme outils pour analyser un domaine ou développer des concepts.

De façon assez magique, ce diagramme aide à la conceptualisation. J’illustrerai son usage dans le contexte de la radioastronomie et montrerai en particulier que les objets qui le constituent, des concepts du domaine de métier, sont eux-mêmes de semblables diagrammes. Ce diagramme fermé dans son langage interne, la partie constituée de l’hexagone semble donc n’avoir ni début ni fin en ‘profondeur’, l’axe sémantique s’engendrant par la définition des types et termes à l’extérieur. Parmi ces concepts très génériques se trouve l’émergence. Je montrerai qu’en physique expérimentale, cette émergence s’identifie le plus souvent à la calibration de l’instrument de mesure.

Au niveau informatique ce diagramme se retrouve dans la conception de ce qu’est un type. Il transparait donc au niveau même de la grammaire des langages. On se retrouve donc dans la situation de formaliser des concepts à l’aide d’un langage qui, dans sa grammaire, est bâti sur ces mêmes concepts. De façon plus philosophique, nous pourrions nous poser la question du pourquoi de cette connivence entre la forme (qu’elle soit au niveau du langage, des signes ou d’une simple géométrie) et cette matière ou le rayonnement, des éléments a priori tangibles de la physique au moins au niveau macroscopique!

J’utiliserai ce diagramme pour poser cette question.

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« Annoncer Égalité ’68 »

(Séance mamuphi du 2 février 2013)

Il s’agit de présenter, sous cet intitulé générique, le travail en cours pour composer, à l’horizon du cinquantième anniversaire de Mai 68, une vaste œuvre musicale en quatre parties (disons : une tétralogie). Il s’agit ce faisant d’annoncer au présent un projet, autant dire l’actualité d’un futur : une possibilité ébréchant le moment en cours.

Cette séance portera plus spécifiquement sur le travail prosodique et musical engagé sur les six langues destinées à opérer comme personnages à l’œuvre : l’anglais, l’allemand, le russe, l’arabe (littéraire), le latin (d’Église) et le français.

D’où trois questions :

1.     Qu’est-ce qui, dans ce contexte d’une œuvre musicale composite, spécifiera chacune des six langues, au fil d’une juste violence musicalement exercée sur leur génie propre ?

On appellera brutalité son contraire : une violence injuste.

2.     Quels rapports ces individualités spécifiques sont-elles susceptibles de nouer entre elles ?

3.     Comment composer un collectif-Babel à partir de ces langues individuelles ?

L’examen de ces questions nous amènera à formaliser notre ensemble de six langues selon cet hexagone logique des oppositions :

On présentera alors les œuvres littéraires qui donneront corps à ces différentes langues : celles de George Oppen [spécifiquement Of being numerous (1968)] d’Ingeborg Bachmann [spécifiquement Die Wahrheit ist dem Menschen zumutbar (1959) - On peut exiger de l’homme qu’il affronte la vérité], de Nadejda [spécifiquement ses mémoires : Воспоминания (1970) – en français : Contre tout espoir] et Ossip Mandelstam, d’Adonis [spécifiquement son Manifeste du 5 juin 1967] et de Salvien de Marseille [spécifiquement De gubernatione Dei (milieu du V° siècle)] ; la langue française, au statut spécifique, sera portée par différents auteurs.

On examinera ensuite comment dialectiser égalité individuelle et liberté collective relativement à ces six langues-personnages.

On appellera liberté-Pentecôte cette conquête du collectif-Babel.

En particulier, comment ces acteurs singuliers peuvent-ils être aptes à composer successivement une libre manifestation (I : le 21 février 1968), un libre rassemblement (II : le 1° mai 1968), de libres lieux idéologico-politiques (III : usines et facultés en grève pendant le mois de mai 1968), une libre réunion politique (IV : au cours du mois de juin 1968).

On esquissera enfin le dispositif instrumental et vocal prévu pour cette entreprise compositionnelle au long cours.

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Sur le corps à quatre éléments se combinent, suivant un dispositif hexagonal, 12 logiques booléennes isomorphes et distinctes, dont les algèbres de fonctions logiques sont donc isomorphes à l'algèbre de Post-Malcev $P_2$, pour produire une logique dont l'algèbre des fonctions est l'algèbre de Post-Malcev $P_4$, que l'on comprendra comme borroméenne de quatre façons ou modes. De surcroît il existe 12 spéculations où points de vues (ou notes) dont on peut jouer pour annoter des formules classiques, et qui engendrent encore la même logique borroméenne. On dispose ainsi d'un outil détaillé en un formulaire explicite pour rompre les paradoxes logiques et pour faire entendre leurs sens. Dès lors se pose la question de comprendre le sens comme une composition sur ces 12 notes.

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La généralisation de la sextine du troubadour Arnaut Daniel par Antoine Tavera et Raymond Queneau a donné lieu à une vaste exploration d'un petit morceau du groupe des permutations sur n lettres et a donné naissance à de nombreuses formes poétiques originales. On essayera d'interpréter cette stratégie de composition poétique et on posera une question aux  musiciens.

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De l’hexagone logique en matière d’œuvre musicale composite

(mamuphi, Ens - 7 janvier 2012)

François Nicolas

De quelle manière l’hexagone logique des contraires dégagé par Robert Blanché et développé par Jean-Yves Beziau peut-il orienter une formalisation de la logique propre au discours musical, y compris au discours si spécifique de l’œuvre musicale composite (ou mixte) ?

On examinera ces points mamuphiques à l’ombre de l’orientation philosophique suivante : les véritables décisions sont d’ordre ontologique (et non pas logique), et les délibérations logiques qui les suivent (nullement qui les précèdent) s’attachent alors à en évaluer les conséquences phénoménologiques dans une situation ontique donnée.

I

On montrera d’abord de quelles manières cet hexagone

1.      met en scène trois figures distinctes de la négation logique :

—      la négation classique des contradictoires [rouge] ;

—      la négation intuitionniste des contraires [bleue] ;

—      la négation paraconsistante des sub-contraires [verte] ;

2.      restitue ce faisant les trois types philosophiques de synthèse distingués par Deleuze :

—      la synthèse connective (celle d’un « donc »),

—      la synthèse conjonctive (celle d’un « et »),

—      la synthèse disjonctive (celle d’un « ou » exclusif) ;

3.      articule, par son système d’implication, deux types d’objets :

—      des produits (dotés d’un contradictoire et de deux contraires) ;

—      des sommes (dotées d’un contradictoire et de deux subcontraires).

Hexagone logique (sa syntaxe & une sémantique possible)

II

On entreprendra d’approprier cette structure logique à la discursivité proprement musicale en posant qu’en musique, la négation est essentiellement une altération (Veränderung).

On spécifiera ainsi le travail du négatif en musique selon trois principes, venant contraposer logique musicale et logique aristotélicienne :

—      Le principe de différenciation s’opposant au classique principe d’identité : aucun terme n’est, posé deux fois, identique à lui-même si bien qu’en musique, répéter, c’est altérer.

—      Le principe de négation contrainte s’opposant au classique principe de non-contradiction : tout objet musical posé doit se composer avec son contraire, c’est-à-dire se composer en devenir (avec sa propre altération).

—      Le principe du tiers obligé s’opposant au classique principe du tiers exclu : tout terme musical posé (A) doit se composer avec un autre terme (B), autre que la négation en devenir du premier (A’).

Ces trois principes, qui configurent la composition musicale comme interaction minimale entre trois objets - un objet premier A, son altération A’ et un autre objet B – conduiront à la construction de deux hexagones musicaux : l’un rapportant des relations spécifiquement musicales (identité/répétition – altérité constituante/altération constituée), l’autre rapportant des types d’objets spécifiquement musicaux (thèmes/cothèmes - objets génériques/motifs constituants…).

III

Qu’en est-il alors de cette logique musicale dans ces œuvres composites qui entrelacent deux logiques discursives hétérogènes : celle de la musique et celle d’un flux non musical accueilli dans l’œuvre en question ? Qu’en est-il en particulier quand ce flux non musical est le flux sonore et signifiant d’un discours tenu en langue arabe ?

Pour ce faire, peut-on identifier, dans la grande langue arabe littéraire, quelques manières spécifiques de donner forme discursive au travail du négatif ?

