François Nicolas : Leçons de mathématiques modernes 

Une image contenant texte

Description générée automatiquement

 

Théâtre La Commune d’Aubervilliers - salle des Quatre Chemins

41, rue Lécuyer — 93300.Aubervilliers (M° Quatre Chemins)

Une image contenant carte

Description générée automatiquement

 

Un dimanche par mois de 17h à 19h.

Entrée libre (50 places)

 

Chaque séance sera ensuite visionnable sur la chaîne Youtube consacrée à ces leçons.

 

Site : www.entretemps.asso.fr/Nicolas/mathsmodernes

Liste de discussion : mathsmodernes@framalistes.org

Chaine YouTube

 

Ces leçons s’adressent à quiconque. Nulle connaissance mathématique spéciale n’est préalablement requise. Ainsi, l’impératif de David Hilbert (1900) sera le nôtre : « Une théorie mathématique doit être rendue tellement claire qu’on puisse la faire comprendre au premier individu rencontré dans la rue. »

 

***

Programme 2021-2022

·      3 octobre 2021 :                           introduction

·      21 novembre 2021 : théorie arithmétique des nombres réels (Dedekind, 1858)

·      5 décembre 2021 : théorie algébrique des groupes (Galois, 1830)

·      9 janvier 2022 : théorie analytique des grandeurs complexes (Cauchy, 1838)

·      6 février 2022 : théorie algébrico-géométrique des quaternions (Hamilton, 1843)

·      20 mars 2022 : théorie géométrique de la courbure intrinsèque (Gauss, 1828)

·      3 avril 2022 : théorie topologique des variétés (Riemann, 1854)

·       22 mai 2022 :                               conclusion

 

L’échec de la prometteuse réforme dite « des maths modernes » (engagée dans les années 60 puis défaite au tournant des années 70-80) a débouché sur un état désastreux de la connaissance mathématique pour la majorité de la population : plus que jamais, les mathématiques créatrices sont complètement séparées du reste de la pensée humaine. Le grand public n’en connaît plus que les quelques applications empiriques et utilitaristes (gestion de vastes données, intelligence artificielle…) qui intéressent directement le capitalisme néolibéral pour sa gestion du monde contemporain.

Pourtant, les mathématiques – et singulièrement les mathématiques modernes qui, au début du XIX° siècle ont infléchi les mathématiques classiques antérieures – constituent un trésor d’émancipation pour la pensée humaine, trésor dans lequel, malheureusement, le marxisme n’a guère puisé mais qui constitue pourtant, pour l’humanité du XXI° siècle, des ressources de pensée sans égales.

D’où ce retour au début de ces mathématiques modernes pour en examiner en détail l’inventivité intellectuelle à la disposition de tout un chacun.

 

Le principe de ces leçons sera donc :

À la lumière des mathématiques modernes et à l’ombre de la philosophie contemporaine,

intellectualiser les pensées militantes, musiciennes et amoureuses.

 

À notre programme, les trente premières années (avant Cantor) de la modernité mathématique : de Gauss (1828) à Dedekind (1858) en passant par Galois (1830), Cauchy (1838), Hamilton (1843) et Riemann (1854).

Nous reprendrons ainsi, à l’automne 2021, ce que nous avons dû interrompre fin 2020 (pour raison de pandémie) après une première séance introductive ici disponible ( http://www.entretemps.asso.fr/Nicolas/mathsmodernes/1.Ouverture.html ).

 

 

Discipline

Auteur

Notion mathématique

Enjeu intellectuel

3 octobre 2021

Introduction

21 novembre 2021

arithmétique

Dedekind

[1858]

les (nombres) réels

Révolutionner une situation par adjonction-extension

5 décembre 2021

algèbre

Galois

[1830]

les groupes

Organiser un collectif selon un principe constituant

9 janvier 2022

analyse

Cauchy

[1838]

les (grandeurs) complexes

Étendre une situation effective par adjonction de ses possibilités

6 février 2022

Hamilton

[1843]

les quaternions

Orienter un parcours en 3D en mesurant l’espace selon une quatrième dimension

20 mars 2022

géométrie

Gauss

[1828]

les espaces courbes

Comprendre l’inflexion intrinsèque d’un espace de pensée

3 avril 2022

topologie

Riemann

[1854]

les variétés

Étendre la compréhension endogène de ce même espace de pensée par adjonction d’un atlas d’images

22 mai 2022

Conclusion

 

***

Argumentation générale

 

Nos temps contemporains, profondément désorientés par l’échec des émancipations politiques à la fin du XX° siècle, désespèrent de l’humanité et s’enfoncent dans une méfiance généralisée, exaspérée par une conception naturalisante de l’animal humain qui prêche la résignation servile à une inéluctable finitude et subordonne toute activité à une gestion citoyenne des déchets sous horizon de mort.

 

Pour rétablir les conditions intellectuelles d’une confiance rationnelle en l’humanité,

il nous faut les mathématiques modernes !

Prenons exemple sur Lautréamont (1869) : « Ô mathématiques sévères, merci pour les services innombrables que vous nous avez rendus. Merci pour les qualités dont vous avez enrichi notre intelligence. Sans vous, nous aurions peut-être été vaincus. Vous nous donnâtes la froideur, la prudence opiniâtre, la logique. Avec vos syllogismes, notre intelligence sentit s’accroître ses forces audacieuses. »

 

Si la pensée mathématique ne saurait nous livrer sur un plateau une conception émancipée de l’humanité et de l’infinité dont elle est capable – c’est l’affaire de la pensée politique de mettre en œuvre les idées que l’humanité soutient contradictoirement d’elle-même -, les mathématiques sont essentielles pour formaliser les conditions intellectuelles de possibilité d’une telle émancipation. Et si liberté nomme bien la capacité de transformer une contingence rencontrée en la discipline subjective d’une nécessité existentielle, alors Georg Cantor pouvait légitimement affirmer que « l’essence des mathématiques est leur liberté ».

