mamuphi
mathématiques - musique – philosophie
dir. C. Alunni
(Ens-Cirphles), M. Andreatta
(Ircam), A. Bonnet (Rennes/Cirphles) et F. Nicolas
(Ens-Cirphles/Ircam)
Toutes les activités mamuphi ont
désormais lieu dans la salle de séminaire du CIRPHLES
Département de philosophie (sous-sol du Pavillon Pasteur)
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Séminaire mamuphi
(C. Alunni, M. Andreatta et F. Nicolas)
Le premier samedi du mois (10h30)
à l’École normale supérieure
45, rue d'Ulm - Paris V
Calendrier
2011-2012 :
8 octobre 2011
5 novembre 2011
3 décembre 2011
7 janvier 2012
4 février 2012
10 mars 2012
31 mars 2012
5 mai 2012
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Cours mamuphi de mathématiques
par René Guitart
jeudi matin (10h30-12h30)
Paris VII
- Bâtiment Condorcet
10 rue Alice
Domon et Léonie Duquet (Paris 13°)
1° mars 2012
15 mars 2012
3 mai 2012
(vendredi) 25
mai (14h-17h)
31 mai
21 juin
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École mamuphi de musique
par Antoine Bonnet et François Nicolas
Un samedi après-midi par trimestre (15h)
à l’École normale supérieure
45, rue d'Ulm - Paris V
Calendrier
2011-2012 :
5 novembre 2011
4 février 2012
5 mai 2012
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Séminaire Babel
« La musique contemporaine et les
langues »
(V. Anger, A. Bonnet, H. Larbi et F.
Nicolas)
Le second samedi du mois (15h)
à l’École normale supérieure
45, rue d'Ulm - Paris V
Calendrier
2011-2012 :
15 octobre 2011
12 novembre 2011
10 décembre 2011
14 janvier 2012
11 février 2012
10 mars 2012
12 mai 2012
16 juin 2012
(Conservatoire du XIX°, 20h30)
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Atelier Babel
« La musique et Paul Celan »
(A. Bonnet et F. Marteau)
Le samedi matin (10h-13h00)
à l’École normale supérieure
45, rue d'Ulm - Paris V
Participation
sur demande motivée
(antoine-bonnet@wanadoo.fr)
Calendrier
2011-2012 :
10 décembre 2011
14 janvier 2012
4 février 2012
10 mars 2012
5 mai 2012
16 juin 2012
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Les séminaires, écoles et cours mamuphi sont ouverts à tous (sans inscription préalable).
Pour tout contact :
·
charles.alunni [at] ens.fr
·
moreno.andreatta [at] ircam.fr
·
fnicolas [at] ens.fr / fnicolas [at] ircam.fr
Séminaire mamuphi
10h30
·
8 octobre 2011 : René Guitart - L'armature hexagonale du corps à quatre éléments, et le formulaire de la logique
borroméenne associée [1]
·
5 novembre 2011 : Jean-Yves Beziau –
De l'hexagone musical
(comme application de l'hexagone logique à la théorie musicale)
·
3 décembre 2011 : Jacques Roubaud - Permutations
et composition poétique [2]
·
7 janvier 2012 : François Nicolas – De l’hexagone
logique en matière d’œuvre musicale composite [3]
·
4 février 2012 : Jean Petitot et
Moreno Andreatta – Démarche structurale et approche phénoménologique
sont-elles incompatibles ? [4]
·
10 mars 2012 : Tzuchien Τho - Localisation
et relativisation dans l'ontologie (mathématique) [5]
·
31 mars 2012 : Nancy Diguerher-Mentelin -
d’Alembert-Rameau-Rousseau (& Diderot) : « mamuphi » au
cœur des Lumières ? [6]
·
5 mai 2012 : Patrick Saint-Jean - La
prétopologie et la pensée complexe [7]
Cours
Catégories et structures (René Guitart)
jeudi, 10h30 – 12h30
Troisième
année : Travaux pratiques
·
1° mars 2012 : François Viallefond - Structure
algébrique pour les quantités physiques et leurs contextes expérimentaux
·
15 mars 2012 : François Nicolas – Enjeux
des dissymétries entre produits et sommes et conséquences sur les esquisses
rapportant les unes aux autres ?
·
3 mai 2012 : René Guitart – Pour une
modélisation qualitative en termes de catégories
·
(vendredi) 25
mai (14h-17h, salle 612B-Klein) : René Guitart
– Sur les exposés de François Viallefond et François Nicolas
·
31 mai 2012 (salle
631B-Kandinsky) : Yves Chaumette
·
21 juin 2012 (sale
646A-Mondrian): Arache Djannati-Atai
École de musique (A. Bonnet et F.
Nicolas)
samedi,
15h
·
Samedi 5 novembre 2011 : La chute
d’Icare pour clarinette et petit ensemble (1988) de
Brian Ferneyhough, par François Nicolas
·
Samedi 4 février 2012 : Allegro
Sostenuto pour clarinette, violoncelle et piano (1988)
de Helmut Lachenmann, par Antoine Bonnet [8]
·
Samedi 5 mai 2012 - Dérive I de Pierre Boulez et l'opus 33a d'Arnold Schoenberg :
l'indéterminé au cœur de l'œuvre, par Dimitri Kerdiles [9]
Séminaire Babel
samedi,
15h
·
15 octobre 2011 - Violaine Anger : Voix,
parole, musique : généalogies (ou comment aborder le point tangentiel qui
existe entre le parlé et le chanté…)
·
12 novembre 2011- François Nicolas :
Quelles conséquences
musicales tirer du fait que, contrairement au grégorien, le tajwîd ne se thématise pas comme
musique ?
·
10 décembre 2011 – Hacène
Larbi : La langue japonaise…
·
14 janvier 2012 – Gérard Abensour : Le
vers russe, de la récitation à la mise en musique
·
11 février 2012 – Gerald Stieg : La
langue allemande [10]
·
10 mars 2012 - Marjorie Berthomier :
Des rapports de Schoenberg à la traduction
·
12 mai 2012 - Marc Ballanfat : Du
son inaudible au phonème sanscrit
·
16 juin 2012 (20h30) :
Atelier-Concert (Conservatoire du XIX° arrondissement)
Atelier Babel (A. Bonnet et F. Marteau)
10h-13h
—
10 décembre 2011
—
14 janvier 2012
—
4 février 2012
—
10 mars 2012
—
5 mai 2012
—
16 juin 2012
Séminaire
·
9 octobre 2010 (amphi Rataud) – François
Nicolas : Extension de Kan et écoute musicale
« élargie » d’une œuvre musicale « mixte » [11]
·
27 novembre 2010 (salle Beckett) – Franck Jedrzejewski : Extensions de Kan et transformée de Fourier [12]
·
11 décembre 2010 (amphi Rataud) – Max
Yribarren : Le tempérament égal
a-t-il une justification acoustique ?
·
5 février 2011 (amphi Rataud) – Jean Bénabou : Méthodes “transcendantes” en théorie des
catégories [13]
Sur les distributeurs :
—
en français, notes de
Jean-Roger Roisin d’un cours donné
(1973) à Louvain
—
en anglais, notes
d’un cours donné
(2000) à Darmstadt
·
12 mars 2011 (salle Beckett) - Thierry
Paul : Rigueur,
contraintes, action sans interaction
·
2 avril 2011 (salle Beckett) – René
Guitart : Le corps impossible
·
7 mai 2011 (salle Weil) – Marco
Segala : La
philosophie de la musique de Schopenhauer [14]
·
21 mai 2011 (amphi Rataud) - Andréa
Cavazzini : Symbole et diagramme. Sur les
travaux de Gilles Châtelet
École de mathématiques (Pierre Cartier)
·
11 décembre 2010
·
5 février 2011
·
30 avril 2011 : avec Annick Lesne, Duo
sur l’entropie [15]
—
Annick
Lesne : Multiscale
analysis of biological functions: the example of biofilms
Cours
Catégories et structures (René Guitart)
Deuxième année :
1 - Révisions sur les limites et problèmes universelles, esquisses et
monades, extensions de Kan.
2 - Univers algébriques et topos.
3 - Catégories abéliennes, produits tensoriels, structures monoïdales.
4 - Opérades.
·
3 mars 2011
·
10 mars 2011
·
31 Mars 2011
·
7 juin 2011
·
21 juin 2011
·
24 juin 2011
École de musique (A. Bonnet et F.
Nicolas) [16]
[ On
reconnaîtra aisément, dans ce projet de « cours de musique pour des
philosophes », une reprise variée, à 45 ans d’intervalle, du « cours de philosophie
pour scientifiques » que Louis Althusser a organisé dans cette même
École l’année 1967-1968. ]
École mamuphi de musique, pour philosophes
et autres non-musiciens :
Les enjeux (généalogiques, archéologiques et esthétiques) d’une
œuvre musicale
Le projet
est d’introduire les auditeurs (en particulier ceux qui ignorent le solfège)
aux enjeux musicaux d’une œuvre.
Si ces enjeux se donnent dans la dialectique d’une écoute d’une
interprétation et d’une lecture de la partition, le défi de cette école est
d’ouvrir un accès à la partition d’une œuvre pour qui ne sait la lire (sans
pour autant transformer bien sûr cette école en classe de solfège).
Chaque leçon
s’attachera à une œuvre pour en dégager les enjeux pour un aujourd’hui musicien
de la création musicale. Ces enjeux seront dépliés selon un triple point de vue :
·
généalogique : avec quelles œuvres musicales cette œuvre dialogue-t-elle ?
·
archéologique : comment cette œuvre rétroagit-elle sur l’état du monde de la musique
dans lequel elle s’enracine ?
·
esthétique : de quelle époque de pensée cette œuvre musicale se veut-elle
contemporaine ?
Au total,
chaque œuvre sera présentée par un musicien qui détaillera pour quiconque sa
partition, ses interprétations significatives et une écoute envisageables.
·
27 novembre 2010 (salle Beckett) : Farben pour orchestre (op.16 n°3 ; 1909) d’Arnold
Schoenberg, par François Nicolas
·
12 mars 2011 (salle Beckett) : Notation I pour orchestre (1980) de Pierre Boulez, par Antoine Bonnet
· 7 mai 2011 (salle Celan) : Night Fantasies pour piano (1980) d’Elliott Carter, par François Nicolas [17]
Séminaire
·
10 octobre
2009 – François Nicolas : Théoriser l’engendrement
d’une aura poétique par l’œuvre musicale mixte, à
la lumière mathématique du forçage (P. J. Cohen) d’une
extension générique [18]
·
14 novembre 2009
– Charles
Alunni : Le binôme
Lautman-Cavaillès
·
5 décembre 2009
- Thomas Noll : Logics
and Mathematical Music Theory [19]
·
16 janvier 2010
– Moreno Andreatta : Quelques éléments pour une interprétation philosophique des
approches transformationnelles en théorie et analyse musicales [20]
·
6 février 2010 –
René Guitart : Du
passage du ternaire au binaire et réciproquement dans la modélisation
mathématique [21]
·
13 mars 2010 – Yves
Chaumette : Du
ternaire au binaire, et réciproquement (un exemple) [22]
·
15 mai
2010 - Marco Segala : De la notion de musique absolue au XIX° siècle [23]
École (Leçons de Pierre Cartier)
·
5 décembre 2009
·
13 mars 2010
·
15 mai 2010
Cours Catégories
et structures (René Guitart)
enregistrement
audio : http://2009a2010.free.fr/2009-2010-guitart
·
25 février 2010
·
11 mars 2010
·
8 avril 2010
·
6 mai 2010
·
3 juin 2010
·
10 juin 2010
Séminaire
·
11 octobre 2008 (salle Cavaillès) - Répons François Nicolas / Charles Alunni
Intervenant : François
Nicolas - Des connivences
contemporaines entre intellectualités mathématique & musicale [24]
—
Philosophie - Huit
propositions au sujet du structuralisme (pdf)
—
Mathématiques & musique - Programme de
travail sur faisceaux et topos en musique
Répondant :
Charles Alunni
Compte rendu de la discussion :
« 15
questions ou objections, et autant de premières réponses »
·
15 novembre 2008 (salle Celan) – Thierry
Paul - Stephan Schaub - Michael
Schmidt : Les rapports musique-mathématiques
selon Ernst Krenek (1937/1939)
Répondant :
François Nicolas - « Une lecture de Music
here and now d’Ernst Krenek »
·
6 décembre 2008 (salle S. Weil) – Franck
Jedrzejewski : Les onto(po)logies
musicales & Pierre
Lochak : Quelques
remarques sur le monde-Musique comme
topos de faisceaux
Enregistrement audio (mp3) de la séance (Benoit
Daval) : http://topfree.free.fr/2008-2009-mamuphi
Quelques
photos de cette séance (Pierre Prouvèze) et un extrait vidéo
·
17 janvier 2009 (salle S. Weil) – Christian
Houzel : Théorie des faisceaux et linguistique [25]
·
7 mars 2009 (salle des Actes) - Pierre
Lochak : Entendre - ou pas
- la forme d'un tambour. Quelques correspondances du monde physico-mathématique [26]
Mark Kac : “Can
one hear the shape of a drum?”
