De la solidarité de groupe dans la théorie galoisienne

(séminaire mamuphi, Ircam, samedi 13 octobre 2018)

 

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- François Nicolas -

 

Deux cents ans après Galois, Alain Connes déclare qu’il lui a fallu « beaucoup de temps » et « énormément de travail » en 2011 pour arriver à « comprendre la pénétration de la pensée de Galois » et prendre conscience de ce que « sa pensée garde son potentiel de mise en mouvement » et cette « fulgurance qui montre la voie à suivre ». [1]

Pour mieux rétablir l’idée galoisienne d’ambiguïté, Connes délaisse provisoirement les structures algébriques abstraites que la modernité bourbakiste a retenues (groupes de symétrie des k-automorphismes, anneaux des polynômes, corps de résolution, espaces vectoriels et k-algèbres des extensions…) pour réactiver l’étonnement premier : il existe des relations rationnelles entre racines non rationnelles d’une même équation polynomiale, et c’est l’étude systématique de ces relations qui fonde la théorisation galoisienne avant qu’elle ne devienne officiellement « la théorie de Galois ».

Ce retournement rétablit une continuité Lagrange-Galois (sous le signe des « résolvantes » auxiliaires) pour mieux mettre en évidence le pas gagné par Galois : la lettre x ne symbolise plus tant une inconnue individuée que le membre générique d’un collectif solidaire, l’enjeu de l’équation n’est plus tant sa résolution (en x) que la caractérisation de son groupe si bien que les structures algébriques (dégagées dans la seconde vague de la modernité algébrique par Steinitz, Artin…) se réassurent ainsi dans leur capacité à formaliser le modèle polynomial.

 

Ce réancrage de la théorie dans son modèle constituant invite à repenser ce que modernité (ici algébrique) veut dire : par-delà le risque de l’abstraction formaliste où la syntaxe cultive ses capacités autoréférentielles (le « modernisme »), le retour à la sémantique originelle revivifie le travail théorique en autorisant quelques nouvelles interprétations de la formalisation patiemment élaborée et, par-là, quelques nouvelles extensions théoriques (songeons à la notion contemporaine de perfectoïde [2] venant explorer les parentés formelles d’espace géométrique entre l’algèbre polynomiale et l’arithmétique p-adique).

Ce faisant, le travail théorique avoue le secret commun à ses différents modèles en le formalisant : ainsi la forme du secret polynomial va se donner en l’idée de groupe qui formalise la solidarité secrète des racines (« l’ambiguïté » syntaxique avoue la solidarité sémantique des racines « conjuguées », donc gémellaires).

Ce qui caractériserait alors le travail théorique moderne serait que les secrets des modèles ne relèveraient plus d’une dissimulation (voir la logique infantile de l’objet caché pour mieux préparer la surprise de sa réapparition) qu’une mise au jour suffirait alors à dissiper, mais d’une singularité (dont Hironaka délivre le chiffre : une configuration locale qui avoue, par quelque irrégularité phénoménale, que deux tendances globalement orthogonales – c’est le secret d’ensemble - y sont rendues indiscernables). Dans notre cas, la théorie algébrique ne vise plus, comme dans l’algèbre classique, la résorption « par radicaux » du secret polynomial (tout classicisme ne répand-il pas quelque parfum d’enfance ?) mais l’aveu de sa singularité sous forme d’un groupe de solidarité entre racines.

 

Au total, on aurait donc la périodisation suivante :

-      La première vague de la modernité algébrique (XIX°) avoue l’existence singulière d’un groupe qui reste pratiquement incalculable – d’où l’incompréhension tenace des « réalistes ».

-      La seconde vague (première moitié du XX°) autonomise la forme de cet aveu, la séparant de la singularité secrète du polynome, par l’étude des nouvelles structures algébriques ainsi dégagées (d’où le risque « moderniste » d’un certain péril formaliste).

-      La troisième vague (à partir des années 60), celle-là même qu’il s’agit cinquante ans plus tard de ressaisir inventivement (voir les chantiers en cours autour de Grothendieck) contre les sirènes démobilisatrices du consentement postmoderne, réancre la forme générale de l’aveu dans les secrets algébriques spécifiques en assumant consciemment qu’un secret avoué reste un secret (Lacan) : ainsi Connes, retournant à la théorie galoisienne d’avant « la théorie de Galois », éprouve que l’aveu, loin de  dissiper le secret, le réactive en amplifiant ses échos.

 

Ce retour contemporain à la théorie galoisienne s’avère gros de raisonances pour les modernités musicale (composer en « groupant » des voix ?), mamuphique (« grouper » mathématiques, musique et philosophie ?) et politique (« justice » comme nom du groupe – infini - Humanité ?).