On examinera, pour ce faire, trois modalités caractéristiques de cette discursivité « arabe » qu’on tentera de formaliser selon les principes logiques organisant notre hexagone :

—      la parataxe, si cardinale en langue arabe, qui constitue un mode spécifique d’implication par apposition de blocs ;

—      le Diddun – soit ce type de mot venant indexer simultanément une chose et son contraire – qui somme des contraires selon l’unité disjointe d’une alternative ;

—      l’hapax comme exception produite par une double négation (selon le modèle « Nul dieu sauf Dieu ! ») où la négation d’une négation contraire génère un contradictoire singulier.

On aboutira ce faisant à l’hexagone suivant :

IV

Sur ces bases, on tentera de mettre nos hexagones « musicaux » et « arabe » en raisonances en sorte de clarifier l’intention/intension compositionnelle suivante : comment une œuvre musicale composite pourrait-elle entreprendre d’avouer musicalement quelque(s) secret(s) de la langue arabe, sachant bien sûr que « ce n’est pas parce qu’on l’avoue qu’un secret cesse d’être un secret » (Jacques Lacan) ?

On devinera qu’il s’agira ici de conclure - tout à fait provisoirement ! - sur ce qu’un tel type d’œuvre musicale mixte pourrait avoir de spécifiquement concret.

[13] Cette séance se propose d’ouvrir une discussion sur quelques enjeux de la démarche phénoménologique à partir des problèmes théoriques posés par la formalisation algébrique et catégorielle en musique. L’approche transformationnelle en théorie et analyse musicales soulève en effet des questions philosophiques intéressantes, notamment dans ses rapports avec la phénoménologie husserlienne et les sciences cognitives. On se propose de confronter ce point de vue avec d’autres lectures de la phénoménologie dans ses relations avec la pensée mathématique contemporaine en montrant, ainsi, toute l’actualité de l’approche phénoménologique dans les (neuro)sciences cognitives. En s’appuyant sur une double formalisation de la phénoménologie, l’une issue des modèles morphodynamiques et l’autre de la théorie des catégories, on posera la question du rapport entre phénoménologie et structuralisme en ouvrant le débat sur la possibilité d’une coexistence d’une démarche structurale et d’une approche phénoménologique en sciences humaines. On avancera donc en conclusion l’hypothèse d’une pertinence de la catégorie de « structuralisme phénoménologique » dans une relecture/réactivation de la tradition structurale tout en montrant les implications d’une telle entreprise au sein d’une théorie mathématique de la musique.

Références bibliographiques et documents préparatoires disponibles à l'adresse :

http://repmus.ircam.fr/moreno/mamuphi

[14] Depuis le développent de la théorie des catégories par Eilenberg et Mac Lane (1945) à travers le concept de foncteur, cette théorie a été maintes fois reprise par les philosophes des mathématiques pour remettre en cause le statut que la théorie des ensembles détient depuis le début du XXème siècle, comme sol fondateur pour les objets mathématiques.

Quelles que soient les différentes approches de cette question, il est certain que la théorie des catégories rend possible une localisation de la théorie des ensembles dans un contexte plus large où la perspective ensembliste n’est plus qu’un mode d’expression mathématique parmi d’autres. Ces modes d’expression concernent des formes invariantes ou covariantes qui, à leur tour, peuvent ne pas appartenir de manière univoque à l’une ou à l’autre forme.

Cette situation a ainsi provoqué une relativisation de la perspective ensembliste en matière de fondements des mathématiques, au point qu’un commentateur comme J. T. Bell a pu comparer la théorie des catégories à la relativité restreinte einsteinienne, capable d’expliquer la mécanique newtonienne comme l’un des cas possibles d’une physique élargie.

Dans mon intervention je me propose d’examiner l’argument de Bell concernant cette vision « relativiste » dans le but de critiquer sa compréhension des suppositions ensemblistes qu’il cherchait à réfuter.

En m’appuyant sur cette critique de Bell, je vais souligner la différence entre, d’une part, l’approche de l’ontologie des objets mathématiques propre à la « philosophie des mathématiques » et, d’autre part, le traitement de la pensée  mathématique propre à Alain Badiou pour qui les mathématiques seraient l’ontologie en tant que telle.

Enfin, j’interrogerai les possibles conséquences de ce processus de localisation ou de « relativisation » lorsqu’il est appliqué à l’interprétation ensembliste de la thèse « mathématique=ontologie » exprimée dans L’être et l’événement.

[15]

Nancy Diguerher-Mentelin - D’Alembert-Rameau-Rousseau (& Diderot) : « mamuphi » au cœur des Lumières ?

L’objet de cette conférence est d’ouvrir un espace de visibilité pour ce croisement interdisciplinaire hautement fécond qui s’est noué autour de Jean-Philippe Rameau au beau milieu du XVIIIe siècle. Alors que ses œuvres et sa théorie sont respectivement arrimées à une ère musicale et  philosophique sévèrement mise à mal vers 1750, c’est à cette époque qu’adviennent les rencontres décisives qui feront de lui un penseur écarté des Lumières, et pourtant si intimement lié à leur émergence. 

Très précisément, l’année 1749 est celle où, réagissant à la théorie mais aussi à la musique ramistes, Rousseau, Diderot et d’Alembert apportent tour à tour leurs premières grandes contributions à tout ce qui façonnera la postérité de Rameau. C’est alors que se configure cet espace de confrontation tout-à-fait inédit où la voix du compositeur se met à résonner sur plusieurs dimensions : en même temps qu’elle excite l’hostilité de Rousseau, qui s’éveille contre elle à sa propre vocation philosophique, sa rencontre avec Diderot lui donne un tout nouvel essor, aussi décisif pour le musicien que stimulant pour l’écrivain, alors que ses premiers échanges avec d’Alembert portent en eux les germes de la puissante controverse à venir. 

Notre propos sera donc de dégager les grandes lignes de force de cet épisode 1749 essentiel dans la trajectoire intellectuelle de Rameau, et doté également d’une incidence très neuve et caractérisée sur les orientations respectives de pensées qui sont celles de Rousseau, de Diderot et de d’Alembert : si le projet encyclopédique commun de ceux-ci se présente en écartant Rameau, force est de constater qu’aucun d’eux ne s’est, sans lui, engagé sur ces voies qui les feront tant connaître.

Nous tâcherons ainsi de faire émerger un moment important dans l’avènement des Lumières, où le mathématicien, le musicien et le philosophe se rencontrent pour la première fois en une scène où Diderot, écrivain et critique d’art, se sent lui aussi un rôle à jouer.

[16] Partant des structures algébriques et topologiques en Théorie des Catégories, il est intéressant d'ouvrir les structures topologiques à la prétopologie d'Alexander Grothendieck puis de Marcel Brissaud pour s'apercevoir d'une part que tout est fondé sur l'homomorphisme et la transitivité, et d'autre part qu'il existe dans des travaux parallèles de l'auteur depuis 1967 des notions de « trans-combinaison » et de « prétopologie » dès 1971.

La non-transitivité et l'hétéromorphisme introduisent aux textures prétopologiques (sonores et visuelles au départ, puis généralisées) qui s'avèrent propices à la recherche d'esthétiques musicales et visuelles (voir la suite de l'UPIC - Iannis Xenakis - conçue par l'auteur de l'exposé).

Une façon peut-être d'ajouter au "théorème du sandwich au jambon" d'Hugo SteinHaus repris par Stephan Banach (1938) le "théorème de la soupe de légumes" (PSJ, 2012) en sorte de ne plus avoir peur du mélange, de l'amalgame et des co-polymères.

[17]

Le jugement s'établit dans un topos; la perception, relative au Deux, suppose une structure plus légère qu'une flèche d'une catégorie. En dépointant une arête du graphe sous-jacent de celle-ci, on obtient une spire et l'on peut dessiner l'esquisse d'une telle structure.

On observe alors une genèse du nombre:

-      le monde du Quatre, les ensembles avec leurs éléments

-      le monde du Trois, les catégories avec flèches et boucles

-      le monde du Deux : les spires

-      quid du monde du Un, les pôles ? Ces pôles peuvent être de dimension des questions, des valeurs.

En musique, le monde du Trois s'apparente à une partition, suite de notes discrètes, alors que le son écouté s'apparente à la perception.

Chaque monde a un mouvement spécifique (rotation, spire ou pulsation), une attitude par rapport à la négation, un sens de l'identité.

Cette genèse du nombre s'accompagne d'une genèse du trait : représentation graphique de structures cognitives. Pour enrichir le graphisme, chaque monde peut être associé à une couleur, en accord avec les liens logiques de J-Y Beziau.