William P. Thurston : “On proof and progress
in mathematics”
·
4 avril 2009 (salle Beckett) – Jean
Bénabou : Magie des topos, ou topos et magie?
« Une analogie en théorie
des catégories » (in La recherche de la
vérité ; ACL – Les éditions du Kangourou ;
décembre 1999)
·
9 mai 2009 (salle S. Weil) - René
Guitart : Théorie
du nouveau [27]
[texte
préparatoire]
École
·
7 février 2009 : « Des
infinis subtils »
Texte de la leçon (pdf)
Ensemble des leçons
données par Yves André (pdf)
Séminaire
6 octobre 2007 - Séance d’ouverture
par Moreno Andreatta, François Nicolas et Charles Alunni
- Moreno
Andreatta : Quelle philosophie pour une théorie mathématique de la
musique ?
- François
Nicolas : D’un
quatrième moment mamuphi
- Charles Alunni
10 novembre 2007 - Évaluation de la music
theory de David Lewin (Stephan Schaub et
François Nicolas)
·
Stephan Schaub - Statut de la
formalisation mathématique dans la « music theory » américaine : une lecture de l’échange entre Edward T. Cone
et David Lewin (Perspectives of New Music 1967 et
1969).
·
François Nicolas - « Comme
Freud, Schoenberg est mort en Amérique » :
« Déconstruire
la music theory (1) : David Lewin »
« Déconstruire
la music theory (2) : Milton
Babbitt »
1° décembre 2007 -
Francis Borceux : Des jets aux infiniment
petits : quand l'intuition se mue en rigueur [28]
Video
: www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1881
15 décembre 2007 : Ralf Kromer : La théorie des catégories
: un outil d'analyse musicale aux yeux de la critique philosophique
Video
: www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1882
12 janvier 2008 : Thomas Noll : Le Pli Diatonique -
Algebraic Combinatorics on Words applied to the Study of the Diatonic Modes
2 février 2008 : Hector Parra : Une approche créatrice des interrelations structurelles entre les
espaces acoustiques et visuels
15 mars 2008 - René Guitart : Modalités des
discours et courbures des figures [29]
5 avril 2008 :
Stephan Schaub : Les implications de la
formalisation mathématique dans les pratiques compositionnelles de Babbitt et
Xenakis [30]
17 mai 2008 : Thierry Paul : Questions d’échelles [31]
2006-2007 : Intellectualités
mathématique et musicale
Calendrier :
Video
: www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1532
- 18 novembre 2006 - Moreno Andreatta :
Mathématiques, musique et philosophie dans la tradition américaine :
la filiation Babbitt/Lewin
Présentation
PowerPoint | Documentation
distribuée
Video
: www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1560
- 9 décembre 2006 – René Guitart : Toute théorie est
algébrique
Video
: www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1588
- 27 janvier 2007 – Stéphane Dugowson : Attractions
borroméennes
Video
: www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1639
- 10 février 2007 – David Rabouin : Mathesis
universalis, logique de l'imagination et écriture symbolique (Descartes /
Leibniz …Badiou)
Video
: www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1640
- 24 mars 2007 - Gilles Dowek : Gestes et mouvements en
mathématiques (et en musique)
Video
: www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1641
Video
: http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1642
version pdf : intervention
- annexes
École mathématique
pour musiciens et autres non-mathématiciens
un
samedi par trimestre, de 15h à 18h à l’Ircam (salle Messiaen)
[ On
reconnaîtra aisément, dans ce projet de « cours de mathématiques pour des
musiciens », une reprise variée, à 40 ans d’intervalle, du « cours de
philosophie pour scientifiques » que Louis Althusser a organisé dans
cette même École l’année 1967-1968. ]
Nous avons décidé de mettre en place, cette
année, une « école » spéciale de mathématiques en direction des musiciens et
autres non-mathématiciens.
Le principe en sera tout à fait singulier : il
s’agira de rendre compréhensible un concept central de la mathématique la plus
contemporaine à des non-spécialistes, en tentant de les mener au cœur de la
pensée mathématique la plus active, et sans économiser ni la spécificité de
l’écriture mathématique, ni une partie du labeur démonstratif (même si celui-ci
ne saurait être, dans le cadre d'une vulgarisation, de nature intégrale). Il ne
s’agira pas d’« appliquer » les mathématiques à la musique, que ce soit sous
une modalité technique et calculatoire ou sous une forme plus métaphorique. La
‘raisonance’ possible du concept mathématique avec
la musique ne sera pas au cœur de l’exposé lequel visera, simplement (si l’on
ose dire !), à transmettre le plus fidèlement possible, le contenu de pensée
investi dans le concept examiné (et, bien sûr, dans la théorie mathématique où
il prend place), sans négliger, tout au contraire, les aperçus historiques qui
peuvent permettre d'apprécier les problématiques au cœur desquelles se déploie
le concept présenté.
Yves André (Cnrs-Ens) a bien voulu accepter la
chaire de cette école.
Les concepts mathématiques envisagés sont -
entre autres - ceux d’adjonction, d’algèbre de
von Neumann, de motif et
d’opérade.
Ces séances seront trimestrielles. Chaque
séance devrait durer trois heures ;
Le calendrier est le suivant : 15h à 18h -
Ircam (salle Messiaen)
• 9 décembre
2006 : Aperçus sur les algèbres d'opérateurs
(algèbres de von Neumann)
Texte de
l’intervention
• 24 mars
2007 : Les topos de Grothendieck
Texte de
l’intervention
• 12 mai 2007 : Idées
galoisiennes (théorie de
l'ambiguïté)
Texte de
l’intervention
Propositions pour les prochaines séances de l'école
de mathématiques pour musiciens et autres non-musiciens
0) Merci
tout d'abord à tous ceux qui ont pris soin de nous transmettre leur avis sur la
première séance. Ceci nous aide, et nous encourage.
1) Il
ressort des points de vue exprimés que tout le monde, même ceux qui ont peiné
lors de la première séance, souhaite une prolongation de l'expérience. C'est également notre souhait.
2) Il faut
repréciser que "école" ici ne veut pas
dire "cours" (et donc progression graduée selon un parcours univoque
en marches d'escalier). Il faut entendre ce projet ("d'un type
nouveau") comme visant une compréhension plutôt qu'une maîtrise de
savoirs.
3) Pour ceux
qui n'ont pas l'habitude d'entendre un exposé de mathématique contemporaine,
cette compréhension passe nécessairement par une phase de "choc", un peu comme un tel type de "choc" intervient pour
toute personne venant pour la première fois entendre un concert de musique
contemporaine. Il n'y a pas lieu de vouloir éviter un tel choc mais seulement
d'apprendre à le surmonter.
4) À ce
titre, une certaine dimension rétroactive (relevant
donc de l'après coup) nous semble de mise en matière de compréhension.
À cette fin,
il semble nécessaire d'instaurer plus de résonances entre les différents sujets
devant être traités lors des prochaines séances en sorte que, petit à petit,
les concepts mathématiques puissent s'éclairer les uns les autres, non plus de
manière déductive - dans l'ordre linéaire de leur exposition - mais
rétrospectivement, et selon un schéma concentrique.
5) Nous
proposons de reconfigurer les prochains thèmes en sorte de mettre en rapport
différentes approches mathématiques contemporaines de la notion d'espace. En effet, si la notion mathématique d'espace n'a pas été définie la
fois dernière, c'est pour une raison essentielle et non pas contingente: c'est
parce qu'il n'existe pas à proprement parler de définition mathématique de
l'espace en soi (pas plus d'ailleurs qu'il n'en existe de la symétrie en soi,
ou de la singularité en soi). À ce titre, la mathématique associe toujours au
mot "espace" une spécification ("espace topologique",
"espace mesuré", "espace vectoriel", etc.), laissant à
l'intuition de chacun le soin de donner un sens spécifique au mot
"espace" détaché de ses prédicats.
6) Si le
propos de l'école est bien de rendre compréhensibles certains concepts
mathématiques contemporains et centraux, ceux-ci seront choisis (du moins dans
un premier temps) sur le critère qu'ils condensent des points de vue
mathématiques sur des notions communes - i.
e. n'appartenant pas en propre à la mathématique
- telles qu'espace, symétries, temps, singularités, etc... Chacun
pourra alors confronter, s'il lui plaît, ces points de vue mathématiques aux
points de vue qui lui sont plus familiers - musicaux, architecturaux,
picturaux, ou philosophiques - sur ces notions communes.
En ce qui
concerne l'espace, il est loisible de penser que les deux points de vue
mathématiques les plus avancés et les plus profonds sont celui de la géométrie
non-commutative (A. Connes) et celui des topos (A. Grothendieck) - d'ailleurs
complémentaires l'un de l'autre.
Comprendre
mieux les enjeux des espaces non-commutatifs, la disparition des points et le
rôle structural des algèbres d'opérateurs (exposé précédent) pourra mieux se
réaliser rétroactivement si les prochaines séances de l'école traitent d'autres
visions de l'espace. Nous proposons à ce titre que la prochaine séance soit
consacrée à l'examen des topos de Grothendieck.
7) Nous
maintenons le principe d'absence de tout prérequis, mais ceci ne veut pas dire
qu'il faudrait négliger le rôle de la culture mathématique de chacun.
Si la
culture est bien ce qui vous reste quand vous avez tout oublié, la culture
mathématique mobilisée pour écouter et suivre un tel type d'exposé indique
alors votre capacité d'intuitionner et de représenter ce qui vous est présenté,
votre aptitude à supporter de perdre pied en faisant confiance à votre capacité
de renouer un peu plus loin au fil du discours.
Là encore,
l'analogie avec l'écoute de la musique est pertinente : écouter une œuvre n'est
pas la disséquer, suivre note à note et accord par accord son travail déductif
mais apprendre à se laisser guider par l'œuvre elle-même (et apprendre, cela
implique toujours, en un premier temps, un travail soustractif : se
désencombrer d'habitudes inadaptées).
8) Nous
sommes des pionniers au sens aussi où nous devons apprendre à donner à la
notion de malentendu un statut productif,
et pas seulement négatif.
Si la
présentation mathématique ordinaire vise à la levée de tout malentendu (par un
dispositif réglé d'écriture univoque rendant intégralement transmissible le
contenu de pensée), cette école ne saurait fonctionner sous cet ordre (qui est
tout aussi bien celui du "cours" de mathématiques mentionné plus
haut). Tentant de présenter des enjeux de pensée les plus actuels à des gens
étrangers à la mathématique active, cette école doit miser sur la productivité
et la dynamique d'un certain type de malentendu.
À ce titre,
qu'un concept mathématique présenté prête ici à une part de malentendu ne doit
pas être vu comme une faiblesse (ce que cela serait dans un simple cours) mais
plutôt comme un pari : le pari qu'une forme de résonance peut être mise en
œuvre entre jeu mathématique des concepts et représentation mentale chez celui
qui le découvre.