 

 

I.     La situation polynomiale et ses problèmes 4

∑ !!! 4

.. 4

Expressions 4

Fonctions 4

Équations. 5

.. 5

σ. 6

∏ ???. 7

G.. 8

Algèbre-arithmétique-géométrie. 9

II.    La théorie galoisienne. 10

Fonctoriel/fonctionnel 10

Petite pause sur cette distinction. 10

Groupements géométriques/algébriques 11

Groupement géométrique. 11

Groupe algébrique. 12

Point de vue fonctionnel 13

Arrangements-permutations. 13

1 - Fonction auxiliaire V.. 13

2 - Polynôme ℘.. 15

3 - Expression rationnelle de rα 15

4 - Expressions rationnelles des (n-1) autres racines. 15

5 – Équivalence permutationnelle 15

Intermède. 16

Formules par radicaux. 16

Fonction x5+x4-4x3-3x2+3x. 16

Polynôme x5+x4-4x3-3x2+3x+1=0. 17

Point de vue fonctoriel 19

Cadrage général 19

Prenons deux exemples . 19

Groupe. 19

Sous-groupe. 20

Sous-groupe distingué. 20

Groupe-quotient 20

Correspondance de Galois 20

Opération élémentaire. 20

Groupes simples/composés. 20

Réduction vers Id. 20

III.  Prolongements mathématiques 21

Passage à l’infini : les séries formelles 21

Le groupe de Galois différentiel 21

Les perfectoïdes 21

IV.  Raisonances 22

Évariste. 22

Sa vie. 22

Sa mort, une équation à 5 inconnues ! 22

Générales 22

Modernités 22

Néoclassicisme / transmodernité. 22

De la fonctionnalité à la Fonctorialité 22

De la collection constituée au collectif constituant…... 22

Solidarité. 23

À partir de 5….. 23

Musique. 23

L’écoute. 23

Wagner. 23

Politique. 23

Le groupe politique ?. 23

Grouper l’humanité ?. 23

Arts 23

Montage cinématographique 23

 

 

« La longue marche à travers la théorie de Galois » Alexandre Grothendieck

 

« La théorie de Galois est devenue tellement classique en mathématiques que les textes qui la présentent sont pour la plupart d’une facilité apparente qui est déconcertante et terriblement trompeuse car, en trivialisant les énoncés, elle en masque souvent la portée métamathématique. Il n’est donc sans doute pas inutile, même pour le mathématicien professionnel, de relire ces textes avec la fraicheur nécessaire, i.e. en essayant de réfléchir directement aux énoncés sans utiliser l’artillerie lourde. » Alain Connes [3]

 

À l’initiative d’Alain Connes, il s’agit de reprendre Galois et sa théorie des groupes par-delà la « Galois Theory » [GT] formalisée par Emil Artin (années 30-40) et Bourbaki, avant même son déplacement par Lie ( groupes de Lie), donc en son temps 0.

Cf. trois moments-dimensions de la modernité algébrique comme de toute modernité [4]:

Il s’agit d’exposer la théorie galoisienne (≠ de GT) en mettant à plat ses étonnements, ses questions et ses enjeux premiers, tels qu’ils peuvent se constituer avant même que n’existent les groupes, les anneaux, les corps, les espaces vectoriels et les k-algèbres, donc avant Dedekind.

Cf. ontogenèse : méthode d’exposition qui rapproche le Galois inventant la modernité algébrique et par là la modernité mathématique (le deuxième sera Riemann : les groupes de Galois et les surfaces de Riemann composent le premier temps de la modernité mathématique [5]) d’un mathématicien naïf, disons un lycéen issu de Terminale.

                                                                                                                                 I.     La situation polynomiale et ses problèmes

Didactique non bourbakiste (cf. Stewart) : commencer par degré 5 puis généraliser à n (cf. « soit maintenant 5=n ») plutôt que l’inverse (« soit maintenant n=5 »).

∑ !!!

Posons le problème en exposant les polynômes à partir de leur forme P(x)=∏(x-rj)

Expressions

Assemblons un collectif de manière extensionnelle par construction élémentaire progressive d’expressions où x est un nombre indéterminé :

Expression polynomiale

R={rj}

(x-1)

{1}

(x-1)(x-2)

{1, 2}

(x-1)(x-2)(x-3)

{1, 2, 3}

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

{1, 2, 3, 4}

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

{1, 2, 3, 4, 5}

 

 

(x-3)(x-√2)(x-π)

{3, √2, π}

Fonctions

Ces expressions polynomiales donnent lieu à des fonctions P(x) où x est un nombre variable :

par ex. P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

Un nombre peut appartenir à N, Z, Q, R ou C – ici le nombre variable x appartient à un corps, et les corps commencent avec Q.

Qu’est-ce que « mesure » cette fonction P(x) ? Elle mesure l’écart synthétique de x à la « base » {1, 2, 3, 4, 5}. Cette « base » constitue les « racines » de la fonction polynomiale : R={rj}

Exemple

f(x)=x5-1

x5-1=(x-1)(x-e2iπ/5)(x-e4iπ/5)(x-e6iπ/5)(x-e8iπ/5)=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)

La fonction f(x)=x5-1=∏(x-) mesure l’écart cumulé de x à chaque racine :

Ces racines - les x qui assurent que Pn(x) vaut 0 – constituent bien la base de la fonction.