Enfin, plutôt que de juxtaposer (projeter) les mondes, on peut décrire la genèse du jugement à partir de la perception (basée sur des remarques de Merleau-Ponty) et s'interroger sur une genèse des pôles à partir de limites de spires.

[18]

La phénoménologie et la recherche de pulsars : les catégories seraient-elles opératoires pour les méthodes de mesure et d'approximation?

Après une introduction brève à la phénoménologie des pulsars telle qu'elle est considérée aujourd'hui, nous nous intéresserons au problème spécifique de recherche "aveugle" de signaux pulsés (périodiques), c'est-à-dire sans connaissance à priori des éphémérides. Nous donnerons un aperçu de l'état de l'art tout en soulignant les limitations méthodologiques, notamment en ce qui concerne le déficit de rapport (mais aussi d'apport) des mesures locales (périodes courtes) quant aux propriétés temporelles globales (longues périodes) des pulsars.

Un discussion avec René Guitart permettra ensuite de se poser la question de savoir si une formulation catégoricienne de cette problématique pourrait être pertinente, et si oui en quoi.

[19] Ecouter Allegro sostenuto, c’est « s’exposer » à un instrument, celui, ad hoc, que Lachenmann a « construit » et que désigne tout autant ce titre que l’œuvre elle-même. Cet instrument, c’est en l’occurrence le « pianoclarinettevioloncelle » en tant qu’il est agi par diverses actions physiques en interaction, des familles de « gestes », les uns regroupés par leurs effets (« Tonloss » de souffle, d’archet ou de pédale par exemple), les autres par leurs causes (raclements de cordes etc.).

Ecouter Allegro sostenuto, c’est alors « faire l’expérience » du paysage sonore qu’offre à nos sens le dépliement temporel de cet instrument, traverser et se laisser traverser (par) « l’arpège » que présente son exploration et en quoi consiste sa forme.

Pour singulière qu’elle est, cette approche « existentielle » de la composition n’en est pas moins un dialogue tendu tant avec d’autres œuvres musicales qu’avec la pensée de son temps.

Les enjeux de Allegro sostenuto se laissent alors cerner d’un triple point de vue.

     - Généalogique : dialogue avec d’autres œuvres de Lachenmann (Ausklang, Serynade), Varèse, Boulez, Nono, mais aussi avec une certaine tradition des « Nachtmusik » et tant d’œuvres de différentes époques qui affleurent ici ou là comme des « souvenirs » musicaux que Lachenmann croise au gré de son aventure et salue comme autant d’ « amis ».

     - Archéologique : souci de prendre en charge les questions musicales léguées par la fin de la tonalité à travers ce qu’il appelle une « réflexion sur les moyens », à savoir la tonalité (en tant qu’elle définit le paradigme hérité qu’il s’agit de dépasser), l’acoustique, la structure et l’aura.

     - Esthétique : résonance de son œuvre (musique et texte) avec la pensée de philosophes (Adorno, qui semble avoir largement structuré sa formation intellectuelle, et, à certains égards, Deleuze, Lacoue-Labarthe) et de poètes (Pessoa-Caeiro, Celan).

Se fait alors jour une inclinaison générale relevant moins d’une entreprise de « déconstruction » de la musique que d’une volonté obstinée de la continuer.

[20] Si la notion d’idée musicale émerge dans les écrits de Pierre Boulez au tournant des années 1980, elle fut déjà l’objet d’une profonde réflexion de la part d’Arnold Schoenberg, qui la définissait d’abord comme une relation purement musicale entre sons. Sur cette base, nous soumettrons Dérive 1 (1984) à une étude visant à rendre compte des différentes relations musicales qui la constituent ainsi que des procédés sur lesquels celles-ci reposent. Nous mettrons alors au jour les enjeux propres de cette pièce et les problématiques qu’elle soulève.

Ceux-ci seront surtout révélés par une confrontation avec le Klavierstück opus 33a (1928) de Schoenberg, qui nous permettra de dresser une certaine généalogie, notamment autour de la récupération d’un contrôle de l’harmonie par les moyens sériels. L’analyse de leurs divergences, quant à la forme et l’action de cette tentative sur la perception de l’œuvre, nous permettra de montrer que sous cette question se dessine une dialectique, fondamentale pour le XXe siècle, entre l’indétermination et l’écriture. Nous verrons alors que ces deux pièces marquent les frontières extérieures d’une situation esthétique représentée par l’œuvre ouverte.

A partir de leur position respective, nous montrerons enfin que Schoenberg rend musicalement compte d’une certaine « fin de la métaphysique » annoncée par Heidegger, tandis que, avec Dérive, Boulez semble rejoindre Badiou pour décréter la « fin de toutes les fins » et ajouter ainsi un point à la « constellation affirmative ».

[21] 0. Prélude: Brève réflexion sur l'orthographe allemande

1. Synesthésie romantique

2. Rilke et Trakl à l'époque de la Sprachkritik

3. « L'alliance de la musique avec le verbe » dans le Docteur Faustus de Thomas Mann

[22]

Extension de Kan et écoute musicale « élargie » d’une œuvre musicale « mixte »

(mamuphi, 9 octobre 2010)

F. Nicolas

« Aujourd’hui, la musique a besoin de quelque chose d’hétérogène pour rester art. » (d’après Adorno) [1]

Il s’agira d’examiner l’aptitude d’une notion mathématique – celle d’extension de Kan [EK] - à formaliser ce que nous proposons d’appeler l’écoute musicale élargie d’une œuvre musicale mixte [OMM].

Nous repartirons pour cela des résultats d’un précédent travail (présenté en mamuphi le 10 octobre 2009 et disponible sous forme du chapitre D.II d’un prochain livre – le monde-Musique - à paraître en 2011) [2]. On y thématise l’OMM (ou œuvre musicale accueillant en son sein un flux hétérogène – texte, chorégraphie, vidéo… - sans pour autant l’homogénéiser à la musique ou se contenter de l’accompagner musicalement) comme « extension auratique de l’œuvre musicale ».

On se demandera alors : existe-t-il, corrélativement à l’extension de l’objet musical en question, une extension de son écoute (soit une extension d’un rapport musical à cet objet étendu) ? L’écoute musicale de l’OMM peut-elle être ainsi pensée comme une extension de l’écoute musicale « ordinaire » ? Dans quelle mesure l’OMM invente-t-elle une écoute proprement musicale du flux non musical accueilli ? Par exemple, y a-t-il une manière proprement musicale d’écouter le poème chanté par/dans un lied ?

C’est en ce point que la notion mathématique d’EK va être mobilisée (quand celles d’extensions algébrique et générique nous avaient éclairés sur l’extension d’objet constituant l’OMM).

On commencera par rappeler les notions techniques de foncteurs adjoints et d’extension de Kan.

On formalisera ensuite notre problème avec ces notions en sorte de préciser ce que l’énoncé suivant veut dire : « l’écoute musicale de l’OMM est formalisable comme EK d’une écoute de la musique à l’œuvre ».

On en viendra à la question suivante, mathématiquement délicate (« non triviale » nous disent Barr & Wells) [3] mais musicalement essentielle : cette extension d’écoute est-elle constructible pas à pas (« pointwise » disent les anglo-saxons) ? Soit, en première approche : cette écoute musicale élargie est-elle constructible localement à partir de l’écoute musicale ordinaire ou relève-t-elle d’une édification globale, sans embrayage local ?

On thématisera d’abord ce que « construction point par point » (pointwise) veut mathématiquement dire (au moyen de différents exemples mathématiques) et on examinera ensuite son ajustement à notre question, ce qui reviendra à examiner techniquement le point suivant : dans quelles conditions un extension de Kan est-elle constructible point par point ?

On s’appuiera, pour ce faire, sur trois présentations mathématiques :

—      celle de René Guitart lors de son quatrième cours mamuphi « Catégories et structures » du 6 mai 2010 [4]

—      celle de Barr & Lane dans Toposes, Triples and Theories (Kan extensions : p. 56-61)

—      celle de Mac Lane dans Categories for the working mathematician (chap. X : Kan Extensions) [5]

On s’attaquera ensuite à la démonstration mathématique du théorème suivant [22] : « dans certaines conditions, la construction point par point d’un foncteur adjoint par limites (ou colimites) produit une extension de Kan à droite (ou à gauche) ».

On examinera ce que ce développement mathématique éclaire quant à notre problème musical.

On en conclura trois points, intéressants directement l’intellectualité musicale de l’OMM :

1.      Une écoute musicale élargie s’affirme immédiatement à une échelle globale sans transiter par une construction localement constituée.