Prenons donc appui sur leur libre subjectivité, sur leur persévérance face aux adversités et impasses (« C’est un principe cardinal en mathématiques de ne pas rejeter une bonne idée simplement parce qu’elle ne marche pas. » Ian Stewart), sur leur capacité de travailler collectivement à long terme, en partage égalitaire des intelligences, dans la confiance en leur propre puissance – les théories mathématiques avancent à échelle de plusieurs siècles, non de quelques décennies, moins encore d’une simple existence individuelle.

 

Pour cela, comprenons comment s’est constituée la modernité mathématique avant Cantor (de 1828 jusqu’en 1858, via 1848 et donc parallèlement à la modernité politique post-Révolution française), en étudiant six théories mathématiques couvrant les principaux continents de la mathématique (arithmétique, géométrie, algèbre, analyse et topologie) et susceptibles, chacune à sa manière, d’éclairer ce que pensée moderne veut intellectuellement dire.

 

 

Nous retiendrons pour cela six théories :

1)    la théorie arithmétique des nombres réels (Dedekind, 1858), pour éclairer ce que révolutionner par adjonction-extension veut dire ;

2)    la théorie algébrique des groupes (Galois, 1830), pour éclairer ce que s’organiser veut dire et implique comme discipline des formes ;

3)    la théorie analytique des grandeurs complexes (Cauchy, 1838), pour éclairer ce que étendre une situation effective (par adjonction de ses possibles) veut dire, et par là ce qu’action restreinte (entendue comme action régionale, globalement prolongeable) veut dire ;

4)    la théorie des quaternions (Hamilton, 1843), pour éclairer comment s’orienter veut dire intriquer trois opérations : se repérer se situer se diriger ;

5)    la théorie géométrique des surfaces courbes (Gauss, 1828), pour éclairer ce que propriété intrinsèque d’un espace de pensée veut dire et par là comment marcher droit dans un espace courbe ;

6)    la théorie topologique des variétés (Riemann, 1854), pour éclairer ce que consistance autonome veut dire ; ce faisant, on ouvrira à la modernité mathématique post-Cantor en abordant la théorie des tenseurs (Levi-Civita, 1900) qui éclaire ce qu’intriquer causes internes et causes externes veut dire.

 


 

Par exemple, on y apprendra :

-       qu’à l’école des mathématiques dialectisant pour elles-mêmes formalisation algébrique et interprétation géométrique, penser implique à la fois de formaliser (formaliser algébriquement, former géométriquement et formuler langagièrement) et d’interpréter (dans des modèles concrets) ;

-       que révolutionner une situation n’est pas nécessairement abandonner pour rebâtir ailleurs (révolutions plutôt antiques), détruire pour reconstruire (révolutions plutôt classiques), mais désormais adjoindre pour étendre (révolutions modernes) ;

-       que la pensée librement émancipée soutient qu’« il n’y a pas que ce qu’il y a » car il y a des possibles et des potentialités en sus des effectivités qu’il y a déjà aux yeux de tous, en sorte que penser activement une situation revient à intriquer ses possibilités et ses potentialités à ses effectivités sans se contenter de gérer ce qui est manifestement déjà là et depuis toujours aux yeux de tous ;

-       que l’action restreinte n’est pas un « agir localement » (faute de pouvoir agir globalement) cantonné au voisinage des « prochains », mais la création d’une région d’intervention dotée ipso facto d’une puissance affirmative globalement prolongeable ;

-       que, dans la modernité, s’organiser en vue de tâches communes, c’est instaurer une unité de groupe ad hoc plutôt qu’additionner et regrouper des compétences individuelles préalablement existantes (un groupe moderne n’est pas un regroupement, un cartel qui s’édifie « un par un »…) ;

-       que s’orienter dans l’espace à trois dimensions nécessite de mobiliser une quatrième dimension, susceptible alors de donner sens algébrico-géométrique à « l’axiome du montage : 3+1=1 » humoristiquement avancé par Jean-Luc Godard ;

-       que s’orienter, c’est intriquer trois opérations : se repérer, se situer et se diriger ;

-       que tout n’est pas pour autant orientable (pas plus que tout n’est politique ou tout n’est sexuel) mais que ce qui l’est l’est alors dualement : selon deux orientations contradictoires et deux seulement - autrement dit, en matière d’orientations, on n’échappe à la binarité qu’en étant sans orientation ;

-       qu’il est possible de comprendre, en intériorité et non pas en surplomb, comment une vie droite se courbe par rencontre de quelque événement, autrement dit de cheminer rationnellement à partir de la situation décrite par Dante : « Au milieu du chemin de notre vie, je me trouvai par une forêt obscure car la voie droite avait été gauchie. » ;

-       que les espaces de pensée peuvent se réfléchir de manière immanente pour peu qu’ils se dotent d’un atlas consistant d’images mentales ;

-       que la manière dont « les causes externes agissent par les causes internes » est une intrication dont les tenseurs nous déploient un paradigme formel ;

-       au total, que penser librement par soi-même, de manière conséquente et universelle, c’est s’attacher à effectuer quelque possible jusque-là inaperçu et qu’une victoire subjective a mis à l’ordre du jour ; qu’il n’y a donc pas de pensée sans enthousiasme et sans angoisse devant l’émergence d’un nouveau champ de possibles, sans courage de l’activer en intériorité, autant dire sans longue marche sous la directive « oser vaincre ! ».

 

*****