Voir ici la différence entre P(x)=x5-1 et P’(x)=(x-1)5 ou entre [x5-1=0] et [(x-1)5=0].

La première équation a cinq racines différentes : x= ={} ; la seconde a une racine quintuple (cinq fois la même racine 1).

x5=1 formule qu’un rapport quintuple de x à soi-même vaut 1 quand (x-1)5=0 formule que cinq fois, le rapport de x à 1 s’annule. D’un côté, cinq nombres ont le même rapport triple à soi ; de l’autre, un même nombre est quintuplé.

Équations

Cette fonction engendre un ensemble infini d’équations {P(x)=q} dans laquelle se distingue l’équation polynomiale canonique P(x)=0.

Pourquoi ? Car cette équation canonique détermine nos racines, donc ce que j’ai appelé « la base » de la fonction polynomiale sous sa forme ∏ ; on va le voir quand on va développer ∏ en ∑ :

x5-15x4+85x3-225x2+274x-120=0 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=0

[voir plus loin p.15-16]

 

Au total, on a donc à faire à trois types différents de formalisations algébriques :

 

 

la forme polynomiale est une

x est un nombre

∏(x-rj)

expression

indéterminé

P(x)=∏(x-rj)

fonction

variable

P(x)=q

(de préférence 0)

équation

inconnu

Comme l’on sait ∏∑ :

 

∏(x-rj)

R={rj}

cixi

(x-1)

{1}

x-1

(x-1)(x-2)

{1, 2}

x2-3x+2

(x-1)(x-2)(x-3)

{1, 2, 3}

x3-6x2+11x-6

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

{1, 2, 3, 4}

x4-10x3+35x2-50x+24

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

{1, 2, 3, 4, 5}

x5-15x4+85x3-225x2+274x-120

 

 

 

(x-3)(x-√2)(x-π)

{3, √2, π}

x3-(3+√2+π)x2+(3√2+3π+π√2)x-3π√2

 

la forme polynomiale est une

x est un nombre

∏(x-rj)

expression

indéterminé

cixi

P(x)=∏(x-rj)

fonction

variable

P(x)=cixi

P(x)=q

(0 de préférence)

équation

inconnu

P(x)=q

(0 de préférence)

 

Notre polynôme P(x) a donc deux formes duales ∏/∑.

 

Noter que notre transformation (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=x5-15x4+85x3-225x2+274x-120 procède d’un calcul (algébrique) à la lettre et donc « aveugle » (cf. René Guitart).

C’est la même lettre x des deux côtés, qui des deux côtés intervient 5 fois mais de manières bien différentes. Il faut s’arrêter un peu longuement sur cette différence, pour en restituer l’étonnement premier [6] car tout ceci est au principe même de notre problème : celui de la résolution par radicaux des équations polynomiales présentées initialement sous leur forme ∑cixi=0.

 

Examinons les 2 équations (polynomiales) définies par ces 2 expressions (polynomiales) :

∏(x-rj)=0                                  cixi=0

 

x doit vérifier

le 1° ou le 2° ou… le n° terme

x doit vérifier

à la fois le 1° et le 2° et… le n° monômes

 

 

-      ∏(x)=0 formalise R={rj} extensionnellement selon une logique de produit fibré (pullback [7]) : multiplication de n monômes de degré 1 ;

-      ∑(x)=0 formalise R={rj} intensionnellement selon une logique de somme amalgamée (pushout [8]) : addition de n monômes de degré variable.

 

 

∑ formalise intensionnellement car il formalise les racines selon une propriété commune, vérifiée par chacune : on a bien ∑(rj)=∑cirji=0

Comment comprendre cette propriété ?

Cf. logique sémantique de cette didactique : la syntaxe (et en particulier le calcul qu’elle autorise [9]) est tendanciellement « aveugle » et il nous faut une sémantique pour en comprendre la logique rationnelle.

Cf. danger du « formalisme » (propre à M-II) quand l’autonomie relative de la syntaxe ou de la théorie tend à s’absolutiser en se coupant de toute sémantique (en oubliant, en « refoulant » ses modèles) :

 « formalisme » = refoulement du modèle et de l’interprétation sémantique 

∑ formalise un rapport complexe (d’ordre n) et amalgamé (par somme) de la variable x à elle-même.

∑ formalise le rapport à soi que partagent toutes les racines.

∑ formalise la propriété réflexive qui fait équivaloir toutes les racines entre elles.

Ainsi le nombre 1 vérifie aussi bien les 5 propriétés suivantes qu’une infinité d’autres du même type :

·       x-1=0

·       x2-3x+2=0

·       x3-6x2+11x-6=0

·       x4-10x3+35x2-50x+24=0

·       x5-15x4+85x3-225x2+274x-120=0

et s’il vérifie, par exemple la quatrième, c’est en tant que cette propriété est bien la seule qu’il ait en partage avec les trois autres nombres 2, 3 et 4.