2.      L’éventuelle décision musicale qui imposerait a contrario un embrayage local, un contrôle point par point, une constructibilité généralisée du rapport auditif à l’OMM (on la nommera « décision boulézienne »), conduirait à thématiser ce rapport auditif comme simple perception/audition et non comme écoute musicale proprement dite.

3.      La vertu musicale propre de l’OMM réside ainsi en une dialectique entre construction point par point de son aura poétique et écoute globale du flux hétérogène qui l’a fécondée.

Soit la conclusion très simple suivante : le lied (par exemple) ouvre à une écoute proprement musicale de son poème mais, si ce lied construit bien ponctuellement son extension auratique (comme on l’a montré en octobre 2009), pour autant l’écoute musicale de ce lied balance entre écoute de proche en proche au fil de la musique et écoute uniquement globale de l’intension du poème.

Au total, l’OMM est une extension localement constituée mais l’extension de son écoute est globalement constituante d’une écoute musicale de l’hétérogène.

[1] Son énoncé exact est : « L’art a besoin de quelque chose qui lui est hétérogène pour devenir art. »

[2] Il est disponible à l’adresse http://www.entretemps.asso.fr/maths/D.II.pdf

[3] Toposes, Triples and Theories - p. 57

[4] http://www.entretemps.asso.fr/maths/Cours4.htm

[5] Plus spécifiquement ici X.3

*

[23]

Extensions de Kan et transformée de Fourier

F. Jedrzejewski

Après un rappel sur les extensions de Kan et l'intérêt de la transformée de Fourier pour la musique, nous présentons les généralisations qui ont eu lieu à partir du théorème de dualité de Pontryagin (1934), établies d'abord pour les groupes non commutatifs par Tannaka (1938), puis étendues aux algèbres de von Neumann et de Kac dans les années 1970.

Les constructions catégorielles récentes définissent les transformées de Fourier à droite et à gauche dans des catégories promonoïdales comme des extensions de Kan.

Nous présentons l'idée de cette construction et vérifions que cette transformation a les propriétés usuelles d'une transformée de Fourier, en particulier, qu'elle préserve les convolutions et la relation de Parseval.

[24] "Classiquement" la Théorie des Catégories étudie les propriétés des catégories, foncteurs et transformations naturelles. Ce que j'appelle méthodes "transcendantes" est l'utilisation, pour l'étude de ces notions, de "foncteurs généralisés", les distributeurs que je définirai et dont je donnerai quelques propriétés.

Puis je donnerai quelques exemples de leur utilisation en théorie "classique" des catégories. Mais ils ont une "vie propre" et j'indiquerai comment on peut élaborer toute une "théorie non classique" en les utilisant.

[25] Les pages que Schopenhauer a dédiées à la musique sont profondément liées à la fois à sa métaphysique et à la culture musicale de son temps. Elles présentent des idées qui ont eu une importance fondamentale dans notre culture: la supériorité de la musique instrumentale ou musique « absolue », la vision romantique de la musique comme langue universelle, et encore la puissance expressive de la musique.

On propose ici d’analyser la philosophie de la musique de Schopenhauer en relation à ces contextes. On pourra apprécier le fait que, pendant les dizaines d’années de son activité, la réflexion de Schopenhauer sur la musique a introduit d'assez importantes transformations conceptuelles.

[26] On se propose de décrire le modèle d'Ising , en termes physiques et combinatoires. Puis on posera le problème de la limite thermodynamique et de la limite continue, menant à la notion de domaine (de Weiss). On introduira ensuite les notions diverses d'entropie, et les théorèmes de concentration correspondants. On sera alors équipé pour des applications à la physique statistique, la chimie, la biologie ...

[27]

École mamuphi de musique, pour philosophes et autres non-musiciens :

Les enjeux (généalogiques, archéologiques et esthétiques) d’une œuvre musicale

Le projet est d’introduire les auditeurs (en particulier ceux qui ignorent le solfège) aux enjeux musicaux d’une œuvre.

Si les enjeux musicaux d’une œuvre se donnent dans la dialectique interprétative d’une écoute et d’une lecture de la partition, le défi de cette école est alors d’ouvrir un accès à la partition d’une œuvre pour qui ne sait la lire (sans pour autant transformer bien sûr l’école en classe de solfège).

Chaque leçon s’attachera à une œuvre pour en dégager les enjeux musicaux contemporains (s’entend : pour un aujourd’hui musicien de la création musicale).

Les enjeux seront dépliés selon un triple point de vue :

généalogique : avec quelles œuvres musicales cette œuvre dialogue-t-elle ?

archéologique : comment cette œuvre rétroagit-elle sur l’état du monde de la musique dans lequel elle s’enracine ?

esthétique : de quelle époque de pensée cette œuvre musicale se veut-elle contemporaine ?

Chaque œuvre sera présentée par un musicien qui s’attachera à détailler pour quiconque sa partition, ses interprétations significatives et une écoute possible.

[28] On commencera par une analyse musicale qui aborde l’œuvre selon son écoute (la musique n’est-elle pas l’art spécifique de l’écoute ?).

Pour ce faire, on repèrera d’oreille (à un type très spécifique de fluidité rythmique faisant trou dans l’ordre musical du discours) un moment singulier intervenant dès les premières mesures (mes. 18-19), moment qui s’avère susceptible d’orienter l’écoute globale de l’œuvre (on appelle moment-faveur ce type particulier de moment).

On analysera, cette fois partition en mains, ce moment pour en dégager la figure de crux rythmique (en reprenant à Ralf Kirpatrick analysant les sonates de Scarlatti le terme de crux pour l’approprier à un tout autre contexte).

De quelle manière ce moment-faveur oriente-il l’écoute en lui proposant un fil rouge, traversant l’œuvre de part en part?

On dégagera d’abord le double striage extrêmement contraignant qui ossature l’œuvre d’un bout à l’autre : en termes de rythmes d’une part (trains d’impulsions régulières) et de hauteurs d’autre part (séries tous intervalles inscrites verticalement).

On exhaussera alors la fluidité affleurant lors du moment-faveur comme index d’une subjectivité musicale parcourant fantasmatiquement le territoire rigoureusement balisé selon des lois inapparentes.

On dégagera ce faisant comment un contraste local entre deux voix s’accorde, au fil de l’œuvre, à un contraste régional entre deux tempi comme à un contraste global entre deux allures en sorte, au bout du compte, d’entendre la figure de crux comme constitutive de l’intension musicale stratégique ici à l’œuvre.

À partir d’une telle intelligence musicale de l’œuvre, on examinera ses enjeux généalogiques (la généalogie de l’œuvre est simultanément schumanienne et sérielle, ce qui suffirait en soi à l’inscrire comme singularité…), archéologiques (ce que, dans le monde-Musique contemporain, figure peut vouloir dire s’il ne s’agit plus d’un thème ou même d’un objet musical proprement dit) et esthétiques : quelles raisonances avec le travail freudien du rêve (condensation et déplacement) et avec une problématique de la subjectivité comme traversée hasardeuse d’un esplace institutionnellement réglé ?

[29]

Théoriser l’engendrement d’une aura poétique par l’œuvre musicale mixte à la lumière mathématique du forçage (P. J. Cohen) d’une extension générique

On partira de deux hypothèses.

1) La première est de fond : les œuvres musicales mixtes (celles qui mettent en œuvre deux déroulements temporels synchronisés : texte, danse, film, action scénique…) peuvent engendrer une aura poétique, qui constitue une sorte d’extension enveloppant l’œuvre de départ - cette hypothèse est suggérée par la théorie wagnérienne du drame (Opéra et Drame, 1850) qui prône une musique poétiquement fécondée.

2) Comment théoriser expérimentalement la constitution musicale d’une telle « aura poétique » ? C’est là qu’intervient notre seconde hypothèse, cette fois de méthode : éclairer une telle théorisation par la mathématique des extensions, plus précisément du forçage (forcing) d’extensions génériques (P. J. Cohen).

Ceci engage un programme de travail mamuphi 2009-2010 : l’exposé (qui, au demeurant, ne supposera nulle compréhension préalable de la mathématique du forcing – on présentera liminairement sa dynamique générale) sera donc problématisant plutôt qu’il n’offrira un fascicule de résultats (voir, en annexe, le fascicule de résultats pour le programme 2008-2009).