Bien sûr, ce
pari comporte également sa part de danger : celui que le malentendu (afférant
au fait que ce qui est présenté n'est pas maîtrisé par qui écoute) débouche sur
une mécompréhension ou un contre-sens. Mais il nous semble que le génie propre
de cette école implique de prendre ce risque pour en faire jouer la face
positive et dynamiser l'écoute spécifique de chacun - là encore, écouter un tel
type d'exposé est assez proche de l'écoute musicalement requise face à une
œuvre contemporaine -.
9)
Rendez-vous donc le samedi 24 mars 2007 pour
une nouvelle séance (consacrée aux topos de Grothendieck) au début de laquelle
Yves André reformulera les principes de notre projet.
Yves André et François Nicolas
P.S. «Si
les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est uniquement
parce qu’ils ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée.» John von Neumann
2005-2006 : Questions de logiques
Si, pour les musiciens, « logique
musicale » se dit en différents sens (consistance autonome de la musique comme « monde » ou
« langage », dialectique spécifique du
discours musical, stratégie à l’œuvre…), si, pour
les mathématiciens, « logique » ne profile plus seulement une norme
pour leurs énoncés mais la dynamique même de leur travail d’énonciation (une
logique du processus mathématicien tout autant que du résultat mathématique),
peut-on activer aujourd’hui des raisonances entre
ces conceptions des logiques à l’œuvre ?
Comment faire jouer leur hétérophonie par-delà
tel ou tel projet plus spécifique de « mathématiser » la logique
musicale ou de « musicaliser » la logique mathématique ?
Calendrier :
1.
15 octobre 2005
- François Nicolas : La logique
musicale de l’écoute : une logique stoïcienne de l’assentiment ?
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=878
- Guerino Mazzola : La logique
des diagrammes : médiatrice entre geste et formule?
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=879
2.
12 novembre 2005
- Jean-Yves Girard : Aspects
géométriques du formalisme
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=945
3.
10 décembre 2005
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=946
4.
14 janvier 2006
- René Guitart - Théorie de la théorie : esquisses ou topos ?
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=947
5.
25 février 2006
- Pierre Cartier - L’ouvrage d’Euler
sur la théorie musicale (1739) : les principaux apports théoriques
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=727
6.
11 mars 2006
- Jean-Baptiste Joinet – Temps
logique et temps musical
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=728
7.
29 avril 2006
- Giuseppe Longo (salle des Actes) - Dynamiques de pensée en mathématiques :
principes de preuves vs. principes
de construction
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=730
8.
20 mai 2006
- Giorgio Gargani (salle Celan)
http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=731
2004-2005 : Les mathématiciens et la musique
Si
musique et mathématiques avèrent un long compagnonnage, depuis l'origine
commune des théories musicale et mathématique au VI° siècle av. J.-C. jusqu'à
l'époque la plus contemporaine, si penser la musique avec les mathématiques est
ainsi une longue histoire où interviennent tour à tour arithmétique (nombres)
et géométrie (figures), algèbre (écriture) et topologie (gestes), il convient
d'interroger l'état présent de ces rapports à partir des questions musicales
les plus actives.
Que
la philosophie pointe nécessairement son nez en ce croisement (comme en atteste
toute une généalogie, de Parménide et Platon jusqu'à Husserl et Lautman en
passant par Descartes et Leibniz) ne doit pas dispenser le musicien d'interroger
directement les mathématiques de son temps pour discerner ce qui d'elles peut
clarifier, catégoriser, profiler les enjeux présents et à venir de son art.
Pour
cette première année, on partira des formes de conscience spécifiquement
mathématiciennes des rapports possibles entre musique et mathématiques.
Music
and Mathematics Seminar Thinking Music with Mathematics? Music and mathematics
have long been associated, and thinking about music in terms of mathematics via the use of
arithmetic, geometry, algebra, topology etc. goes back a long way. With this in mind, it's essential now,
to explore the present state of
this relationship based on today's important musical issues.
Samedi 19 février 2005
Ø
Charles Alunni : Transe disciplinaire
Ø
Moreno
Andreatta : Problèmes
musicaux et conjectures mathématiques. Essai d'une typologie 'mathémusicale'
À partir d'un rappel historique sur l'émergence des
structures algébriques en musique et musicologie du XXe siècle, on essayera de
montrer comment certains problèmes posés par la théorie de la musique,
l'analyse et la composition soulèvent des questions mathématiques susceptibles
d'intéresser à la fois l'historien des mathématiques et le 'working
mathematician'. En
particulier on s'attardera sur l'étude des quelques correspondances entre des
problèmes musicaux sur lesquels nous avons travaillé (autour par exemple de la
construction de canons rythmiques ou de pavages) et des conjectures
mathématiques (Minkowski, Steinhaus, Keller, Fuglede).
On essayera ainsi de montrer comment la musique peut parfois
alimenter l'activité mathématique et on donnera quelques éléments pour édifier
une typologie 'mathémusicale' que nous espérons pouvoir compléter et améliorer
tout au long de ce séminaire.
Ø
François Nicolas : Raisonance
musique / mathématiques : l’écriture en partage
On rappellera
d’abord brièvement différentes manières de rapporter les mathématiques à la
musique : on distinguera pour ce faire trois genres, sept espèces et dix
sous-espèces.
Parmi ces dernières, on exhaussera la fiction, ou logique du « comme si » : la pensée mathématique y dispense en
effet un éclairage rasant (et non pas frontal, comme dans les théories
mathématiques de la musique) susceptible de faire ressortir, dans un domaine
bien choisi, des aspérités et singularités musicales inaperçues par le regard
musicien artisanal.
On soutiendra
ensuite que, par-delà les rapports précédents, musique et mathématiques
entretiennent une affinité
élective, et ce pour deux
raisons :
• D’abord elles partagent un même souci logique, qu’elles déploient en deux problématiques
orthogonales. On comparera à ce titre le rôle joué par la démonstration dans la pensée mathématique à celui joué par
le développement dans la
pensée musicale.
• Ensuite, musique et mathématiques sont deux pensées « à
la lettre »,
intérieurement normées par leur propre dispositif d’écriture, ce qui constitue
une singularité absolue parmi les différents types de pensée.
On esquissera
alors le programme d’un penser l’écriture musicale à la lumière de
l’écriture mathématique.
On fera à ce titre l’hypothèse d’un double chiasme entre ces deux types d’écriture :
• l’écriture mathématique utilise une même lettre pour différentes opérations là où l’écriture musicale utilise différentes lettres pour une même opération (d’où une redondance singulière que
Rousseau proposera d’amender en arithmétisant le solfège…) ;
• la mathématique utilise différentes inscriptions pour une même chose là où la musique utilise la même inscription pour plusieurs choses (d’où les problématiques, proprement
musicales, de transposition,
d’arrangement et de transcription…).
Ainsi les lignes de partage lettre claire / lettre obscure s’avèreraient duales entre musique et mathématiques…
S’il est vrai
que tout ceci met en œuvre une dialectique du sensible et l’intelligible, on conclura sur l’intérêt d’associer la philosophie aux rapports musique-mathématiques en sorte de
réactiver le vieux nœud grec à trois, quand les raisonances musicales accompagnaient la naissance tant de
la philosophie (Parménide) que de la mathématique comme raison et plus simplement comme calcul (invention de la démonstration via la création
du raisonnement par l’absurde).
Présentation
PowerPoint
Ø
Charles Alunni : Moderato scriptile (Connexions
mathématiques-musique chez Heisenberg)
Samedi 12 mars 2005 :
Ø
Yves Hellegouarch : Esquisse d'une
étude comparée entre l'avènement de la perspective (en peinture) et de celui du
tempérament égal (en musique)
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=617
Ø
Michel Broué :
Un peu de théorie des groupes pour les tonalités musicales
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=618
Samedi 16 avril 2005
Ø
François Nicolas : Comment évaluer
musicalement les théories mathématiques de la musique ? L’exemple de la
théorie de Mazzola
On rappellera qu’une certaine mathématique joue un rôle
nécessaire dans l’intellectualité musicale. On distinguera à ce titre deux affinités
électives (partages d’écriture et de souci logique) et une raisonance privilégiée (le musicien
est à l’école de la mathématique en matière de théorisation) parmi les
différentes manières musiciennes de se mettre à l’écoute de la mathématique.
On interrogera alors la situation singulière où le musicien
est confronté à des théories mathématiques de la musique : comment évaluer musicalement de
telles théories, en particulier ces théories mathématiques qui formalisent des
théories musiciennes « naïves » ?
Même si, contrairement au désir proprement mathématicien, il
faut prendre acte que théories musiciennes et mathématiques ne commutent pas,
on soutiendra qu’une théorie mathématique de la musique peut stimuler le
musicien, entre autres par des extensions humoristiques et des intensions ironiques.
On examinera sous tous ces angles la théorie mathématique de
G. Mazzola — The Topos of Music —, tout spécialement ses théorisations du
contrepoint, de la modulation et du geste.
On conclura sur l’intérêt spécifique pour le musicien pensif
d’une singulière figure subjective de mathématicien (à la suite d’H. Poincaré
et H. Weyl…) qu’on proposera de nommer intellectualité mathématique.
Présentation
PowerPoint
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=642
Ø
Guerino Mazzola : Le rôle possible de la
logique musicale dans une certaine intellectualité mathématique
Il est vrai que le but du travail des mathématiciens est de
démontrer des théorèmes. Mais pour y arriver, le mathématicien doit parcourir
un chemin dans un paysage d’idées et de procès qui relèvent du domaine de
l’improvisation musicale plutôt que du mécanisme de la logique classique. La
fameuse parabole de Grothendieck dans « Récoltes et Semailles » en témoigne.
Symétriquement, faire ou composer de la musique est loin
d’être un jeu esthétique mais relève d’une logique complexe. Le point crucial
d’une telle logique est que le concept de vérité se réfère à ce qui est le cas.
Or, ce qui est le cas en musique pointe vers un jeu dialectique d’opérateurs
logiques. Loin de la situation classique, la logique musicale est liée à celle
des topoi.
La thèse de notre intervention sera que le procès créatif
mathématicien, dans la mesure où il s’avère de nature musicale, est un procès
de nature logique, précisément parce que la musique se fait dans une ambiance
de logique toposique. Nous conjecturerons que, sous cette perspective, la
démonstration de la vérité d’un énoncé peut être comprise comme passage à la
limite, en partant d’une série de logiques toposiques et convergeant dans la
logique classique.
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=643
Samedi 21 mai 2005
Ø
René Guitart : Le triple du sens : postures, différences et bougés.
La question du sens d'un discours n'est pas si différente de
celle du sens d'une interprétation de musique. Pour entendre cela, expliquerons-nous,
il faut y entendre le rôle de la vérité. Nous traiterons du sens des discours
en termes de postures, différences et bougés, trois points en effet de nature
musicale. Pour chaque point on verra comment une mise en œuvre mathématique de
son principe est possible. Et puis
on verra comment en fait, au plan mathématique, dans la perspective de la
théorie des catégories, les trois points sont intimement reliés.
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=720
Ø
Thierry Paul : Des sons et des
quantas
On se propose dans cet exposé de présenter diverses situations, issues
du formalisme quantique et de l’expérience musicale, qui semblent relever de
problématiques communes.
En particulier seront discutés, sans toutefois les théoriser, le
formalisme mathématique et la notation musicale, le rôle de l’aléatoire
dans les œuvres ouvertes et la mesure quantique, le phénomène temporel, et une
brève allusion à la reproduction de l’œuvre musicale interprétée, en regard
avec les idées de concept et énoncé en mathématiques.
Enregistrement
« Diffusion des savoirs » : http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=721
–––––––
Professeur invité (mars 2005) : Guerino Mazzola
Ce séminaire reprend, dans un nouveau contexte, un projet
engagé à l'Ircam dès l'année 2000 sous le nom de séminaire "Mamuphi".