Donc ∑ convertit la propriété 1{1, 2, 3, 4} en une propriété purement réflexive de 1 ne faisant pas intervenir explicitement les nombres 2, 3 et 4.

Cette conversion va évidemment être au principe de notre problème principal : comment dégager les racines d’un ∑ arbitrairement donné, comment passer d’une relation polynomiale réflexive ∑ à une relation polynomiale extensive ∏ ?

σ

La transformation ∏→∑ nous dote immédiatement d’une relation entre racines rj explicites de ∏ et coefficients ci explicites de ∑.

Prenons un exemple simple : (x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc=x3+c2x2+c1x+c0

On a :

1.     c3=1 [10]

2.     c2=a+b+c

3.     c1=ab+bc+ca

4.     c0=abc

Formalisons cela en général : ci=σi(rj) où σi désigne la somme systématique (et donc symétrique) de (n-i) produits de racines.

Ces relations ci=σi(rj) sont les sommes coefficients-racines.

Notons que ces relations sont symétriques et rationnelles (elles sont triplement internes au corps Q : par les coefficients des sommes, par les puissances entières des produits intervenant dans ces sommes et par leurs résultats rationnels que sont les ci) et symétriques. On peut les voir – et cela aura une grande importance dans la théorie galoisienne [11] – comme des relations rationnelles symétriques entre toutes les racines : on a ainsi par exemple ces deux relations rationnelles ∑rj=cn-1 et ∏rj=c0.

 

Notre espace de travail est donc ainsi constitué :

∏ ???

Posons-nous maintenant la question canonique : comment l’inverser ?

 

Pour cela, nous nous situerons désormais dans l’espace des polynômes

-       unitaires (le coefficient cn de xn vaut 1),

-       séparables (à racines simples : toutes les racines sont différentes),

-       à coefficients entiers (ci).

On démontre facilement [12] qu’on peut se ramener à ce cas-là par opérations arithmétiques élémentaires sur les coefficients et par multiplication/division dans l’anneau des polynômes.

 

On part donc désormais d’une expression polynomiale ∑cixi avec ci.

On sait (théorème de Lagrange) qu’il y a n racines algébriques (donc sur 𝔸 c’est-à-dire sur 𝔸𝔸) mais la forme ∑ de l’expression polynomiale ne la met pas au jour comme le faisait la forme duale ∏. Disons que, pour la forme ∑, ces racines sont secrètes et que la question posée est : comment travailler cette forme rationnelle (sur Q) peut avouer son secret c’est-à-dire mettre au jour ses n racines algébriques (sur A) ?

 

Rappel « sémantique » : l’expression ∑ amalgame un rapport complexe de x à lui-même qui formalise cet unique rapport à soi que toutes les racines partagent. En un sens ∑ ne nous dit rien d’autre que ce que ∏ nous dit aussi sous une autre forme : ∑(x)=0 xR={rj} mais il nous le dit « intensionnellement » (par une propriété discriminante de x) quand ∏ nous le dit « extensionnellement » donc explicitement (par la liste même des racines).

On peut voir ∑ comme filtrant l’ensembles des nombres algébriques pour ne sélectionner que les n nombres ayant la propriété réflexive ∑.

∑ nomme rationnellement (dans Q) la propriété distinctive d’une racine quelconque, c’est-à-dire d’un élément quelconque du collectif R délimité par l’expression polynômiale.

Ainsi quand on écrit une équation polynômiale quelconque, on définit rationnellement une propriété réflexive d’un nombre inconnu qui, sans qu’on n’y voit goutte, délimite un strict collectif de n nombres algébriques tel que dire « x a la propriété en question » équivaut absolument à dire « x appartient à ce petit collectif ».

 

Amusons-nous un instant : le polynôme suivant [13]

 [14]

formalise que sa plus grande solution 2025 appartient au collectif {1789, 1871,1917, 1968}, autant dire qu’en 2025, une révolution d’importance mondiale pourrait survenir !

 

Notre secret peut être diagrammatisé ainsi :

 

 

Le point singulier est le suivant : en amalgamant le collectif des racines pour formaliser la propriété réflexive commune qui distingue chaque membre, ∑ le dissimule en le structurant, l’organise en le refoulant !

En effet ∑ transforme une liste amorphe d’éléments {A, B, C, D, E} en une famille délimitée (elle serait différent si on y ajoutait F ou si l’on en retranchait E) d’éléments partageant un trait distinctif commun qui les discrimine parmi l’infinité (dénombrable, rappelons-le) des nombres algébriques.

En un sens, ∑ avoue le secret de ∏ (le trait individuel qui solidarise cette famille à la différence de tout autre, le trait commun des éléments) tout en refoulant – par amalgame - la composition effective de cette famille.