Les principales idées qui vont guider cette théorisation musicienne à la lumière des mathématiques sont les suivantes :

1.      Une œuvre musicale mixte compose des interactions entre flux temporels synchrones.

2.      Ces interactions seront formalisées comme interférences entre différents types de segmentation (segmentation proprement musicale, segmentation littéraire ou chorégraphique…).

3.      Dans une œuvre musicale mixte, c’est la musique qui dirige ces interactions, ce qui implique une violence musicale exercée sur le flux hétérogène que l’œuvre accueille et épouse.

4.      La composition proprement musicale d’une extension auratique mobilise la « convolution » de deux opérations inverses : une « modulation » de la segmentation musicale par la segmentation hétérogène, puis une « rétroaction » de la segmentation musicale ainsi modulée sur le flux hétérogène.

5.      Dans la première opération – « modulation » -, la musique fait violence au flux hétérogène en déposant son inspect propre (tout en captant son aspect et épousant son intension). Dans la seconde opération – « rétroaction » -, la musique fait violence au flux hétérogène en le remodelant selon un inspect musical importé, non natif.

6.      Au total, l’œuvre musicale mixte sera ainsi ressentie comme étendue (dotée d’une aura), la pointe de la théorisation, guidée par la problématique mathématique du forcing, étant alors d’examiner de quelle manière il est possible de contrôler, de l’intérieur même de la musique (compositionnellement donc), une telle extension auratique non musicale (tout de même que la mathématique contrôle une extension algébrique du corps des rationnels ℚ de l’intérieur même de l’espace des polynômes à coefficients dans ℚ et tout de même que le forcing contrôle l’extension M[G] de l’intérieur même de l’espace de départ M).

Annexes

Documentation mathématique sur le forcing des extensions génériques (Paul J. Cohen)

·    Thomas Jech : What is forcing ?

www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Jech.pdf

·    Timothy Y. Chow :

o    Forcing for dummies

www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Dummies.pdf

o    A beginner’s guide to forcing

www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Chow.pdf

·    Patrick Dehornoy : La méthode du forcing

www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Dehornoy.pdf

Fascicule de résultats du programme de travail (2008-2009) sur la théorie des faisceaux

·    Objets : l’objet musical (le morceau de musique) est un faisceau.

B.VIII : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.VIII.pdf

·    Relations : mais les plus musicales des relations entre ces objets (leurs influences réciproques) ne sont pas des morphismes (de faisceaux).

B.IX : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.IX.pdf

·    Topos : au total, le monde-Musique (fait de ces objets et de leurs relations c’est-à-dire des morceaux de musique et de leurs influences musicales) n’est donc pas un topos de faisceaux.

B.X : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.X.pdf

[30]

Logics and Music Theory appear in different classifications of the medieval academic curriculum. Logic is part of the trivium (among grammar and rhetoric, while music theory is listed among the more mathematical disciplines: arithmetic, geometry and astronomy). Logics as the study of reasoning underwent a tremendous transformation through a process of formalization and mathematization. Music Theory opened its scope to many non-mathematical aspects (in particular those, traditionally covered by the disciplines of the trivium). This "contrary motion" of research interest offers several meetings points for Logics and Music Theory. One particularly interesting 19th century meeting point shall be the starting point for my talk which then proceeds into 20th century Logics and Mathematical Music Theory.

Moritz Hauptmann (1953) in his treatise "Die Natur der Harmonik und der Metrik: Zur Theorie der Musik" presented some ideas which mark a radical position in the context of this MaMuPhi session. Hauptmann interprets music first of all as a manifestation of human thought. While assuming general dialectical principles behind the activity of human thought he claims that musical mistakes are logical mistakes. According to Hauptmann the unity of a tonality (Tonart) is the result of a dialectical triad. Inspired by the idea to literally interpret the musical triad as a dialectical triad, he loads the names of the intervals octave, fifth and third with the corresponding dialectical meanings. A tonality is a kind of hypertriad, i.e. constituted by three musical triads. Their contiguity via common tones is the source for the Quintbegriff of the tonality, a diremption as the result of conflicting tone meanings. The mediating and unifying Terzbegriff is based on a change of perspective: the state of the tonic triad of being a dominant (relative to the subdominant triad) is turned into the state of having a dominant (relative to the dominant triad).

 Hugo Riemann's (1872 and 1874) "Musikalische Logik" is inspired by Hauptmann's ideas. Riemann elaborates upon the explanatory power of this dialectical paradigm for the constitution of typical cadences. I will show some traces of the intellectual squeeze on Riemann when he tries to bring both sides together: the dialectical explanation and music-theoretical facts. [Being in Paris I cannot refrain from re-addressing Riemann's problem with a side glance to the semiotic square].

Riemann's "Musikalische Logik" and "Musikalische Syntaxis" inspired the recent Neo-Riemannian approaches by David Lewin, Richard Cohn, Clifton Callender, Jay Hook, Tom Fiore and Ramon Satyendra and several others. But these left the original dialectical motivations behind. Yet the transformational approaches of David Lewin and Guerino Mazzola offer new ways to tie up with H. Riemann's orphaned project of a "musical logic". My 2004 article "The Topos of Triads" is an attempt in this direction. [In my MaMuX-talk (friday december 4) I will clarify the close mathematical links between these investigations on the one hand and the american Neo-Riemannian tradition on the other]. The locial component which enters music theory here, is the internal logical semantics of a topos, even though in a rudimentary way. I will explain and illustrate this in my talk.

[31]

Cet exposé est divisé en deux parties. Dans la première partie, on discutera le caractère à la fois algébrique et géométrique des approches transformationnelles en musique [Lewin 1987/2007] en séparant la composante proprement théorique des applications analytiques. Dans la deuxième partie, à partir d’une généralisation catégorielle de certaines constructions transformationnelles [Mazzola & Andreatta  2006], on essaiera de donner quelques éléments en vue d’une interprétation philosophique des approches transformationnelles. Bien qu’ayant des rapports étroits avec le positivisme logique [Andreatta 2006], nous proposons une nouvelle lecture philosophique de l’approche transformationnelle visant à élargir les catégories structurales appliquées traditionnellement à la musique more linguistico afin de mettre en lumière des nouveaux enjeux philosophiques relevant du rapport entre structuralisme et phénoménologie [Boi et al. 2007]. Après une brève digression sur la place de la logique dans les approches set-théoriques et transformationnelles [Kolman 1999], on conclura en présentant une démarche récente autour du projet d’une géométrisation de l’analyse musicale basée sur la théorie des orbifolds [Tymoczko 2006 ; Callender et al. 2008] et dépassant, selon l’un des auteurs, certaines limitations de l’approche transformationnelle de David Lewin [Tymoczko 2010].

Références bibliographiques :

·    [Lewin 1987/2007] D. Lewin, Generalized Musical Intervals and Transformations, Yale University Press (réédition Oxford University Press, 2007).

·    [Kolman 1999] O. Kolman, « Generalized interval systems: an application of logic », Orbis Musicae, Rethinking Interpretative Traditions in Musicology, Conference Proceedings, Tel Aviv University, 67-73.

·    [Andreatta 2006] M. Andreatta, « Mathématiques, musique et philosophie dans la tradition américaine : la filiation Babbitt/Lewin », intervention au séminaire MaMuPhi du 18 novembre 2006 [http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1560].

·    [Mazzola/Andreatta 2006] G. Mazzola, M. Andreatta, « From a Categorical Point of View :

·    K-nets as Limit Denotators », Perspectives of New Music, 44(2).

·    [Tymoczko 2006] D. Tymoczko, « The Geometry of Musical Chords », Science 313, p. 72-74.

·    [Boi et al. 2007] L. Boi, P. Kerszberg, F. Patras (éd.), Rediscovering Phenomenology. Phenomenological Essays on Mathematical Beings, Physical Reality, Perception and Consciusness, Springer.

·    [Callender et al. 2008] C. Callender, I. Quinn, D. Tymoczko, « Generalized Voice-Leading Spaces », Science 320, p. 346-348.

·    [Tymoczko 2010] D. Tymoczko, « Generalizing Musical Intervals », à paraître dans Journal of Music Theory

[32]

La modélisation mathématique, par exemple en musique, est basée sur des "structures algébriques" déterminées en général par des lois de compositions binaires. Est-ce naturelle ? Est-ce simple ? En fait il est parfois mieux d'utiliser des lois de compositions  ternaires.