Un première année de travail (2000-2001) s'est tenue à l'Ircam
(sous la direction conjointe de G. Assayag, G. Mazzola et F. Nicolas). Les
principales interventions de cette première année sont rappelées ci-dessous. Un
livre récollectant les actes de ce séminaire "mamuphi" est en cours
d'achèvement. Il sera disponible au printemps 2005.
Ce premier séminaire mamuphi s'est
prolongé de 2001 à 2004 à l'Ircam (sous la direction de M. Andreatta) selon un
principe un peu différent, sous le nom générique de mamuX. Les activités de mamuX sont présentées
sur le site de l'Ircam, en particulier à
l'adresse http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/mamux/
mailto:moreno.andreatta@ircam.fr
En quel sens pensée musicale et pensée
mathématique sont-elles contemporaines ? S'il ne s'agit pas seulement d'appliquer la seconde à la
première, la philosophie
est-elle requise pour que ces deux disciplines se confrontent et dialoguent sur
un pied d'égalité ? Quel rôle exact l'informatique joue-t-elle dans un tel rapprochement entre logiques différentes (scientifique et artistique) de pensée
?
Partant des points de rencontre comme des
points d'impasse entre mathématiques et musique, il s'agira de s'interroger sur
les conditions et les modalités
de ces croisements en sorte que la pensée musicale puisse approfondir son
interlocution avec la pensée mathématique d'aujourd'hui.
Sous la direction de Gérard Assayag, Guerino Mazzola et François
Nicolas
Samedi 7 octobre 2000
o François NICOLAS
(compositeur) : Musique,
mathématiques et philosophie: Que vient faire ici la philosophie?
o Gérard ASSAYAG (informaticien) : De
la calculabilité à l'implémentation musicale
Samedi 4 novembre 2000
o Guerino MAZZOLA (mathématicien) : Penser la musique
dans la logique fonctorielle des topoi
Samedi 2
décembre 2000 : Journée d'étude autour d'Anatol VIERU (1926-1998)
de 10h à 18h :
o Dan Tudor VUZA (mathématicien) : Théorie modale et suites
périodiques dans la pensée compositionnelle d'Anatol Vieru
o Costin CAZABAN (compositeur) : Structure et expression
chez Anatol Vieru
o Carlos AGON et Moreno ANDREATTA (informaticiens) : Théories
algébriques et informatique musicale. Quelques exemples d'implémentation
Concert de clôture: oeuvres
d'Anatol Vieru
Samedi 13 janvier 2001
o Tom JOHNSON (compositeur) : Objets
(mathématiques) trouvés
Samedi 3 février 2001
o René GUITART (mathématicien) : Modalités : Discours et
images. Musique?
o Compte rendu de la session philosophique de l'ENS (13
janvier, rue d'Ulm) sur Logique et philosophie.
Samedi 3 mars 2001
o Georges BLOCH (musicologue) : Lettre à Philippe
Lacoue-Labarthe
o Olivier LARTILLOT (informaticien) : L'analyse musicale
par la machine (ou la problématique de l'induction sous l'angle de la théorie
des modèles et des probabilités)
Samedi 7 avril 2001
o
Thomas NOLL et Andreas NESTKE (mathématicien) : Enharmonicity as a Key to a
Cognitive Dynamics of Music
o Stephane SCHAUB (informaticien) : Sur
le lien mathématiques-musique chez Xenakis
Samedi 5 mai 2001
Bilan du séminaire par
[1] Sur le corps à quatre éléments se combinent, suivant un dispositif
hexagonal, 12 logiques booléennes isomorphes et distinctes, dont les algèbres
de fonctions logiques sont donc isomorphes à l'algèbre de Post-Malcev $P_2$,
pour produire une logique dont l'algèbre des fonctions est l'algèbre de
Post-Malcev $P_4$, que l'on comprendra comme borroméenne de quatre façons ou
modes. De surcroît il existe 12 spéculations où points de vues (ou notes) dont
on peut jouer pour annoter des formules classiques, et qui engendrent encore la
même logique borroméenne. On dispose ainsi d'un outil détaillé en un formulaire
explicite pour rompre les paradoxes logiques et pour faire entendre leurs sens.
Dès lors se pose la question de comprendre le sens comme une composition sur
ces 12 notes.
[2] La généralisation de la sextine du troubadour Arnaut Daniel par
Antoine Tavera et Raymond Queneau a donné lieu à une vaste exploration d'un
petit morceau du groupe des permutations sur n
lettres et a donné naissance à de nombreuses formes poétiques originales. On essayera d'interpréter cette stratégie de composition poétique et on
posera une question aux musiciens.
[3]
De l’hexagone logique en
matière d’œuvre musicale composite
(mamuphi, Ens - 7 janvier 2012)
François Nicolas
De quelle manière
l’hexagone logique des contraires dégagé par Robert Blanché et développé par
Jean-Yves Beziau peut-il orienter une formalisation de la logique propre au
discours musical, y compris au discours si spécifique de l’œuvre musicale
composite (ou mixte) ?
On examinera ces
points mamuphiques à
l’ombre de l’orientation philosophique suivante : les véritables décisions
sont d’ordre ontologique
(et non pas logique), et les délibérations logiques qui les suivent (nullement qui les précèdent)
s’attachent alors à en évaluer les conséquences phénoménologiques dans une situation ontique donnée.
I
On montrera d’abord de
quelles manières cet hexagone
1.
met en scène
trois figures distinctes de la négation logique :
— la négation classique des contradictoires [rouge] ;
— la négation intuitionniste des contraires [bleue] ;
— la négation paraconsistante des sub-contraires [verte] ;
2.
restitue ce
faisant les trois types philosophiques de synthèse distingués par
Deleuze :
— la synthèse connective (celle d’un « donc »),
— la synthèse conjonctive (celle d’un « et »),
— la synthèse disjonctive (celle d’un « ou » exclusif) ;
3.
articule, par son
système d’implication, deux
types d’objets :
— des produits (dotés d’un contradictoire et de deux
contraires) ;
— des sommes (dotées d’un contradictoire et de deux subcontraires).
Hexagone logique (sa syntaxe & une sémantique
possible)
II
On entreprendra
d’approprier cette structure logique à la discursivité proprement musicale en
posant qu’en musique, la négation est essentiellement une altération (Veränderung).
On spécifiera ainsi le
travail du négatif en musique selon trois principes, venant contraposer logique
musicale et logique aristotélicienne :
— Le principe de différenciation s’opposant au classique principe d’identité : aucun terme n’est, posé deux fois,
identique à lui-même si bien qu’en musique, répéter, c’est altérer.
— Le principe de négation contrainte s’opposant au classique principe de
non-contradiction : tout
objet musical posé doit se composer avec son contraire, c’est-à-dire se composer
en devenir (avec sa propre altération).
— Le principe du tiers obligé s’opposant au classique principe du tiers
exclu : tout terme
musical posé (A) doit se composer avec un autre terme (B), autre que la
négation en devenir du premier (A’).
Ces trois principes,
qui configurent la composition musicale comme interaction minimale entre trois
objets - un objet premier A, son altération A’ et un autre objet B –
conduiront à la construction de deux hexagones musicaux : l’un rapportant
des relations spécifiquement musicales (identité/répétition – altérité
constituante/altération constituée), l’autre rapportant des types d’objets
spécifiquement musicaux (thèmes/cothèmes - objets génériques/motifs
constituants…).
III
Qu’en est-il alors de
cette logique musicale dans ces œuvres composites qui entrelacent deux logiques
discursives hétérogènes : celle de la musique et celle d’un flux non
musical accueilli dans l’œuvre en question ? Qu’en est-il en particulier
quand ce flux non musical est le flux sonore et signifiant d’un discours tenu
en langue arabe ?
Pour ce faire, peut-on
identifier, dans la grande langue arabe littéraire, quelques manières
spécifiques de donner forme discursive au travail du négatif ?
On examinera, pour ce
faire, trois modalités caractéristiques de cette discursivité
« arabe » qu’on tentera de formaliser selon les principes logiques
organisant notre hexagone :
— la parataxe, si cardinale en langue arabe, qui constitue un mode
spécifique d’implication par apposition de blocs ;
— le Diddun – soit ce type de mot venant indexer simultanément une
chose et son contraire – qui somme des contraires selon l’unité disjointe d’une
alternative ;
— l’hapax comme exception produite par une double négation
(selon le modèle « Nul dieu sauf Dieu ! ») où la négation d’une négation contraire génère
un contradictoire singulier.
On aboutira ce faisant
à l’hexagone suivant :
IV
Sur ces bases, on
tentera de mettre nos hexagones « musicaux » et « arabe »
en raisonances en sorte de
clarifier l’intention/intension compositionnelle suivante : comment une œuvre musicale composite
pourrait-elle entreprendre d’avouer musicalement quelque(s) secret(s) de la langue arabe, sachant bien
sûr que « ce n’est pas parce qu’on l’avoue qu’un secret cesse d’être un
secret » (Jacques
Lacan) ?
On devinera qu’il
s’agira ici de conclure - tout à fait provisoirement ! - sur ce qu’un tel
type d’œuvre musicale mixte pourrait avoir de spécifiquement concret.
[4] Cette séance se propose d’ouvrir une discussion sur quelques enjeux de
la démarche phénoménologique à partir des problèmes théoriques posés par la
formalisation algébrique et catégorielle en musique. L’approche
transformationnelle en théorie et analyse musicales soulève en effet des
questions philosophiques intéressantes, notamment dans ses rapports avec la
phénoménologie husserlienne et les sciences cognitives. On se propose de
confronter ce point de vue avec d’autres lectures de la phénoménologie dans ses
relations avec la pensée mathématique contemporaine en montrant, ainsi, toute
l’actualité de l’approche phénoménologique dans les (neuro)sciences cognitives.
En s’appuyant sur une double formalisation de la phénoménologie, l’une issue
des modèles morphodynamiques et l’autre de la théorie des catégories, on posera
la question du rapport entre phénoménologie et structuralisme en ouvrant le
débat sur la possibilité d’une coexistence d’une démarche structurale et d’une
approche phénoménologique en sciences humaines. On avancera donc en conclusion
l’hypothèse d’une pertinence de la catégorie de « structuralisme
phénoménologique » dans une relecture/réactivation de la tradition structurale
tout en montrant les implications d’une telle entreprise au sein d’une théorie
mathématique de la musique.
Références
bibliographiques et documents préparatoires disponibles à l'adresse :
http://repmus.ircam.fr/moreno/mamuphi
[5] Depuis le développent de la théorie des catégories par Eilenberg et
Mac Lane (1945) à travers le concept de foncteur,
cette théorie a été maintes fois reprise par les philosophes des mathématiques
pour remettre en cause le statut que la théorie des ensembles détient depuis le
début du XXème siècle, comme sol fondateur pour les objets mathématiques.
Quelles que
soient les différentes approches de cette question, il est certain que la
théorie des catégories rend possible une localisation de la théorie des
ensembles dans un contexte plus large où la perspective ensembliste n’est plus
qu’un mode d’expression mathématique parmi d’autres. Ces modes d’expression
concernent des formes invariantes ou covariantes qui, à leur tour, peuvent ne
pas appartenir de manière univoque à l’une ou à l’autre forme.
Cette situation a
ainsi provoqué une relativisation de la perspective ensembliste en matière de
fondements des mathématiques, au point qu’un commentateur comme J. T. Bell a pu
comparer la théorie des catégories à la relativité restreinte einsteinienne,
capable d’expliquer la mécanique newtonienne comme l’un des cas possibles d’une
physique élargie.
Dans mon
intervention je me propose d’examiner l’argument de Bell concernant cette
vision « relativiste » dans le but de critiquer sa compréhension des
suppositions ensemblistes qu’il cherchait à réfuter.
En m’appuyant sur
cette critique de Bell, je vais souligner la différence entre, d’une part,
l’approche de l’ontologie des objets mathématiques propre à la
« philosophie des mathématiques » et, d’autre part, le traitement de
la pensée mathématique propre à Alain Badiou pour qui les mathématiques
seraient l’ontologie en tant que telle.