À l’inverse, ∏ avoue le secret de ∑ (la composition élémentaire détaillée du collectif, la liste de ses membres) tout en refoulant - par simple listage - le trait commun à tous ses membres.

La résolution de ce double excès/manque va se faire par mise au jour de la manière dont les racines sont groupées, ce qui va rendre compte de leur solidarité collective, c’est-à-dire des relations directes entre membres du collectif (et non plus du trait familial partagé).

 

On pressent qu’on va avoir à faire ici au nœud borroméen de trois formalisations de la même solidarité : ∑/∏/G, autant dire à un hexagone logique [15] :

On a affaire à trois formalisations différentes et complémentaires du même collectif :

·       ∑ formalise une famille caractérisée par un trait distinctif commun (sans que cette famille soit forcément solidaire).

·       ∏ formalise une collection de membres juxtaposés, une série ou une file indienne (ni trait distinctif commun ni solidarité propre).

·       G va formaliser un groupe rendu solidaire par les relations directes entre les membres.

G

Que veut dire « groupe » ? Que veut dire que plusieurs racines sont « groupées » ?

Plus loin, on va distinguer systématiquement la manière dont les racines sont directement groupées par des relations rationnelles entre elles du Groupe de Galois [GG] proprement dit qui ne concerne qu’indirectement les racines : par leurs permutations (le GG est donc le groupe des permutations, non des racines). Mais pour le moment, gardons l’ambiguïté duale du Groupement.

Cela veut dire que dans Q, « rationnellement » donc, elles sont indistinguables, elles n’y sont pas nommables séparément ; dans Q, ces racines sont parfaitement gémellaires.

Ces racines sont cependant délimitées (définies sur 𝔸, voire sur √) puisqu’il y a bien dans Q une nomination rationnelle de leur collectif solidaire : par un polynôme indécomposable sur Q du type (x2-2) ou (x2+1) ou (x5+x4-4x3-3x2+3x+1).

Donc les permutations entre ces racines conjuguées sont indiscernables dans toute expression rationnelle - c’est-à-dire expression rationnellement construite à valeur rationnelle : expressions polynomiales définies sur Q à valeur dans Q (ainsi ±√2 n’interviendra que dans des monômes d’exposant pair).

Point complémentaire (qui va avoir une importance dans la résolution par Galois du groupement) : la solidarité de groupe entre ces racines prend la forme d’une relation rationnelle directe entre ces racines  - par exemple les deux racines conjuguées {A, B} de (x2-2)=0 sont directement liées par la relation rationnelle directe : A2=B2 et les quatre {A, B, C, D} de (x4-2)=0 sont directement reliées par la relation rationnelle A4=B4=C4=D4.

Au total, un groupe (qui peut être un sous-groupe) de racines se manifeste sous 4 traits :

-       l’existence d’une nomination rationnelle de leur collectif comme tel (selon le trait distinctif que chaque membre partage) : voir le polynôme propre du groupe ;

-       l’inexistence d’une nomination individuelle pour chacune (le polynôme n’est pas séparable dans Q) ;

-       une indistinction rationnelle (« ambiguïté ») de leurs permutations (Q ne peut discerner une interversion des membres) ;

-       une relation rationnelle directe entre elles (la solidarité qui constitue la gémellité entre racines se dit rationnellement).

Remarquons une différence importante entre les trois premiers traits et le quatrième : les trois premiers sont relatifs au corps Q puisqu’ils concernent la capacité de discerner rationnellement des nombres qui ne sont pas forcément rationnels. Par contre le quatrième trait désigne une relation absolue entre racines algébriques : A2=B2 ou A4=B4=C4=D4 vaut absolument quelle que soit la nature rationnelle ou non des racines quand (x2-2)=0 ne peut nommer ±√2 seulement sur Q.

Tout de même, comme on le verra, pour l’équation x5+x4-4x3-3x2+3x+1=0 dont les 5 racines réelles {A, B, C, D, E}={-1,9…, -1,3…, -0,2…, 0,8…, 1,6…}ne sont pas formulables par radicaux, on a E=A2-2, D=E2-2, B=D2-2, C+B2-2 et A=C2-2.

Le quatrième trait va être la porte d’entrée pour l’aveu galoisien du groupe secret.

Pour le dire d’un mot, c’est ce trait qui concerne la dimension géométrique du groupement quand les trois autres concerne sa dimension arithmétique (liée au corps de résolution : de Q à C).

Algèbre-arithmétique-géométrie

Ce point a son importance : la théorie galoisienne reconfigure les rapports entre les trois grands domaines mathématiques : arithmétique, géométrie, algèbre.

La naissance de l’algèbre avait constitué un pont entre les deux continents, dogmatiquement séparés par Aristote [16], de l’arithmétique non axiomatisée et de la géométrie euclidiennement axiomatisée en formalisant d’une unique manière par la lettre x des quantités aussi bien arithmétiques (nombres) que géométriques (grandeurs).