Il arrive alors que les axiomes soient plus naturels, les  calculs plus simples. En fait si ce que l'on modélise est rythmé par 3, si les objets s'y disposent spontanément par 3, alors présenter la situation par un système binaire reste artificiel. C'est comme cette conception malheureuse de Jean Dieudonné qui rejetait les espaces affines au profit des espaces vectoriels ; au prix de l'artifice de fixer une origine dans l'espace, alors que celui-ci est pourtant sans origine. La réduction du 3 au 2 dépend de façon analogue de systèmes de choix artificiels d'origines. C'est possible, cela permet un développement analytique plus élémentaire mais parfois plus aveugle, mais il ne faut pas alors oublié ensuite d'analyser les effets de ces choix, ce qui, en réalité relève d'une petite analyse cohomologique (disons d'effets de torseurs). On gagne par exemple à examiner comme ternaire la loi sur une cubique. Au passage on réexaminera l'idée d'objet borroméen, et le groupe de Klein $G_{168}$ sera revue à l'aide d'une loi ternaire. En fait je montrerai comment en général la représentation du ternaire dans le binaire est possible, à travers notamment un théorème de Post  un théorème de Gluskin-Hoszu,  un théorème de Tamari-Ginsburg, et enfin un théorème de représentation par semi-anneaux. Le résultat est donc, pour les musiciens, qu'ils pourront dès lors commencer certains modèles au niveau de leur naturel ternaire, pour ensuite seulement, si nécessaire pour l'analyse, réduire automatiquement au binaire. Cette démarche peut sembler préférable à celle où d'emblée le modélisateur essaie directement d'utiliser les outils binaires connus à disposition, même si en fait ceux-ci ne s'adaptent que mal, suivant des contorsions difficiles. et incontrôlées.

[33]

1. Du binaire au ternaire pour élargir l'espace

Suivant la Chromodynamique quantique, l'antinomie Noir – Blanc peut s'ouvrir à une nouvelle dimension en passant à la couleur (RVB). On peut donner à celle-ci un sens général qui concerne, non l'œuvre en elle-même, mais le rapport à l'œuvre. Alors Vert dénote le devenir, l'évolution; Bleu : la variance, la latéralité; Rouge : la fondation, le type, l'inscription transverse. Ces nuances se lisent en mathématiques, sur les schémas et sur les textes.

2. Du ternaire au binaire pour intégrer le mouvement

Comme l'ont noté Bailly & Longo, la science décrit des transformations entre deux états supposés définis.Pour intégrer le mouvement dans la pensée (Bergson), il est utile de passer à la tendance ou force. La perception (sans sujet ni objet) se modélise par une spire = une boucle ouverte sans extrémités définies. L'objet se définit alors comme l'invariant dans un cône (selon la démarche de Kant).

3. Du binaire au ternaire pour poser

La perception (binaire) est une interface, une visée. Elle se projette sur des objets se définissant (action modélisée par une boucle), l'autre pôle de cette interface –l'expectative de la visée - est une valeur, question ou grandeur, notions regroupées sous le terme pôle -archétype. Ces pôles jouent différemment dans la négation et suivent un mouvement de pulsation.

Ainsi se dessine un ternaire entre action, perception et pôle, mais ce ternaire concerne trois ordres de choses différents et non plus une transformation.

[34]

Dorothea Graumann, Baronne von Ertmann, est une des pianistes les plus talentueuses au début du XIXème siècle. Elle connut Beethoven au début de sa carrière, se passionna pour sa musique et, selon les mots du compositeur, elle fut capable de l’interpréter comme «la vraie tutrice des créatures de mon esprit» (cité par Walter Riezler, Beethoven). Quand, en 1831, Felix Mendelssohn lui rendit visite à Milan, ils passèrent plusieurs heures ensemble à évoquer la musique de Beethoven. Mendelssohn fut frappé par la narration d’un épisode remontant à vingt ans auparavant. À la suite du deuil infligé par la mort du plus jeune de ses fils, la Baronne avait renoncé à la vie mondaine, et Beethoven lui-même, en craignant de la troubler, avait évité de la voir. Il attendit le retour à la vie et à la musique de son amie, et quand elle se rendit chez lui, il s’assit au piano et murmura une seule phrase : «on va parler par la musique». Il joua durant plus d’une heure et il lui laissa une impression inoubliable, une impression qu’elle expliqua à Mendelssohn avec ces mots: «Il me dit tout, et enfin il me donna réconfort» (l’épisode est relaté par Alexander Thayer, Life of Beethoven ).

L’idée que la musique instrumentale puisse exprimer un langage universel, plus profond et précis que la parole, fut élaborée par les philosophes et les musiciens pendant la première moitié du XIXème siècle. En suivant Haydn et Mozart, Beethoven donna à la musique une capacité expressive inconnue auparavant. Le sujet de l’indépendance de la musique de par rapport à l’expression verbale, que Carl Dahlhaus a brillamment défini «musique absolue», manifeste le changement profond de la notion de musique au XIXème siècle par rapport à l’époque précédente. Cette notion est devenue une part essentielle de notre culture sous le nom d’"esthétique musicale romantique". Elle fut développée par des écrivains romantiques allemands – Ludwig Tiek, Wilhelm Heinrich Wackenroder, E.T.A. Hoffmann entre autres – et par des philosophes à l’âge romantique, notamment par Schopenhauer et Hegel.

La question qui se pose est celle de l’adjectif "romantique". Hoffmann célébra comme "romantique" la musique des grands maîtres du style classique, Haydn, Mozart et Beethoven. Hegel et Schopenhauer proposèrent la notion de "musique absolue" en glorifiant Rossini. Nous essayons d’aborder cette question en examinant les relations entre philosophie, sciences et musique dans les premiers décennies du 19ème siècle.

[35]

·       S’il est vrai que l’intellectualité mathématique trouve son impulsion réflexive dans le geste d’Évariste Galois (1833) décidant que les mathématiques doivent « sauter à pieds joints par-dessus les calculs » pour mieux déployer la puissance formelle de leurs concepts, s’il est vrai que depuis lors se dessine une polarisation du champ mathématique entre d’un côté ce qu’Alain Connes appelle « mathématiques fondamentales » et de l’autre ce que le (néo)positivisme appelle « mathématiques pour la modélisation », comment tout ceci concerne-t-il cette intellectualité musicale mamuphi qui se soucie des raisonances musique-mathématiques ?

·       S’il est vrai que les rapports musique-mathématiques ne sauraient être entièrement réfléchis de l’intérieur de la musique ni de l’intérieur des mathématiques - l’autonomie de pensée de la mathématique n’est pas intelligible de l’intérieur de la musique, et vice versa -, s’il est vrai qu’il faut donc convoquer la philosophie pour s’orienter dans ces rapports, comment la réactivation actuelle du structuralisme conçu comme mouvement philosophique déployé contre le positivisme (et non comme épistémologie des sciences humaines) peut-elle éclairer les débats mamuphi en cours ?

·       S’il est vrai que l’entreprise structuraliste constitue une nouvelle donne en matière de théoricité, où s’affrontent deux modes de théorisation – d’un côté des pratiques théoriques, conjoncturellement situées et subjectivement orientées comme interventions stratégiques s’épuisant dans leurs effets ; de l’autre des théories objectivement applicables, outils venant se déposer et s’ajouter à l’encyclopédie des savoirs -, de quelle manière cette ligne de partage éclaire-t-elle les différentes manières de théoriser la musique à la lumière des mathématiques et à l’ombre de la philosophie ?

Sur la base de réponses à ces trois questionnements, on essaiera de clarifier ce qu’il en est de possibles connivences entre intellectualités mathématiques attachées aux « mathématiques fondamentales » (tout particulièrement celle de Grothendieck) et intellectualités musicales attachées à des pratiques théoriques mathématiquement éclairées et s’inscrivant ainsi dans la droite ligne de cette déclaration, contemporaine de la fondation ramiste de l’intellectualité musicale : « Ce n'est que par le secours des Mathématiques que mes idées se sont débrouillées. » (Rameau).

On exposera à ce titre un programme de travail visant à éclairer le monde de la musique par les concepts mathématiques de faisceaux et de topos (Grothendieck / Lawvere). On l’initiera en formalisant mathématiquement l’idée suivante : une œuvre musicale est un faisceau d’interprétations, le faisceau des interprétations d’une partition donnée. Ceci ouvrira à une formalisation possible du monde de la musique comme topos d’œuvres.

[36] Les productions des langues naturelles se présentent comme des concaténations d'éléments. On peut traduire mathématiquement la concaténation par la loi de composition d'un monoïde.