Enfin, j’interrogerai les possibles
conséquences de ce processus de localisation ou de « relativisation »
lorsqu’il est appliqué à l’interprétation ensembliste de la thèse
« mathématique=ontologie » exprimée dans L’être et l’événement.
[6] Nancy
Diguerher-Mentelin - D’Alembert-Rameau-Rousseau
(& Diderot) : « mamuphi » au cœur des Lumières ?
L’objet de cette
conférence est d’ouvrir un espace de visibilité pour ce croisement
interdisciplinaire hautement fécond qui s’est noué autour de Jean-Philippe
Rameau au beau milieu du XVIIIe siècle. Alors que ses œuvres et sa théorie sont
respectivement arrimées à une ère musicale et philosophique sévèrement mise à mal vers 1750, c’est à cette époque qu’adviennent
les rencontres décisives qui feront de lui un penseur écarté des Lumières, et
pourtant si intimement lié à leur émergence.
Très précisément, l’année 1749 est celle
où, réagissant à la théorie mais aussi à la musique ramistes, Rousseau, Diderot
et d’Alembert apportent tour à tour leurs premières grandes contributions à
tout ce qui façonnera la postérité de Rameau. C’est alors que se configure cet
espace de confrontation tout-à-fait inédit où la voix du compositeur se met à
résonner sur plusieurs dimensions : en même temps qu’elle excite l’hostilité de
Rousseau, qui s’éveille contre elle à sa propre vocation philosophique, sa
rencontre avec Diderot lui donne un tout nouvel essor, aussi décisif pour le
musicien que stimulant pour l’écrivain, alors que ses premiers échanges avec
d’Alembert portent en eux les germes de la puissante controverse à venir.
Notre propos sera donc de dégager les
grandes lignes de force de cet épisode 1749 essentiel dans la trajectoire
intellectuelle de Rameau, et doté également d’une incidence très neuve et
caractérisée sur les orientations respectives de pensées qui sont celles de
Rousseau, de Diderot et de d’Alembert : si le projet encyclopédique commun de
ceux-ci se présente en écartant Rameau, force est de constater qu’aucun d’eux
ne s’est, sans lui, engagé sur ces voies qui les feront tant connaître.
Nous tâcherons ainsi de faire émerger un
moment important dans l’avènement des Lumières, où le mathématicien, le musicien
et le philosophe se rencontrent pour la première fois en une scène où Diderot,
écrivain et critique d’art, se sent lui aussi un rôle à jouer.
[7] Partant des structures algébriques et topologiques en Théorie des
Catégories, il est intéressant d'ouvrir les structures topologiques à la
prétopologie d'Alexander Grothendieck puis de Marcel Brissaud pour
s'apercevoir d'une part que tout est fondé sur l'homomorphisme et la
transitivité, et d'autre part qu'il existe dans des travaux parallèles de
l'auteur depuis 1967 des notions de « trans-combinaison » et de
« prétopologie » dès 1971.
La non-transitivité et l'hétéromorphisme
introduisent aux textures prétopologiques (sonores et visuelles au départ, puis
généralisées) qui s'avèrent propices à la recherche d'esthétiques musicales et
visuelles (voir la suite de l'UPIC - Iannis Xenakis - conçue par l'auteur de
l'exposé).
Une façon
peut-être d'ajouter au "théorème du sandwich au jambon" d'Hugo SteinHaus
repris par Stephan Banach (1938) le "théorème de la soupe de légumes"
(PSJ, 2012) en sorte de ne plus avoir peur du mélange, de l'amalgame et des
co-polymères.
[8] Ecouter Allegro sostenuto, c’est
« s’exposer » à un instrument, celui, ad hoc, que Lachenmann a « construit » et que désigne tout autant
ce titre que l’œuvre elle-même. Cet instrument, c’est en l’occurrence le
« pianoclarinettevioloncelle » en tant qu’il est agi par diverses
actions physiques en interaction, des familles de « gestes », les uns
regroupés par leurs effets (« Tonloss » de souffle, d’archet ou de
pédale par exemple), les autres par leurs causes (raclements de cordes etc.).
Ecouter Allegro sostenuto, c’est alors « faire l’expérience » du paysage sonore
qu’offre à nos sens le dépliement temporel de cet instrument, traverser et se
laisser traverser (par) « l’arpège » que présente son exploration et
en quoi consiste sa forme.
Pour singulière qu’elle est, cette
approche « existentielle » de la composition n’en est pas moins un
dialogue tendu tant avec d’autres œuvres musicales qu’avec la pensée de son
temps.
Les enjeux de Allegro sostenuto se laissent alors cerner d’un triple point de vue.
-
Généalogique : dialogue avec d’autres œuvres de Lachenmann (Ausklang, Serynade), Varèse, Boulez, Nono, mais
aussi avec une certaine tradition des « Nachtmusik » et tant d’œuvres
de différentes époques qui affleurent ici ou là comme des
« souvenirs » musicaux que Lachenmann croise au gré de son aventure
et salue comme autant d’ « amis ».
-
Archéologique : souci de prendre en charge les questions musicales léguées
par la fin de la tonalité à travers ce qu’il appelle une « réflexion sur
les moyens », à savoir la tonalité (en tant qu’elle définit le paradigme
hérité qu’il s’agit de dépasser), l’acoustique, la structure et l’aura.
-
Esthétique : résonance de son œuvre (musique et texte) avec la pensée de
philosophes (Adorno, qui semble avoir largement structuré sa formation
intellectuelle, et, à certains égards, Deleuze, Lacoue-Labarthe) et de poètes (Pessoa-Caeiro,
Celan).
Se fait alors jour une inclinaison
générale relevant moins d’une entreprise de « déconstruction » de la
musique que d’une volonté obstinée de la continuer.
[9] Si la notion d’idée musicale émerge dans
les écrits de Pierre Boulez au tournant des années 1980, elle fut déjà l’objet
d’une profonde réflexion de la part d’Arnold Schoenberg, qui la définissait
d’abord comme une relation purement musicale entre sons. Sur cette base, nous
soumettrons Dérive 1 (1984) à une étude visant à
rendre compte des différentes relations musicales qui la constituent ainsi que
des procédés sur lesquels celles-ci reposent. Nous mettrons alors au jour les
enjeux propres de cette pièce et les problématiques qu’elle soulève.
Ceux-ci seront surtout révélés par une
confrontation avec le Klavierstück opus 33a (1928)
de Schoenberg, qui nous permettra de dresser une certaine généalogie, notamment
autour de la récupération d’un contrôle de l’harmonie par les moyens sériels.
L’analyse de leurs divergences, quant à la forme et l’action de cette tentative
sur la perception de l’œuvre, nous permettra de montrer que sous cette question
se dessine une dialectique, fondamentale pour le XXe siècle, entre
l’indétermination et l’écriture. Nous verrons alors
que ces deux pièces marquent les frontières extérieures d’une situation
esthétique représentée par l’œuvre ouverte.
A partir de leur
position respective, nous montrerons enfin que Schoenberg rend musicalement
compte d’une certaine « fin de la métaphysique » annoncée par Heidegger,
tandis que, avec Dérive,
Boulez semble rejoindre Badiou pour décréter la « fin de toutes les
fins » et ajouter ainsi un point à la « constellation
affirmative ».
[10] 0. Prélude: Brève réflexion sur l'orthographe allemande
1. Synesthésie romantique
2. Rilke et Trakl à l'époque de la Sprachkritik
3. « L'alliance de la musique avec
le verbe » dans le Docteur Faustus de Thomas
Mann
[11]
Extension de Kan et écoute musicale
« élargie » d’une œuvre musicale « mixte »
(mamuphi, 9 octobre 2010)
F. Nicolas
« Aujourd’hui, la musique a besoin de quelque
chose d’hétérogène pour rester art. » (d’après Adorno) [1]
Il s’agira d’examiner
l’aptitude d’une notion mathématique – celle d’extension de Kan [EK] - à formaliser ce que nous proposons
d’appeler l’écoute musicale élargie d’une œuvre musicale mixte [OMM].
Nous repartirons pour
cela des résultats d’un précédent travail (présenté en mamuphi le 10 octobre 2009 et disponible sous forme du
chapitre D.II d’un prochain livre – le monde-Musique - à paraître en 2011) [2]. On y thématise
l’OMM (ou œuvre musicale accueillant en son sein un flux hétérogène – texte,
chorégraphie, vidéo… - sans pour autant l’homogénéiser à la musique ou se
contenter de l’accompagner musicalement) comme « extension auratique de
l’œuvre musicale ».
On se demandera
alors : existe-t-il, corrélativement à l’extension de l’objet musical en
question, une extension de son écoute (soit une extension d’un rapport musical
à cet objet étendu) ? L’écoute musicale de l’OMM peut-elle être ainsi
pensée comme une extension de l’écoute musicale « ordinaire » ?
Dans quelle mesure l’OMM invente-t-elle une écoute proprement musicale du flux
non musical accueilli ? Par exemple, y a-t-il une manière proprement
musicale d’écouter le poème chanté par/dans un lied ?
C’est en ce point que
la notion mathématique d’EK va être mobilisée (quand celles d’extensions
algébrique et générique nous avaient éclairés sur l’extension d’objet
constituant l’OMM).
On commencera par
rappeler les notions techniques de foncteurs adjoints et d’extension de Kan.
On formalisera ensuite
notre problème avec ces notions en sorte de préciser ce que l’énoncé suivant
veut dire : « l’écoute musicale de l’OMM est formalisable comme EK
d’une écoute de la musique à l’œuvre ».
On en viendra à la
question suivante, mathématiquement délicate (« non triviale » nous
disent Barr & Wells) [3] mais musicalement essentielle : cette
extension d’écoute est-elle constructible pas à pas (« pointwise » disent les anglo-saxons) ? Soit, en première
approche : cette écoute musicale élargie est-elle constructible localement
à partir de l’écoute musicale ordinaire ou relève-t-elle d’une édification
globale, sans embrayage local ?
On thématisera d’abord
ce que « construction point par point » (pointwise) veut mathématiquement dire (au moyen de différents
exemples mathématiques) et on examinera ensuite son ajustement à notre
question, ce qui reviendra à examiner techniquement le point suivant :
dans quelles conditions un extension de Kan est-elle constructible point par
point ?
On s’appuiera, pour ce
faire, sur trois présentations mathématiques :
— celle de René Guitart lors de son quatrième
cours mamuphi
« Catégories et structures » du 6 mai 2010 [4]
— celle de Barr & Lane dans Toposes,
Triples and Theories (Kan
extensions :
p. 56-61)
— celle de Mac Lane dans Categories for the
working mathematician (chap.
X : Kan Extensions)
[5]
On s’attaquera ensuite
à la démonstration mathématique du théorème suivant [11] :
« dans certaines conditions, la construction point par point d’un foncteur
adjoint par limites (ou colimites) produit une extension de Kan à droite (ou à gauche) ».
On examinera ce que ce
développement mathématique éclaire quant à notre problème musical.
On en conclura trois
points, intéressants directement l’intellectualité musicale de l’OMM :
1.
Une écoute
musicale élargie s’affirme immédiatement à une échelle globale sans transiter
par une construction localement constituée.
2.
L’éventuelle
décision musicale qui imposerait a contrario un embrayage local, un contrôle
point par point, une constructibilité généralisée du rapport auditif à l’OMM
(on la nommera « décision boulézienne »), conduirait à thématiser ce
rapport auditif comme simple perception/audition et non comme écoute musicale
proprement dite.
3.
La vertu musicale
propre de l’OMM réside ainsi en une dialectique entre construction point par
point de son aura poétique et écoute globale du flux hétérogène qui l’a
fécondée.
Soit la conclusion
très simple suivante : le lied (par exemple) ouvre à une écoute proprement
musicale de son poème mais, si ce lied construit bien ponctuellement son
extension auratique (comme on l’a montré en octobre 2009), pour autant l’écoute
musicale de ce lied balance
entre écoute de proche en proche au fil de la musique et écoute uniquement
globale de l’intension du
poème.