                            

La théorie galoisienne des groupes dispose cette fois la géométrie des groupes [17] en pont entre l’algèbre des polynômes et l’arithmétique des corps.

Voir ce schéma synthétique de la « Galois Theory » :

                                                                                                                                                      II.     La théorie galoisienne

On peut comprendre la théorie galoisienne primitive, différente dont de la Galois Theory [GT], comme théorisation de la manière dont on peut passer de ∑ à ∏.

Fonctoriel/fonctionnel

L’idée va être de concevoir ce passage, dont on sait qu’il va donner dans la GT  comme un espace fonctionnel : l’espace de fonctions polynomiales rationnelles car l’opérateur du travail Fonctoriel  va être un travail sur les fonctions polynomiales à n variables généralisant en quelque sorte les ci=σi(rj).

En effet, le point de départ de la GT est le groupe des substitutions (entre racines) indécelables dans Q par des polynômes rationnels, groupe qui concerne donc le rapport G/Q.

Posons que le rapport entre G et Q, qui va donner , est un rapport Fonctoriel (entre deux catégories : celle des groupes et celle des corps) et que la manière de rapporter ces deux catégories est fonctionnel puisque ce sont des fonctions polynomiales ℙ qui discriminent permutations décelables/indécelables : au point d’arrivée Id/Q[rk], toutes les substitutions sont devenues décelables par ℙ sur le corps étendu.

On voit donc que le fonctionnel constitue le Fonctoriel : noue Fonctoriellement G et K ; ou : G est relié à K par .

On a

Remarquons, au passage, l’analogie avec notre point de départ :

Les transformations internes à l’anneau P des polynômes relient fonctoriellement la catégorie des groupes et la catégorie des corps comme les sommes coefficients-racines corrèlent fonctionnellement la présentation duale d’un polynôme en somme de monômes ou en produit de polynômes simples.

Petite pause sur cette distinction

Le fonctionnel associe un élément et un seul à un ou plusieurs éléments.

Le fonctoriel est une correspondance entre structures. Il faut le comparer à une marche sur deux jambes : toute la correspondance de Galois est basée sur ce principe (avancer d’un côté – du côté des corps par AE – pour avancer ensuite de l’autre – du côté des groupes).

Mais le fonctoriel compte en fait 3 et pas 2 car il y a 1 correspondance entre 2 structures : la pensée fonctorielle avance sur deux jambes et il y a donc 1 pensée qui coordonne 2 jambes.

Dans notre situation, ce qui coordonne fonctoriellement la catégorie des groupes et celle des corps est l’anneau des plolynômes :

Groupements géométriques/algébriques

Il faut maintenant bien distinguer deux modes de groupements polynomiaux pour les racines :

-      un mode de groupement direct entre les racines, qui ne fait pas intervenir leur corps de définition ; on parlera ici de groupement géométrique ;

-      un groupe algébrique strict, le GG, dont les éléments ne sont pas les racines mais les permutations entre différents arrangements des n racines.

Détaillons.

Groupement géométrique

En détaillant quelques équations du 5° degré, on peut voir que les racines s’avèrent différemment regroupables, par exemple de ces 7 manières :

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) ≡ {1, 2, 3, 4, 5}

 

1+1+1+1+1

 

(x-1)(x-2)(x-3)(x2-2) ≡{1, 2, 3, ±√2}

 

1+1+1+2

 

(x-1)(x2-2)(x2+1) ≡ {1, ±√2, ±i}

 

1+2+2

 

(x-1)(x-2)(x3-2)

 

1+1+3

 

(x2-2)(x3-2)

 

2+3

 

(x-1)(x4-2) ≡{1, ±, ±i}

 

1+4

 

x5-2=0

 

5

 

x5+x4-4x3-3x2+3x+1

 

5

 

 

R

G

x5-15x4+85x3-225x2+274x-120

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

{1, 2, 3, 4, 5}

1+1+1+1+1

=Id

x5-6x4+9x3+6x2-22x+12

(x-1)(x-2)(x-3)(x2-2)

{1, 2, 3, ±√2}

1+1+1+2

 

(x-1)(x-2)(x3-2)

 

1+1+3

x5-x4-x3+x2-2x+2

(x-1)(x2-2)(x2+1)

{1, ±√2, ±i}

1+2+2

x5-x4-2x+2

(x-1)(x4-2)

{1, ±, ±i}

1+4

 

(x2-2)(x3-2)

 

2+3

 

x5-2=0

 

5

x5+x4-4x3-3x2+3x+1

 

{A, B, C, D, E}

{-1,9…, -1,3…, -0,2…, 0,8…, 1,6…}

5

 

Ces relations directes entre racines ne sont pas dépendantes du corps de définitions : certes (x2-2), indécomposable sur Q, peut se décomposer sur √ en (x+√2)(x-√2) mais la relation directe entre les deux racines A2=B2 c’est-à-dire ici (√2)2=(-√2)2 ne dépend pas du corps.