Mais toute suite de mots ne constitue pas une phrase ; il faut une structure syntaxique. De telles structures constituent les morphismes d'une catégorie monoïdale.

Les théories interprétatives, comme la phonologie ou la sémantique introduisent des filtres additionnels, qu'il paraît convenable de prendre en compte au moyen d'une topologie convenable. Une théorie interprétative est alors représentée par un faisceau sur un site convenable.

[37] Nous demanderons à un article devenu célèbre de M.Kac (Can one hear the shape of a drum?) de nous servir de prétexte pour une promenade à travers des phénomènes et des questions  mathématiques et physiques qui sont parmi celles qui ont marqué le vingtième siècle.

Sans forcer le pas ni le trait, on peut rencontrer ainsi entre autres les systèmes dynamiques sous la forme des billards et des flots géodésiques, partant la distinction cruciale entre elliptique et hyperbolique, la quantification et la correspondance entre flots géodésiques et analyse harmonique, la question de départ qui est celle de l'isospectralité possible - et de fait réalisée - entre des variétés riemanniennes, la formule des traces de Selberg qui réalise en quelque sorte la correspondance entre les théories classique et quantique dans les cas favorables, l'hypothèse de Riemann, la question du `chaos quantique' qui reste  passablement mystérieuse, l'importance des orbites périodiques dans ce contexte, comme aussi  l'énigme du rayonnement du corps noir qui est à la source de l'introduction (toujours mystérieuse  elle aussi) de la quantification, etc.

Ajoutons tout de même qu'il s'agit bien aussi d'écouter une certaine musique, comme le marquent et la question de départ et la biennommée analyse harmonique.

Ce qui précède est presque à dessein décousu sinon incompréhensible. Car s'il ne sera pas directement question de philosophie, il s'agit pourtant d'illustrer sur le terrain un point aussi important que simple, à savoir que les mathématiciens se promènent au jour le jour dans une forêt de phénomènes lentement mis au jour, et qui rappellent fortement ceux que la physique s'efforce (en principe, car ce n'est plus toujours aujourd'hui si évident) de démêler. Et pour cause, puisque ce sont parfois les mêmes - et parfois non.

Ces phénomènes sont `simples' par leur universalité même et s'ils illustrent amplement la fameuse phrase de Galilée sur la nature écrite en langage mathématique, celle-ci se laisse aussi bien lire à l'envers, comme une naturalisation des mathématiques, ce qu'explorent quelquefois aussi les sciences cognitives (sans  qu'il soit forcement besoin de trouver là un `nouveau paradigme').

On pourra en dernière instance poser alors quelques questions, comme celle de tenir ensemble `philosophiquement' cette résistance  de l'objet mathématique souvent très incomplètement exploré, souvent presque inaccessible, et la construction de ce que les mathématiciens appellent `les grandes machines', qui abordent d'autre manière le même réel mathématique (car chacun sait que les mathématiciens sont `naïvement' platoniciens, i.e. d'une naïveté que la pratique s'est chargée de leur enseigner).

[38] En guise de commentaire sur les systèmes évolutifs à mémoire d'Ehresmann-Vanbremeersch (dont nous rappellerons ce qui nous sera utile), nous voulons proposer une manière catégoricienne de modéliser mathématiquement l'émergence d'objets radicalement nouveaux.

Ce que nous proposons est un mécanisme de mise en scène de l'émergence basé sur la construction de différentielles abstraites dont la non-trivialité sur un objet exprime que cet objet est différent de sa constitution, qu'il est nouveau par rapport à ses composants, ou, pour dire la chose de façon plus contractée et souligner le paradoxal de l'enjeu, qu'il diffère de lui-même.

Cet outil nous paraît utile pour aborder la question du sens d'un discours considéré comme émergent du discours (et non pas comme simplement un composé grammatical de significations élémentaires) ou aussi bien pour présenter d'autres enjeux d'émergence, en musique par exemple.

[texte préparatoire]

[39] Intuitivement, une fonction f:R→R est continue en un point a lorsqu'une variation infinitésimale de x au voisinage de a provoque une variation infinitésimale de f(x) au voisinage de f(a).

L'approche que  F.W. Lawvere et A. Kock ont donnée de la notion d'infiniment petit est la suivante.

Si x est petit, x² est encore plus petit. Si x est très, très petit, x² devient vraiment minuscule. Appelons donc "infiniment petit" un nombre x tel que x²=0.

L'idée provient de la "théorie des jets" due à Ehresmann.

Considérons toutes les fonctions passant par un point du plan, que rien ne nous empêche de prendre comme origine: donc f(0)=0.

Avoir la même tangente à l'origine est une relation d'équivalence: une classe d'équivalence s'appelle un "jet". Le propre d'un tel jet est que si on l'élève au carré, on trouve le jet nul (la classe d'une fonction à tangente horizontale).

Divers auteurs ont prouvé qu'en travaillant dans des topos ad hoc, on peut construire des anneaux R admettant des éléments de carré nul, que l'on peut penser comme étant les infiniment petits et grâce auxquels on peut développer la géométrie différentielle.

Et de bons théorèmes de plongement prouvent que tout théorème démontré grâce à cette approche intuitive des infiniment petits est un théorème valide en géométrie différentielle classique.

[40] Nous soutiendrons ceci : la modélisation mathématique qualitative n’a pas à choisir entre l'approche logicienne et l'approche géométrique, puisqu'au point de vue diagrammatique ces méthodes s'identifient l'une à l'autre. Nous rapprocherons précisément la démarche « logicienne » par spécification de formules modales, et  la démarche « homologicienne », par spécification de conditions sur la courbure ou l’homologie. Cela sera exposé de deux façons liées, d'abord en termes de conditions différentielles générales et puis en termes d’homologie générale.

La première partie reprendra l'unification par le calcul des assimilations qui permet de comprendre l’écriture de conditions différentielles générales, incluant les conditions de modalités spéculatives et les conditions de courbure. Question du réglage direct de comment les discours changent, de comment les figures changent.

La deuxième partie affirmera encore que d’un point de vue suffisamment éloigné la logique comme question des quantifications et modalités discursives et la cohomologie comme théorie du calcul qualitatif de la courbure et des déformations, se rejoignent ; et cette fois pour le voir il sera fourni une définition générale du concept d'homologie dont dérive aussi bien les techniques de logique intuitionniste que les techniques d'algèbre homologique abélienne classique. On est alors dans une problématique plus vaste que dans la première partie, puisqu'il s'agit non plus d'un simple réglage du changement, mais de l'analyse de la forme même des changements, des changements de changements, etc.

Références :

1) Images et modalités, Résumé d'une conférence au SIC à Amiens, le samedi 10 novembre 2001, 2 p.

2) Calcul d’assimilations, modalités et analyse d’images, in Calculs et formes, Ellipses, 2003 (Actes du Colloque « Mathématiques : calculs et formes », Université Toulouse Le Mirail, septembre 2000), 175-189.

3) An anabelian definition of abelian homology, CTGDC XXXXVIII, 4, 2007, 261-269.

[41] Mon intervention sera centrée autour des implications de la formalisation mathématique dans deux démarches de compositeurs de la seconde moitié du XXe siècle : Milton Babbitt (1916) et Iannis Xenakis (1922-2001). Le terme d’« implication » sera ici entendu selon les deux sens qui lui sont généralement attribués. Il s’agira en effet, à partir d’exemples précis, de cerner les modalités « opératoires » de la formalisation chez ces deux compositeurs, la manière avec elle est, donc, impliquée dans les processus compositionnels. Dans un second temps, on s’interrogera sur les implications, dans le sens logique cette fois-ci, que nos observations pourrait avoir sur l’interprétation analytique des œuvres concernées, et sur celle des démarches plus générales de ces compositeurs.

[42] La notion d’échelle temporelle est fondamentale en musique, depuis le timbre jusqu’à la forme, en passant par la note et le rythme. La composition musicale utilise ces différentes échelles, les mélange (parfois) et utilise ce matériau avec une logique propre, et des contraintes spécifiques.

On se demandera si une telle problématique est relevante en mathématiques et si elle peut produire des zones de « friction’ » avec la musique.

En partant de quelques exemples où des objets mathématiques émergent à partir de structures à très petite échelle, ou, inversement,  certaines échelles sont gommées afin d’exhiber des structures intéressantes, on essaiera de noter quelques ressemblances/différences avec l’utilisation multi-échelle du temps dans l’activité musicale.