Au total, l’OMM est
une extension localement constituée mais l’extension de son écoute est
globalement constituante d’une écoute musicale de l’hétérogène.
[1] Son énoncé exact
est : « L’art a besoin de quelque chose qui lui est hétérogène
pour devenir art. »
[2] Il est disponible
à l’adresse http://www.entretemps.asso.fr/maths/D.II.pdf
[3] Toposes,
Triples and Theories - p. 57
[4] http://www.entretemps.asso.fr/maths/Cours4.htm
[5] Plus
spécifiquement ici X.3
*
[12]
Extensions
de Kan et transformée de Fourier
F.
Jedrzejewski
Après un rappel sur les
extensions de Kan et l'intérêt de la transformée de Fourier pour la musique,
nous présentons les généralisations qui ont eu lieu à partir du théorème de
dualité de Pontryagin (1934), établies d'abord pour les groupes non commutatifs
par Tannaka (1938), puis étendues aux algèbres de von Neumann et de Kac dans
les années 1970.
Les constructions catégorielles
récentes définissent les transformées de Fourier à droite et à gauche dans des
catégories promonoïdales comme des extensions de Kan.
Nous présentons l'idée de cette
construction et vérifions que cette transformation a les propriétés usuelles
d'une transformée de Fourier, en particulier, qu'elle préserve les convolutions
et la relation de Parseval.
[13] "Classiquement" la Théorie des Catégories
étudie les propriétés des catégories, foncteurs et transformations naturelles.
Ce que j'appelle méthodes "transcendantes" est l'utilisation, pour
l'étude de ces notions, de
"foncteurs généralisés", les distributeurs que je définirai et dont je donnerai quelques
propriétés.
Puis je donnerai quelques exemples de
leur utilisation en théorie "classique" des catégories. Mais ils ont
une "vie propre" et j'indiquerai comment on peut élaborer toute une
"théorie non classique" en les utilisant.
[14] Les pages que Schopenhauer a dédiées à la musique sont profondément
liées à la fois à sa métaphysique et à la culture musicale de son temps. Elles
présentent des idées qui ont eu une importance fondamentale dans notre culture:
la supériorité de la musique instrumentale ou musique « absolue », la
vision romantique de la musique comme langue universelle, et encore la
puissance expressive de la musique.
On propose ici d’analyser la philosophie
de la musique de Schopenhauer en relation à ces contextes. On pourra apprécier
le fait que, pendant les dizaines d’années de son activité, la réflexion de
Schopenhauer sur la musique a introduit d'assez importantes transformations
conceptuelles.
[15] On se propose de décrire le modèle d'Ising , en termes physiques et
combinatoires. Puis on posera le problème de la limite thermodynamique et de la
limite continue, menant à la notion de domaine (de Weiss). On introduira
ensuite les notions diverses d'entropie, et les théorèmes de concentration
correspondants. On sera alors équipé pour des applications à la physique
statistique, la chimie, la biologie ...
[16]
École mamuphi
de musique, pour philosophes et autres non-musiciens :
Les enjeux (généalogiques, archéologiques
et esthétiques) d’une œuvre musicale
Le projet est d’introduire les auditeurs
(en particulier ceux qui ignorent le solfège) aux enjeux musicaux d’une œuvre.
Si les enjeux musicaux d’une œuvre se
donnent dans la dialectique interprétative d’une écoute et d’une lecture de la
partition, le défi de cette école est alors d’ouvrir un accès à la partition
d’une œuvre pour qui ne sait la lire (sans pour autant transformer bien sûr
l’école en classe de solfège).
Chaque leçon s’attachera à une œuvre pour
en dégager les enjeux musicaux contemporains (s’entend : pour un
aujourd’hui musicien de la création musicale).
Les enjeux seront dépliés selon un triple
point de vue :
généalogique : avec quelles œuvres musicales cette œuvre dialogue-t-elle ?
archéologique : comment cette œuvre rétroagit-elle sur l’état du monde de la musique
dans lequel elle s’enracine ?
esthétique : de quelle époque de pensée cette œuvre musicale se veut-elle
contemporaine ?
Chaque œuvre sera présentée par un
musicien qui s’attachera à détailler pour quiconque sa partition, ses
interprétations significatives et une écoute possible.
[17] On commencera par une analyse musicale qui aborde l’œuvre selon son
écoute (la musique n’est-elle pas l’art spécifique de l’écoute ?).
Pour ce faire, on repèrera d’oreille (à
un type très spécifique de fluidité rythmique faisant trou dans l’ordre musical
du discours) un moment singulier intervenant dès les premières mesures (mes.
18-19), moment qui s’avère susceptible d’orienter l’écoute globale de l’œuvre
(on appelle moment-faveur ce type particulier de
moment).
On analysera, cette fois partition en
mains, ce moment pour en dégager la figure de crux
rythmique (en reprenant à Ralf Kirpatrick analysant les sonates de Scarlatti le
terme de crux pour l’approprier à un tout autre
contexte).
De quelle manière ce moment-faveur
oriente-il l’écoute en lui proposant un fil rouge, traversant l’œuvre de part
en part?
On dégagera d’abord le double striage
extrêmement contraignant qui ossature l’œuvre d’un bout à l’autre : en
termes de rythmes d’une part (trains d’impulsions régulières) et de hauteurs
d’autre part (séries tous intervalles inscrites verticalement).
On exhaussera alors la fluidité
affleurant lors du moment-faveur comme index d’une subjectivité musicale
parcourant fantasmatiquement le territoire rigoureusement balisé selon des lois
inapparentes.
On dégagera ce faisant comment un
contraste local entre deux voix s’accorde, au fil de l’œuvre, à un contraste
régional entre deux tempi comme à un contraste global entre deux allures en
sorte, au bout du compte, d’entendre la figure de crux comme constitutive de l’intension musicale
stratégique ici à l’œuvre.
À partir d’une telle intelligence
musicale de l’œuvre, on examinera ses enjeux généalogiques (la
généalogie de l’œuvre est simultanément schumanienne et sérielle, ce qui
suffirait en soi à l’inscrire comme singularité…), archéologiques (ce
que, dans le monde-Musique contemporain, figure peut vouloir dire s’il ne s’agit plus d’un thème ou même d’un objet
musical proprement dit) et esthétiques : quelles raisonances avec le travail freudien du rêve (condensation et déplacement)
et avec une problématique de la subjectivité comme traversée hasardeuse d’un
esplace institutionnellement réglé ?
[18]
François Nicolas : Théoriser
l’engendrement d’une aura poétique par l’œuvre musicale mixte à la lumière
mathématique du forçage (P. J. Cohen) d’une extension générique
On partira de deux
hypothèses.
1) La première est de
fond : les œuvres musicales mixtes (celles qui mettent en œuvre deux
déroulements temporels synchronisés : texte, danse, film, action
scénique…) peuvent engendrer une aura poétique, qui constitue une sorte
d’extension enveloppant l’œuvre de départ - cette hypothèse est suggérée par la
théorie wagnérienne du drame (Opéra et Drame, 1850) qui prône une musique poétiquement fécondée.
2) Comment théoriser
expérimentalement la constitution musicale d’une telle « aura
poétique » ? C’est là qu’intervient notre seconde hypothèse, cette
fois de méthode : éclairer une telle théorisation par la mathématique des
extensions, plus précisément du forçage (forcing) d’extensions génériques (P. J. Cohen).
Ceci engage un
programme de travail mamuphi
2009-2010 : l’exposé (qui, au demeurant, ne supposera nulle compréhension
préalable de la mathématique du forcing – on présentera liminairement sa
dynamique générale) sera donc problématisant plutôt qu’il n’offrira un
fascicule de résultats (voir, en annexe, le fascicule de résultats pour le
programme 2008-2009).
Les principales idées
qui vont guider cette théorisation musicienne à la lumière des mathématiques
sont les suivantes :
1.
Une œuvre
musicale mixte compose des interactions entre flux temporels synchrones.
2.
Ces interactions
seront formalisées comme interférences entre différents types de segmentation
(segmentation proprement musicale, segmentation littéraire ou chorégraphique…).
3.
Dans une œuvre
musicale mixte, c’est la musique qui dirige ces interactions, ce qui implique
une violence musicale exercée sur le flux hétérogène que l’œuvre accueille et
épouse.
4.
La composition
proprement musicale d’une extension auratique mobilise la
« convolution » de deux opérations inverses : une
« modulation » de la segmentation musicale par la segmentation
hétérogène, puis une « rétroaction » de la segmentation musicale
ainsi modulée sur le flux hétérogène.
5.
Dans la première
opération – « modulation » -, la musique fait violence au flux
hétérogène en déposant son inspect propre (tout en captant son aspect et épousant son intension). Dans la seconde opération –
« rétroaction » -, la musique fait violence au flux hétérogène en le
remodelant selon un inspect
musical importé, non natif.
6.
Au total, l’œuvre
musicale mixte sera ainsi ressentie comme étendue (dotée d’une aura), la pointe
de la théorisation, guidée par la problématique mathématique du forcing, étant
alors d’examiner de quelle manière il est possible de contrôler, de
l’intérieur même de la musique
(compositionnellement donc), une telle extension auratique non musicale (tout
de même que la mathématique contrôle une extension algébrique du corps des
rationnels ℚ de l’intérieur même de l’espace des polynômes
à coefficients dans ℚ et tout de même que
le forcing contrôle
l’extension M[G] de l’intérieur même de l’espace de départ M).
Annexes
Documentation
mathématique sur le forcing des extensions génériques (Paul J. Cohen)
· Thomas Jech : What is forcing ?
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Jech.pdf
·
Timothy Y.
Chow :
o Forcing for dummies
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Dummies.pdf
o A beginner’s guide to
forcing
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Chow.pdf
· Patrick Dehornoy : La méthode du
forcing
www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/Dehornoy.pdf
Fascicule de
résultats du programme de travail (2008-2009) sur la théorie des faisceaux
· Objets : l’objet musical (le morceau de musique) est un
faisceau.
B.VIII : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.VIII.pdf
· Relations : mais les plus musicales des relations entre ces
objets (leurs influences réciproques) ne sont pas des morphismes (de
faisceaux).
B.IX : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.IX.pdf
· Topos : au total, le monde-Musique (fait de ces objets et de leurs relations
c’est-à-dire des morceaux de musique et de leurs influences musicales) n’est
donc pas un topos de faisceaux.
B.X : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/2009.2010/mamuphi/B.X.pdf
[19]
Logics and Music Theory appear in different
classifications of the medieval academic curriculum. Logic is part of the
trivium (among grammar and rhetoric, while music theory is listed among the
more mathematical disciplines: arithmetic, geometry and astronomy). Logics as
the study of reasoning underwent a tremendous transformation through a process
of formalization and mathematization. Music Theory opened its scope to many
non-mathematical aspects (in particular those, traditionally covered by the
disciplines of the trivium). This "contrary motion" of research
interest offers several meetings points for Logics and Music Theory. One
particularly interesting 19th century meeting point shall be the starting point
for my talk which then proceeds into 20th century Logics and Mathematical Music
Theory.
Moritz Hauptmann (1953) in his treatise "Die
Natur der Harmonik und der Metrik: Zur Theorie der Musik" presented some
ideas which mark a radical position in the context of this MaMuPhi session.
Hauptmann interprets music first of all as a manifestation of human thought.
While assuming general dialectical principles behind the activity of human
thought he claims that musical mistakes are logical mistakes. According to
Hauptmann the unity of a tonality (Tonart) is the result of a dialectical
triad. Inspired by the idea to literally interpret the musical triad as a
dialectical triad, he loads the names of the intervals octave, fifth and third
with the corresponding dialectical meanings. A tonality is a kind of hypertriad,
i.e. constituted by three musical triads. Their contiguity via common tones is
the source for the Quintbegriff of the tonality, a diremption as the result of
conflicting tone meanings. The mediating and unifying Terzbegriff is based on a
change of perspective: the state of the tonic triad of being a dominant
(relative to the subdominant triad) is turned into the state of having a
dominant (relative to the dominant triad).