C’est elle que je diagrammatise par mes différents pentagones.

Groupe algébrique

Le groupe algébrique de Galois est, lui, relatif à une différence de corps puisqu’il concerne les substitutions de racines qui sont indécelables sur un corps donné et cette indécelabilité est relative à l’écart entre le corps de discernement des racines (√ pour ±√2 ou C pour ±i) et le corps de définition des polynômes (ici Q) :

sur Q, une permutation entre √2 et -√2 est indécelable par le polynôme (x2-2) mais la même permutation ne l’est plus sur ou A ou R ou C.

 

Résumons les différences :

 

groupement géométrique

Groupe algébrique : GG

racines

permutations

statique

dynamique

endogène ou direct

exogène ou indirect

« absolu » :

A2=B2

B=A2-2

relatif

(x2-2) | (x+√2)(x-√2)

x5+x4-4x3-3x2+3x+1 est indécomposable.

 

En un certain sens, le point de vue géométrique [18] est un en-deçà de l’algèbre de Galois, une sorte de transcendantal pour l’algèbre.

Cf. le point de vue moderne, lié à la révolution de la conception d’espace : non seulement les espaces non euclidiens et les surfaces de Riemann (prolifération des espaces par invalidation de l’unicité d’un espace naturel) mais, plus encore, les espaces fonctionnels/vectoriels/de Hilbert, etc. qui partagent alors avec l’espace einsteinien le fait que l’espace en question ne préexiste pas à ses objets car ces objets non pas peuplent l’espace en question mais le constituent : on passe en quelque sorte de « un espace et ses objets » à « des objets et leur espace propre ».

Cf. le rôle de la géométrie dans M-III : la géométrisation des mathématiques configure ce « tournant géométrique » que la mathématique oppose au « tournant logiciste et linguistique » de la philosophie analytique…

 

Nous allons donc parcourir la théorie des groupes selon deux parcours :

-      un parcours fonctionnel partant de {P}=ℙ pour voir comment il met en branle la correspondance fonctorielle ;

-      un parcours fonctoriel partant de  pour voir comment les différentes structures articulent fonctoriellement leurs transformations.

Dans le premier cas, le travail sur ℙ se distribue en une dualité   qu’il noue. Dans le second cas, le nouage de G et K (par les K-automorphismes du corps étendu L) engendre en la résolution du polynôme de départ.

 

Comme on va le voir, le point de vue fonctionnel, remis en avant récemment par Alain Connes, majore la continuité Lagrange→Galois sous le signe des résolvantes ou fonctions auxiliaires. On dira que ce point de vue est néoclassique.

Le point de vue fonctoriel, lui, majore, le saut Galois/Lagrange sous le signe de la notion de groupe. On dira que ce point de vue est modernisant [19].

Point de vue fonctionnel

La présentation de ce point de vue, qui suit de près le texte originel de Galois, se trouve détaillée dans la brochure de l’APMEP. Elle est présentée en 2011 par Connes (voir 2011 à l’Acédémie) et par Bruno Poizat dans In the Steps of Galois (dir. Szczeciniarz…).

 

Résumons l’architecture en dix étapes :

1)     construction d’une fonction auxiliaire V linéaire qui discrimine les n! arrangements ;

2)     construction d’un polynôme ℘ de degré (n-1)! dont les racines sont toutes les valeurs de V pour tous les arrangements correspondants à une racine fixe rα arbitrairement choisie ;

3)     expression rationnelle de cette racine rα ;

4)     expression rationnelle des (n-1) autres racines ;

5)     équivalence permutationnelle : choisir un autre point de départ donnerait engendrerait simplement une permutation des résultats ;

6)     adjonction de racines entrainant l’incorporation d’autres racines ;

7)     groupe de substitutions (GG) laissant inchangées toutes les fonctions rationnelles des racines ;

8)     ce groupe est indépendant des choix arbitraires de départ (V et rα) ;

9)     analyse du calcul effectif de ce GG via la théorie des corps finis (de caractéristique non nulle) ;

10)  algorithme à travers les différents corps finis dont l’ordre est un nombre premier (voir Frobenius et Cebotarev).

 

Détaillons seulement les premières.

Arrangements-permutations

Précisons d’abord : on appelle arrangement de n termes une mise en ordre donnée (une liste ordonnée).

Par exemple, quand n=5, nommons les 5 racines {A,B,C,D,E}.

Un arrangement est {A,B,C,D,E}. Un autre est {B,A,C,D,E}. Un troisième est {B,C,D,E,A}…

On appelle permutation l’opération de transformation d’un arrangement en un autre.

Par exemple, la substitution {B,A,C,D,E} {B,C,D,E,A}.

Un arrangement est un état ordonné. Une substitution est une transformation entre états.

 

Ceci dit, on choisit usuellement un ordre de base, donc un arrangement canonique A0 (dans notre cas {A,B,C,D,E}) et on présentera tout autre arrangement comme substitution à partir de cet arrangement A0. On a donc une correspondance biunivoque entre arrangements et substitutions à partir de A0 qui autorise de parler indifféremment des uns ou des autres.