[43] On commencera par une présentation des idées fondamentales de linéarisation et de représentation en mathématique, avant d'esquisser la théorie des représentations linéaires des groupes, initiée (dans le cas des groupes finis) par Frobenius à la fin du XIXème siècle. Un acteur majeur fut H. Weyl qui, en liaison avec ses travaux sur les fondements de la mécanique quantique, fit la jonction inattendue avec l'analyse harmonique de Fourier et créa l'analyse harmonique non-commutative.

Le rêve de Burnside de mettre à profit l'impressionnante effectivité de la théorie des représentations linéaires pour classifier tous les groupes finis simples s'est finalement réalisé au bout d'un siècle. Entre-temps, cette théorie avait permis à Killing et Cartan de classifier tous les groupes infinis "continus" simples. Nous terminerons en expliquant comment le problème général de classification des représentations linéaires mène à une trichotomie (fini, modéré, sauvage), et comment l'indécidabilité surgit au cœur de situations extrêmement concrètes et apparemment élémentaires.

Références:

J. P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, Hermann.

G. Mackey, The Scope and History of commutative and noncommutative Harmonic Analysis, History of Mathematics, vol. 5, AMS/LMS.

[44]

L'acception la plus courante du terme "singularité" en mathématique est celle qui s'oppose à "lissité": il s'agit du lieu - grain, pli, fronce, etc.. - où le principe général de linéarisation tombe en défaut. 

Au cours d'une présentation phénoménologique des singularités et bifurcations (comment elles apparaissent, se déploient, disparaissent - en laissant des traces...), nous nous attacherons à illustrer deux "thèses" qui se dégagent de la théorie foisonnante des singularités:

1) un peu à la manière de Platon dans le Timée, cette théorie jette un pont (très subtil) entre le monde continu et le monde discret;

2) comme disait P. Montel (en exagérant volontairement), "les fonctions sont, comme les êtres vivants, caractérisées par leurs singularités".

Bibliographie :

-   V. Arnold: Catastrophe theory, Springer

-   (images) pages web d'Innsbruck (H. Hauser et al.):

http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html

http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/animationenvonflaechen/start.html

[45]

À partir d'un rappel historique sur l'émergence des structures algébriques en musique et musicologie du XXe siècle, on essayera de montrer comment certains problèmes posés par la théorie de la musique, l'analyse et la composition soulèvent des questions mathématiques susceptibles d'intéresser à la fois l'historien des mathématiques et le 'working mathematician'. En particulier on s'attardera sur l'étude des quelques correspondances entre des problèmes musicaux sur lesquels nous avons travaillé (autour par exemple de la construction de canons rythmiques ou de pavages) et des conjectures mathématiques (Minkowski, Steinhaus, Keller, Fuglede).

On essayera ainsi de montrer comment la musique peut parfois alimenter l'activité mathématique et on donnera quelques éléments pour édifier une typologie 'mathémusicale' que nous espérons pouvoir compléter et améliorer tout au long de ce séminaire.

`

[46]

    On rappellera d’abord brièvement différentes manières de rapporter les mathématiques à la musique : on distinguera pour ce faire trois genres, sept espèces et dix sous-espèces.

Parmi ces dernières, on exhaussera la fiction, ou logique du « comme si » : la pensée mathématique y dispense en effet un éclairage rasant (et non pas frontal, comme dans les théories mathématiques de la musique) susceptible de faire ressortir, dans un domaine bien choisi, des aspérités et singularités musicales inaperçues par le regard musicien artisanal.

    On soutiendra ensuite que, par-delà les rapports précédents, musique et mathématiques entretiennent une affinité élective, et ce pour deux raisons :

• D’abord elles partagent un même souci logique, qu’elles déploient en deux problématiques orthogonales. On comparera à ce titre le rôle joué par la démonstration dans la pensée mathématique à celui joué par le développement dans la pensée musicale.

• Ensuite, musique et mathématiques sont deux pensées « à la lettre », intérieurement normées par leur propre dispositif d’écriture, ce qui constitue une singularité absolue parmi les différents types de pensée.

    On esquissera alors le programme d’un penser l’écriture musicale à la lumière de l’écriture mathématique.

On fera à ce titre l’hypothèse d’un double chiasme entre ces deux types  d’écriture :

• l’écriture mathématique utilise une même lettre pour différentes opérations là où l’écriture musicale utilise différentes lettres pour une même opération (d’où une redondance singulière que Rousseau proposera d’amender en arithmétisant le solfège…) ;

• la mathématique utilise différentes inscriptions pour une même chose là où la musique utilise la même inscription pour plusieurs choses (d’où les problématiques, proprement musicales, de transposition, d’arrangement et de transcription…).

Ainsi les lignes de partage lettre claire / lettre obscure s’avèreraient duales entre musique et mathématiques…

    S’il est vrai que tout ceci met en œuvre une dialectique du sensible et l’intelligible, on conclura sur l’intérêt d’associer la philosophie aux rapports musique-mathématiques en sorte de réactiver le vieux nœud grec à trois, quand les raisonances musicales accompagnaient la naissance tant de la philosophie (Parménide) que de la mathématique comme raison et plus simplement comme calcul (invention de la démonstration via la création du raisonnement par l’absurde).

[47]

On rappellera qu’une certaine mathématique joue un rôle nécessaire dans l’intellectualité musicale. On distinguera à ce titre deux affinités électives (partages d’écriture et de souci logique) et une raisonance privilégiée (le musicien est à l’école de la mathématique en matière de théorisation) parmi les différentes manières musiciennes de se mettre à l’écoute de la mathématique.

On interrogera alors la situation singulière où le musicien est confronté à des théories mathématiques de la musique : comment évaluer musicalement de telles théories, en particulier ces théories mathématiques qui formalisent des théories musiciennes « naïves » ?

Même si, contrairement au désir proprement mathématicien, il faut prendre acte que théories musiciennes et mathématiques ne commutent pas, on soutiendra qu’une théorie mathématique de la musique peut stimuler le musicien, entre autres par des extensions humoristiques et des intensions ironiques.

On examinera sous tous ces angles la théorie mathématique de G. Mazzola — The Topos of Music —, tout spécialement ses théorisations du contrepoint, de la modulation et du geste.

On conclura sur l’intérêt spécifique pour le musicien pensif d’une singulière figure subjective de mathématicien (à la suite d’H. Poincaré et H. Weyl…) qu’on proposera de nommer intellectualité mathématique.

[48]

Il est vrai que le but du travail des mathématiciens est de démontrer des théorèmes. Mais pour y arriver, le mathématicien doit parcourir un chemin dans un paysage d’idées et de procès qui relèvent du domaine de l’improvisation musicale plutôt que du mécanisme de la logique classique. La fameuse parabole de Grothendieck dans « Récoltes et Semailles » en témoigne.

Symétriquement, faire ou composer de la musique est loin d’être un jeu esthétique mais relève d’une logique complexe. Le point crucial d’une telle logique est que le concept de vérité se réfère à ce qui est le cas. Or, ce qui est le cas en musique pointe vers un jeu dialectique d’opérateurs logiques. Loin de la situation classique, la logique musicale est liée à celle des topoi.

La thèse de notre intervention sera que le procès créatif mathématicien, dans la mesure où il s’avère de nature musicale, est un procès de nature logique, précisément parce que la musique se fait dans une ambiance de logique toposique. Nous conjecturerons que, sous cette perspective, la démonstration de la vérité d’un énoncé peut être comprise comme passage à la limite, en partant d’une série de logiques toposiques et convergeant dans la logique classique.

[49]

La question du sens d'un discours n'est pas si différente de celle du sens d'une interprétation de musique. Pour entendre cela, expliquerons-nous, il faut y entendre le rôle de la vérité. Nous traiterons du sens des discours en termes de postures, différences et bougés, trois points en effet de nature musicale. Pour chaque point on verra comment une mise en œuvre mathématique de son principe est possible.  Et puis on verra comment en fait, au plan mathématique, dans la perspective de la théorie des catégories, les trois points sont intimement reliés.

[50]

On se propose dans cet exposé de présenter diverses situations, issues du formalisme quantique et de l’expérience musicale, qui semblent relever de problématiques communes.

En particulier seront discutés, sans toutefois les théoriser, le formalisme mathématique et la notation musicale, le rôle de l’aléatoire dans les œuvres ouvertes et la mesure quantique, le phénomène temporel, et une brève allusion à la reproduction de l’œuvre musicale interprétée, en regard avec les idées de concept et énoncé en mathématiques.