Hugo Riemann's (1872 and 1874)
"Musikalische Logik" is inspired by Hauptmann's ideas. Riemann
elaborates upon the explanatory power of this dialectical paradigm for the
constitution of typical cadences. I will show some traces of the intellectual
squeeze on Riemann when he tries to bring both sides together: the dialectical
explanation and music-theoretical facts. [Being in Paris I cannot refrain from
re-addressing Riemann's problem with a side glance to the semiotic square].
Riemann's "Musikalische Logik" and
"Musikalische Syntaxis" inspired the recent Neo-Riemannian approaches
by David Lewin, Richard Cohn, Clifton Callender, Jay Hook, Tom Fiore and Ramon
Satyendra and several others. But these left the original dialectical
motivations behind. Yet the transformational approaches of David Lewin and Guerino
Mazzola offer new ways to tie up with H. Riemann's orphaned project of a
"musical logic". My 2004 article "The Topos of Triads" is
an attempt in this direction. [In my MaMuX-talk (friday december 4) I will
clarify the close mathematical links between these investigations on the one
hand and the american Neo-Riemannian tradition on the other]. The locial
component which enters music theory here, is the internal logical semantics of
a topos, even though in a rudimentary way. I will explain and illustrate this
in my talk.
[20]
Cet
exposé est divisé en deux parties. Dans la première partie, on discutera le
caractère à la fois algébrique et géométrique des approches
transformationnelles en musique [Lewin 1987/2007] en séparant la composante
proprement théorique des applications analytiques. Dans la deuxième partie, à
partir d’une généralisation catégorielle de certaines constructions transformationnelles
[Mazzola & Andreatta 2006], on
essaiera de donner quelques éléments en vue d’une interprétation philosophique des
approches transformationnelles. Bien qu’ayant des rapports étroits avec le
positivisme logique [Andreatta 2006], nous proposons une nouvelle lecture
philosophique de l’approche transformationnelle visant à élargir les catégories
structurales appliquées traditionnellement à la musique more linguistico afin de mettre
en lumière des nouveaux enjeux philosophiques relevant du rapport entre
structuralisme et phénoménologie [Boi et al. 2007]. Après une brève digression
sur la place de la logique dans les approches set-théoriques et
transformationnelles [Kolman 1999], on conclura en présentant une démarche
récente autour du projet d’une géométrisation de l’analyse musicale basée sur
la théorie des orbifolds [Tymoczko 2006 ; Callender et al. 2008] et
dépassant, selon l’un des auteurs, certaines limitations de l’approche
transformationnelle de David Lewin [Tymoczko 2010].
Références
bibliographiques :
· [Lewin 1987/2007] D. Lewin, Generalized
Musical Intervals and Transformations, Yale University Press (réédition Oxford University Press, 2007).
· [Kolman 1999] O. Kolman, « Generalized
interval systems: an application of logic », Orbis Musicae, Rethinking
Interpretative Traditions in Musicology, Conference Proceedings, Tel Aviv
University, 67-73.
·
[Andreatta 2006]
M. Andreatta, « Mathématiques, musique et philosophie dans la tradition
américaine : la filiation Babbitt/Lewin », intervention au séminaire
MaMuPhi du 18 novembre 2006 [http://www.diffusion.ens.fr/index.php?res=conf&idconf=1560].
·
[Mazzola/Andreatta
2006] G. Mazzola, M. Andreatta, « From a Categorical Point of View :
· K-nets as Limit Denotators », Perspectives
of New Music, 44(2).
· [Tymoczko 2006] D. Tymoczko, « The
Geometry of Musical Chords », Science 313, p. 72-74.
· [Boi et al. 2007] L. Boi, P. Kerszberg, F. Patras (éd.), Rediscovering
Phenomenology. Phenomenological Essays on Mathematical Beings, Physical
Reality, Perception and Consciusness, Springer.
· [Callender et al. 2008] C. Callender, I. Quinn, D. Tymoczko,
« Generalized Voice-Leading Spaces », Science 320, p. 346-348.
· [Tymoczko 2010] D. Tymoczko,
« Generalizing Musical Intervals », à paraître dans Journal of
Music Theory
[21]
La modélisation mathématique, par exemple en musique, est
basée sur des "structures algébriques" déterminées en général par des
lois de compositions binaires. Est-ce naturelle ? Est-ce simple ? En fait il
est parfois mieux d'utiliser des lois de compositions ternaires.
Il arrive alors que les axiomes soient
plus naturels, les calculs plus
simples. En fait si ce que l'on modélise est rythmé par 3, si les objets s'y
disposent spontanément par 3, alors présenter la situation par un système
binaire reste artificiel. C'est comme cette conception malheureuse de Jean
Dieudonné qui rejetait les espaces affines au profit des espaces vectoriels ;
au prix de l'artifice de fixer une origine dans l'espace, alors que celui-ci
est pourtant sans origine. La réduction du 3 au 2 dépend de façon analogue de
systèmes de choix artificiels d'origines. C'est possible, cela permet un
développement analytique plus élémentaire mais parfois plus aveugle, mais il ne
faut pas alors oublié ensuite d'analyser les effets de ces choix, ce qui, en
réalité relève d'une petite analyse cohomologique (disons d'effets de torseurs).
On gagne par exemple à examiner comme ternaire la loi sur une cubique. Au
passage on réexaminera l'idée d'objet borroméen, et le groupe de Klein
$G_{168}$ sera revue à l'aide d'une loi ternaire. En fait je montrerai comment
en général la représentation du ternaire dans le binaire est possible, à
travers notamment un théorème de Post
un théorème de Gluskin-Hoszu,
un théorème de Tamari-Ginsburg, et enfin un théorème de représentation
par semi-anneaux. Le résultat est donc, pour les musiciens, qu'ils pourront dès
lors commencer certains modèles au niveau de leur naturel ternaire, pour
ensuite seulement, si nécessaire pour l'analyse, réduire automatiquement au
binaire. Cette démarche peut sembler préférable à celle où d'emblée le
modélisateur essaie directement d'utiliser les outils binaires connus à
disposition, même si en fait ceux-ci ne s'adaptent que mal, suivant des
contorsions difficiles. et incontrôlées.
[22]
1. Du
binaire au ternaire pour élargir l'espace
Suivant la
Chromodynamique quantique, l'antinomie Noir – Blanc peut s'ouvrir à une
nouvelle dimension en passant à la couleur (RVB). On peut donner à celle-ci un
sens général qui concerne, non l'œuvre en elle-même, mais le rapport à l'œuvre.
Alors Vert dénote le devenir, l'évolution; Bleu : la variance, la latéralité;
Rouge : la fondation, le type, l'inscription transverse. Ces nuances se lisent
en mathématiques, sur les schémas et sur les textes.
2. Du
ternaire au binaire pour intégrer le mouvement
Comme l'ont
noté Bailly & Longo, la science décrit des transformations entre deux états
supposés définis.Pour intégrer le mouvement dans la pensée (Bergson), il est
utile de passer à la tendance ou force. La perception (sans sujet ni objet) se
modélise par une spire = une boucle ouverte sans extrémités définies. L'objet
se définit alors comme l'invariant dans un cône (selon la démarche de Kant).
3. Du
binaire au ternaire pour poser
La perception
(binaire) est une interface, une visée. Elle se projette sur des objets se
définissant (action modélisée par une boucle), l'autre pôle de cette interface
–l'expectative de la visée - est une valeur, question ou grandeur, notions
regroupées sous le terme pôle -archétype. Ces pôles jouent différemment dans la négation et
suivent un mouvement de pulsation.
Ainsi se
dessine un ternaire entre action, perception et pôle, mais ce ternaire concerne
trois ordres de choses différents et non plus une transformation.
[23]
Dorothea Graumann, Baronne von Ertmann, est une des pianistes les plus
talentueuses au début du XIXème siècle. Elle connut Beethoven au début de sa
carrière, se passionna pour sa musique et, selon les mots du compositeur, elle
fut capable de l’interpréter comme «la vraie tutrice des créatures de mon
esprit» (cité par Walter
Riezler, Beethoven). Quand,
en 1831, Felix Mendelssohn lui rendit visite à Milan, ils passèrent plusieurs
heures ensemble à évoquer la musique de Beethoven. Mendelssohn fut frappé par
la narration d’un épisode remontant à vingt ans auparavant. À la suite du deuil
infligé par la mort du plus jeune de ses fils, la Baronne avait renoncé à la
vie mondaine, et Beethoven lui-même, en craignant de la troubler, avait évité
de la voir. Il attendit le retour à la vie et à la musique de son amie, et
quand elle se rendit chez lui, il s’assit au piano et murmura une seule phrase
: «on va parler par la musique». Il joua durant plus d’une heure et il lui laissa une impression
inoubliable, une impression qu’elle expliqua à Mendelssohn avec ces mots: «Il
me dit tout, et enfin il me donna réconfort» (l’épisode est relaté par Alexander Thayer, Life
of Beethoven ).
L’idée que la musique instrumentale puisse exprimer un langage
universel, plus profond et précis que la parole, fut élaborée par les
philosophes et les musiciens pendant la première moitié du XIXème siècle. En
suivant Haydn et Mozart, Beethoven donna à la musique une capacité expressive
inconnue auparavant. Le sujet de l’indépendance de la musique de par rapport à
l’expression verbale, que Carl Dahlhaus a brillamment défini «musique
absolue», manifeste le
changement profond de la notion de musique au XIXème siècle par rapport à
l’époque précédente. Cette notion est devenue une part essentielle de notre
culture sous le nom d’"esthétique musicale romantique". Elle fut développée par des écrivains
romantiques allemands – Ludwig Tiek, Wilhelm Heinrich Wackenroder, E.T.A.
Hoffmann entre autres – et par des philosophes à l’âge romantique, notamment
par Schopenhauer et Hegel.
La question qui se pose est celle de
l’adjectif "romantique". Hoffmann célébra
comme "romantique" la musique des grands
maîtres du style classique, Haydn, Mozart et Beethoven. Hegel et Schopenhauer
proposèrent la notion de "musique absolue"
en glorifiant Rossini. Nous essayons d’aborder cette question en examinant les
relations entre philosophie, sciences et musique dans les premiers décennies du
19ème siècle.
[24]
· S’il est vrai que l’intellectualité
mathématique trouve son impulsion réflexive dans le geste d’Évariste Galois
(1833) décidant que les mathématiques doivent « sauter à pieds joints
par-dessus les calculs »
pour mieux déployer la puissance formelle de leurs concepts, s’il est vrai que
depuis lors se dessine une polarisation du champ mathématique entre d’un côté
ce qu’Alain Connes appelle « mathématiques fondamentales » et de l’autre ce que le (néo)positivisme
appelle « mathématiques pour la modélisation », comment tout ceci concerne-t-il cette
intellectualité musicale mamuphi qui se soucie des raisonances
musique-mathématiques ?
· S’il est vrai que les rapports
musique-mathématiques ne sauraient être entièrement réfléchis de l’intérieur de
la musique ni de l’intérieur des mathématiques - l’autonomie de pensée de la
mathématique n’est pas intelligible de l’intérieur de la musique, et vice versa
-, s’il est vrai qu’il faut donc convoquer la philosophie pour s’orienter dans
ces rapports, comment la réactivation actuelle du structuralisme conçu comme
mouvement philosophique déployé contre le positivisme (et non comme
épistémologie des sciences humaines) peut-elle éclairer les débats mamuphi en cours ?
· S’il est vrai que l’entreprise structuraliste
constitue une nouvelle donne en matière de théoricité, où s’affrontent deux modes de théorisation –
d’un côté des pratiques théoriques, conjoncturellement situées et subjectivement orientées comme
interventions stratégiques s’épuisant dans leurs effets ; de l’autre des théories objectivement applicables, outils venant se
déposer et s’ajouter à l’encyclopédie des savoirs -, de quelle manière cette
ligne de partage éclaire-t-elle les différentes manières de théoriser la
musique à la lumière des mathématiques et à l’ombre de la philosophie ?