1 - Fonction auxiliaire V

Examinons l’espace fonctionnel des fonctions polynomiales à n variables.

 

On connaît déjà les n sommes coefficients-racines : σi(rj)=ci

En particulier, les deux extrêmes ∑rj=cn-1 et ∏rj=c0.

Ces fonctions sont symétriques en leur n variables et ne prennent donc qu’une valeur quel que soit l’arrangement retenu.

Remarquons que cette propriété tient au fait que l’addition et la multiplication des nombres est commutative – les corps Q, R, C sont commutatifs.

Donc ici ABCDE=BACDE=BCDEA… et A+B+C+D+E=B+A+C+D+E+=B+C+D+E+A…

 

Cette propriété de commutativité aura une importance plus tard dans la réduction des groupes : il faudra qu’on divise un groupe par un sous-groupe distingué (c’est-à-dire aux racines solidaires) et que le groupe quotient soit commutatif (« abélien »).

L’idée de Galois est de choisir une fonction (linéaire) des n racines – « fonction auxiliaire » notée V - qui va être maximalement dissymétrique c’est-à-dire qui prend n! valeurs différentes pour les n! arrangements des racines.

Intuitivement, on voit qu’une telle fonction devrait pouvoir prendre la forme ∑niri avec n entier.

Dans notre cas, par ex. 2A+4B+8C+16D+32E ou 10A+102B+103C+104D+105E…

On pourrait aussi imaginer une fonction du type ∑niri avec ni entier (n).

Par exemple A+2B+3C+4D+5E ou 3A+5B+7C+11D+13E (nombres premiers)…

On démontre qu’une telle fonction existe toujours – un petit calcul combinatoire y suffit : il y a nn nombres qui rapportent les racines entre elles (A/B, B/A, C/E, E/C…) soit un nombre fini. Il suffit donc de choisir pour coefficients de l’équation les nombres qui restent !

 

Remarque importante : Galois ne construit pas explicitement cette fonction V. Il démontre simplement qu’elle existe toujours.

Au passage, il démontre cela non par un raisonnement par l’absurde mais par le raisonnement constructif présenté ci-dessus. Simplement ce raisonnement constructif ne construit pas pour autant la fonction V : le principe de son existence est constructivement démontré mais pas son existence concrète.

On commence d’entrer ici dans la difficulté de la théorie : elle est principiellement constructive mais bien vite effectivement incalculable.

Faisons-le sentir par l’exemple suivant.

Nos polynômes de degré 5 sont les premiers à n’être pas, dans le cas général, résolubles par radicaux. Leur degré est fini et tout petit.

Il y a 5! arrangements différents de 5 nombres différents (soit 120) si bien que le nombre de substitutions qu’il y a entre ces 5!=120 arrangements est de 5!!=120!

Et c’est là que les choses plongent d’ores et déjà dans un gouffre car 120!10200, ce qui est un nombre rigoureusement impraticable [20].

D’où la double nécessité de

-      démontrer des existences restant inaccessibles au calcul ;

-      mettre en place des algorithmes qui vont calculer certaines de ces existences et étendre leur champ de calculabilité au gré des développements des puissances de calcul. Avec l’informatique, la puissance algorithmique a fait des bonds considérables mais, tout compté, on semble aujourd’hui en rester aux groupes d’ordre 10 [21].

 

Revenons à notre fonction auxiliaire V qui a pour caractéristique d’avoir n! valeurs différentes pour les n! arrangements de ses n variables.

Entre les deux extrêmes de nos fonctions sommes (une seule valeur) et de nos fonctions auxiliaires (n! valeurs), on a beaucoup de cas intermédiaires.

Par exemple :

-      la fonction ∆=∏(rk-rl) pour k<l ne prend que deux valeurs ±∆. C’est cette fonction qui est au principe du discriminant d’un polynôme : δ=∆2 (voir le fameux « b2 -4ac »)

-      la fonction F=r1+0.rj ou F=ar1k+0.rj (pour j =2, …, n) prendra n valeurs (les n valeurs des n racines). C’est une fonction indicatrice d’une racine

 


 

En résumé on a l’échelle suivante :

 

Nombre de valeurs différentes

Fonctions

 

Nombre

de permutations

stabilisatrices

1

totalement symétrique

σi(rj)=ci :

rj=cn-1 ou ∏rj=c0

sommes coefficients-racines

n!

2

∆=∏(rk-rl)

±∆ δ=∆2

discriminants

n!/2

 

 

 

 

n-1

 

Résolvante de Lagrange [22]

 

n

r1+0.rj ou ar1k+0.rj

fonctions indicatrices des racines

(n-1)!

 

 

 

 

n!

maximalement assymétrique

njrj ou ∑njrj

fonction auxiliaire de Galois,

indicatrice des arrangements