Sur la base de
réponses à ces trois questionnements, on essaiera de clarifier ce qu’il en est
de possibles connivences entre intellectualités mathématiques attachées aux
« mathématiques fondamentales » (tout particulièrement celle de
Grothendieck) et intellectualités musicales attachées à des pratiques
théoriques mathématiquement
éclairées et s’inscrivant ainsi dans la droite ligne de cette déclaration,
contemporaine de la fondation ramiste de l’intellectualité musicale :
« Ce n'est que par le secours des Mathématiques que mes idées se sont
débrouillées. » (Rameau).
On exposera à ce titre
un programme de travail visant à éclairer le monde de la musique par les
concepts mathématiques de faisceaux et de topos (Grothendieck / Lawvere). On
l’initiera en formalisant mathématiquement l’idée suivante : une œuvre
musicale est un faisceau d’interprétations, le faisceau des interprétations
d’une partition donnée. Ceci ouvrira à une formalisation possible du monde de
la musique comme topos d’œuvres.
[25] Les productions des langues naturelles se
présentent comme des concaténations d'éléments. On peut traduire mathématiquement
la concaténation par la loi de composition d'un monoïde.
Mais toute suite de mots ne constitue pas une phrase ; il faut une
structure syntaxique. De telles structures constituent les morphismes d'une
catégorie monoïdale.
Les théories interprétatives, comme la
phonologie ou la sémantique introduisent des filtres additionnels, qu'il paraît
convenable de prendre en compte au moyen d'une topologie convenable. Une
théorie interprétative est alors représentée par un faisceau sur un site
convenable.
[26] Nous demanderons à
un article devenu célèbre de M.Kac (Can one hear the shape of a drum?) de nous servir de prétexte pour une promenade à travers
des phénomènes et des questions
mathématiques et physiques qui sont parmi celles qui ont marqué le
vingtième siècle.
Sans forcer le pas ni le trait, on peut rencontrer ainsi
entre autres les systèmes dynamiques sous la forme des billards et des flots
géodésiques, partant la distinction cruciale entre elliptique et hyperbolique,
la quantification et la correspondance entre flots géodésiques et analyse
harmonique, la question de départ qui est celle de l'isospectralité possible -
et de fait réalisée - entre des variétés riemanniennes, la formule des traces
de Selberg qui réalise en quelque sorte la correspondance entre les théories
classique et quantique dans les cas favorables, l'hypothèse de Riemann, la
question du `chaos quantique' qui reste
passablement mystérieuse, l'importance des orbites périodiques dans ce
contexte, comme aussi l'énigme du
rayonnement du corps noir qui est à la source de l'introduction (toujours
mystérieuse elle aussi) de la
quantification, etc.
Ajoutons tout de même qu'il s'agit bien aussi d'écouter une
certaine musique, comme le marquent et la question de départ et la biennommée
analyse harmonique.
Ce qui précède est presque à dessein décousu sinon
incompréhensible. Car s'il ne sera pas directement question de philosophie, il
s'agit pourtant d'illustrer sur le terrain un point aussi important que simple,
à savoir que les mathématiciens se promènent au jour le jour dans une forêt de
phénomènes lentement mis au jour, et qui rappellent fortement ceux que la
physique s'efforce (en principe, car ce n'est plus toujours aujourd'hui si
évident) de démêler. Et pour cause, puisque ce sont parfois les mêmes - et
parfois non.
Ces phénomènes sont `simples' par leur universalité même et
s'ils illustrent amplement la fameuse phrase de Galilée sur la nature écrite en
langage mathématique, celle-ci se laisse aussi bien lire à l'envers, comme une
naturalisation des mathématiques, ce qu'explorent quelquefois aussi les
sciences cognitives (sans qu'il
soit forcement besoin de trouver là un `nouveau paradigme').
On pourra en dernière instance poser alors quelques
questions, comme celle de tenir ensemble `philosophiquement' cette
résistance de l'objet mathématique
souvent très incomplètement exploré, souvent presque inaccessible, et la
construction de ce que les mathématiciens appellent `les grandes machines', qui
abordent d'autre manière le même réel mathématique (car chacun sait que les
mathématiciens sont `naïvement' platoniciens, i.e. d'une naïveté que la
pratique s'est chargée de leur enseigner).
[27] En guise de commentaire sur les systèmes
évolutifs à mémoire d'Ehresmann-Vanbremeersch (dont nous rappellerons ce qui nous
sera utile), nous voulons proposer une manière catégoricienne de modéliser
mathématiquement l'émergence d'objets radicalement nouveaux.
Ce que nous
proposons est un mécanisme de mise en scène de l'émergence basé sur la
construction de différentielles abstraites dont la non-trivialité sur un objet
exprime que cet objet est différent de sa constitution, qu'il est nouveau par
rapport à ses composants, ou, pour dire la chose de façon plus contractée et
souligner le paradoxal de l'enjeu, qu'il diffère de lui-même.
Cet outil nous paraît utile pour aborder
la question du sens d'un discours considéré comme émergent du discours (et non
pas comme simplement un composé grammatical de significations élémentaires) ou
aussi bien pour présenter d'autres enjeux d'émergence, en musique par exemple.
[texte
préparatoire]
[28] Intuitivement, une fonction f:R→R est continue
en un point a lorsqu'une variation infinitésimale de x au voisinage de
a provoque une variation infinitésimale de f(x) au voisinage de f(a).
L'approche que F.W. Lawvere et A. Kock ont donnée de la notion
d'infiniment petit est la suivante.
Si x est petit, x2 est encore plus petit. Si x est très,
très petit, x2 devient vraiment minuscule. Appelons donc
"infiniment petit" un nombre x tel que x2=0.
L'idée provient de la "théorie des jets" due à Ehresmann.
Considérons toutes les fonctions passant par un point du plan, que
rien ne nous empêche de prendre comme origine: donc f(0)=0.
Avoir la même tangente à l'origine est une relation
d'équivalence: une classe d'équivalence s'appelle un
"jet". Le propre d'un tel jet est que si on l'élève au
carré, on trouve le jet nul (la classe d'une fonction à tangente
horizontale).
Divers auteurs ont prouvé qu'en travaillant dans des topos ad
hoc, on peut construire des anneaux R admettant des éléments de carré
nul, que l'on peut penser comme étant les infiniment petits et grâce
auxquels on peut développer la géométrie différentielle.
Et de bons théorèmes de plongement prouvent que tout
théorème démontré grâce à cette approche intuitive des infiniment
petits est un théorème valide en géométrie différentielle classique.
[29] Nous soutiendrons
ceci : la modélisation mathématique qualitative n’a pas à choisir entre
l'approche logicienne et l'approche géométrique, puisqu'au point de vue
diagrammatique ces méthodes s'identifient l'une à l'autre. Nous rapprocherons
précisément la démarche « logicienne » par spécification de formules
modales, et la
démarche « homologicienne », par spécification de conditions sur
la courbure ou l’homologie. Cela sera exposé de deux façons liées, d'abord en
termes de conditions différentielles générales et puis en termes d’homologie
générale.
La première partie reprendra l'unification par le calcul
des assimilations
qui permet de comprendre l’écriture de conditions différentielles générales, incluant les conditions de
modalités spéculatives et les conditions de courbure. Question du réglage
direct de comment les discours changent, de comment les figures changent.
La deuxième partie affirmera encore que d’un point de vue
suffisamment éloigné la logique comme question des quantifications et modalités
discursives et la cohomologie comme théorie du calcul qualitatif de la courbure
et des déformations, se rejoignent ; et cette fois pour le voir il sera
fourni une définition générale du concept d'homologie dont dérive aussi bien les
techniques de logique intuitionniste que les techniques d'algèbre homologique
abélienne classique. On est alors dans une problématique plus vaste que dans la
première partie, puisqu'il s'agit non plus d'un simple réglage du changement,
mais de l'analyse de la forme même des changements, des changements de
changements, etc.
Références :
1) Images
et modalités,
Résumé d'une conférence au SIC à Amiens, le samedi 10 novembre 2001, 2 p.
2) Calcul d’assimilations, modalités et analyse d’images, in
Calculs et formes,
Ellipses, 2003 (Actes du Colloque « Mathématiques : calculs et
formes », Université Toulouse Le Mirail, septembre 2000), 175-189.
3) An anabelian
definition of abelian homology, CTGDC XXXXVIII, 4, 2007, 261-269.
[30] Mon intervention sera centrée autour des implications de la
formalisation mathématique dans deux démarches de compositeurs de la seconde
moitié du XXe siècle : Milton Babbitt (1916) et Iannis Xenakis
(1922-2001). Le terme d’« implication » sera ici entendu selon les
deux sens qui lui sont généralement attribués. Il s’agira en effet, à partir
d’exemples précis, de cerner les modalités « opératoires » de la
formalisation chez ces deux compositeurs, la manière avec elle est, donc, impliquée dans les processus compositionnels. Dans un second temps, on
s’interrogera sur les implications, dans le sens
logique cette fois-ci, que nos observations pourrait avoir sur l’interprétation
analytique des œuvres concernées, et sur celle des démarches plus générales de
ces compositeurs.
[31] La notion d’échelle temporelle est fondamentale en musique, depuis le
timbre jusqu’à la forme, en passant par la note et le rythme. La composition
musicale utilise ces différentes échelles, les mélange (parfois) et utilise ce
matériau avec une logique propre, et des contraintes spécifiques.
On se demandera si une telle
problématique est relevante en mathématiques et si elle peut produire des zones
de « friction’ » avec la musique.
En partant de quelques exemples où des
objets mathématiques émergent à partir de structures à très petite échelle, ou,
inversement, certaines échelles sont gommées afin d’exhiber des
structures intéressantes, on essaiera de noter quelques ressemblances/différences
avec l’utilisation multi-échelle du temps dans l’activité musicale.
[32] On commencera par une présentation des idées
fondamentales de linéarisation et de représentation en mathématique, avant
d'esquisser la théorie des représentations linéaires des groupes, initiée (dans
le cas des groupes finis) par Frobenius à la fin du XIXème siècle. Un acteur
majeur fut H. Weyl qui, en liaison avec ses travaux sur les fondements de
la mécanique quantique, fit la jonction inattendue avec l'analyse harmonique de
Fourier et créa l'analyse harmonique non-commutative.
Le rêve de
Burnside de mettre à profit l'impressionnante effectivité de la théorie des
représentations linéaires pour classifier tous les groupes finis simples s'est
finalement réalisé au bout d'un siècle. Entre-temps, cette théorie avait permis
à Killing et Cartan de classifier tous les groupes infinis "continus"
simples. Nous terminerons en expliquant comment le problème général de
classification des représentations linéaires mène à une trichotomie (fini, modéré, sauvage), et comment l'indécidabilité surgit au cœur de situations extrêmement
concrètes et apparemment élémentaires.
Références:
J. P. Serre, Représentations
linéaires des groupes finis,
Hermann.
G. Mackey, The
Scope and History of commutative and noncommutative Harmonic Analysis, History of Mathematics, vol. 5, AMS/LMS.
[33]
L'acception la plus
courante du terme "singularité" en mathématique est celle qui
s'oppose à "lissité": il s'agit du lieu - grain, pli, fronce,
etc.. - où le principe général de linéarisation tombe en défaut.
Au cours d'une
présentation phénoménologique des singularités et bifurcations (comment elles
apparaissent, se déploient, disparaissent - en laissant des traces...), nous
nous attacherons à illustrer deux "thèses" qui se dégagent de la
théorie foisonnante des singularités:
1) un peu à la
manière de Platon dans le Timée, cette théorie jette un pont (très subtil) entre le monde continu
et le monde discret;
2) comme disait P.
Montel (en exagérant volontairement), "les fonctions sont, comme les
êtres vivants, caractérisées par leurs singularités".
Bibliographie :
-
V. Arnold:
Catastrophe theory, Springer
-
(images) pages
web d'Innsbruck (H. Hauser et al.):
http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html
http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/animationenvonflaechen/start.html