Questions à Guerino Mazzola de François Nicolas (mars 2005)
Plan
Premières
questions (cours du 8 mars 2005)
1. Concernant la bande
de Möbius « harmonique »
2. Concernant ton
concept de modulation
Secondes questions
(conférence du 9 mars 2005)
Troisièmes questions
(cours du 15 mars 2005)
1. Théorie mathématique
de théories musiciennes
2. Théorie
mathématique plutôt que théorie mathématisée
3. Une
« intellectualité mathématique » ?
Premières questions (cours du 8 mars 2005)
1. Concernant la bande de Möbius « harmonique »
Ne faudrait-il pas expliciter tes raisons (mathématiques et
musicales : cela fait 2) pour refermer le ruban harmonique en bande de
Möbius plutôt qu’en cylindre ?
Voici comment je vois les choses.
On a, grâce à la triangulation exposée, le ruban
suivant :
Tu privilégie de couper le ruban au milieu et de recoller
I-III par une torsion (d’où le ruban de Möbius).
Mais on pourrait tout aussi bien le recoller deux fois plus
loin, sans torsion cette fois (on aurait alors un cylindre).
Quelles sont les différences entre ces 2 choix (aucun, à mon
sens, n’étant plus « naturel », ni mathématiquement ni musicalement
que l’autre) ?
Möbius
Pour y parcourir intégralement les fonctions harmoniques I à
VII, il faut le parcourir en zig-zag, jamais en suivant un bord. Ceci
privilégie donc le parcours harmonique suivant, en succession de tierces :
I-III-V-VII-II-IV-VI-I qui, bien sûr, est musicalement plus significatif
parcouru ainsi : I-VI-IV-II-VII-V-III-I (encore que l’enchaînement
harmonique final V-III-I soit, par exemple, pour le moins curieux…).
Cylindre
On y circule plus spontanément sur un bord, selon cette fois
des enchaînements de quintes : I-V-II-VI-III-VII-IV-I (ou l’autre sens).
On peut tenir à ce propos que l’enchaînement par quintes,
fut-ce ici dans le seul cadre diatonique, est musicalement plus structural que
celui par tierces.
Ceci posé : pourquoi privilégier la bande de Möbius
plutôt que le cylindre ?
Mon impression est :
— que la formalisation en cylindre rend mieux compte de
la réalité harmonique d’un point de vue musical : outre la primauté
structurale des quintes sur les tierces, il y a aussi que le cylindre suggère
un contrepoint en canon entre deux voix :
— que la formalisation en bande de Möbius est
privilégiée pour des raisons mathématiques qu’il serait intéressant
d’expliciter : quel rôle joue ce choix dans ta stratégie mathématique
globale ?
2. Concernant ton concept de modulation
Si je résume : une modulation pour toi est la dotation
du diagramme suivant :
où k est une de tes 5 « cadences ».
Au passage, je n’ai pas bien compris si les deux k devaient
être les mêmes pour les tonalités A et B
ou si tu acceptais des modulations entre une tonalité A
« cadencée » par kx et une tonalité B
« cadencée » par ky. Mais ce point n’est pas ici central.
On a donc a minima 5 manières différentes de moduler de A à
B (ou 25 si k’≠k).
Dans ce cas, il faudrait, dans tes analyses formalisant les
modulations (musicales) en « modulations » (au sens cette fois
mathématique), distinguer tes 5 (ou 25) types de « modulations »
(mathématiques) : tu ne peux, me semble-t-il, les noter par exemple
E->A (ou Mi majeur –> La majeur) car tu ne sembles pas mathématiquement
« compter pour un » tes 5 (ou 25) modulations entre Mi et La (tu ne
fais pas un ensemble des 5 « modulations » possibles entre deux
tonalités données).
Or, ce point joue un rôle central dans ta
formalisation : quand tu présentes certaines « modulations »
comme « catastrophiques », c’est en fait parce que ce sont des
« modulations » (au sens mathématique, inscrit ici entre guillemets)
et non des modulations musicales, c’est-à-dire parce que ces
« modulations » sont implicitement attachées à des
« cadences » très particulières.
Ex. moduler de Do majeur et Sol majeur est musicalement
élémentaire mais si Do est ici « cadencé » par VII (donc par la
triade si-ré-fa) et Sol de même (triade fa#-la-do), alors c’est déjà moins
trivial…
Question donc : ne faudrait-il pas, dans tes schémas
résumant les parcours modulants, préciser tout cela à chaque fois ?
Pour un musicien, à la limite peu importe comment Beethoven
module de E en A du point d’un schéma harmonique global (d’un parcours global
des tonalités) mais pour le mathématicien, dans ta formalisation, ce n’est plus
du tout le cas puisqu’elle distingue minutieusement modulations
« quantiques » ou « quantisées » et modulations autres.
Quel est pour toi, au passage, la visée stratégique de cette
distinction ?
Secondes questions (conférence du 9 mars 2005)
Ma question est celle-ci : n’interprètes-tu pas de
manière trop unilatéralement « structuraliste » le lemme de
Yoneda ?
Je m’explique.
Si je pars de ton image (la sculpture « vue »
selon différents angles), elle suggère que l’objet (ou la chose) équivaudrait à
l’ensemble des regards posés sur lui par différents spectateurs.
Mais alors — et c’est là où le
« structuralisme » se glisse — on peut penser qu’on peut
remplacer « la chose » par l’ensemble des relations qui enserrent sa
place.
C’est au passage à peu près ce que retient Boulez du
structuralisme : « définir les êtres étudiés uniquement par les
relations qu’ils soutiennent entre eux »,
propriété qui constitue le second des six traits du structuralisme pour Deleuze
(« les places dans un espace purement structural sont premières
par rapport aux choses et aux êtres réels qui viennent les occuper », « les lieux l’emportant sur ce qui
les remplit »).
Or — et c’est là mon objection à cette interprétation
« structuraliste » du lemme —, pour que le lemme soit valide, il
faut tenir compte de tous les
morphismes ayant la chose X comme cible ou codomaine donc aussi
des morphismes ayant tel « élément » ou telle « partie » de
la chose X pour origine ou domaine. Il
faut donc tenir compte des morphismes partant de X (ou d’une partie, ou d’un
élément de X) pour aller vers X.
Dans ton image, il faut donc supposer qu’il y a aussi des manières pour la sculpture de « se »
voir et des manières pour elle d’être vue, non plus de l’extérieur (par des
spectateurs) mais de l’intérieur d’elle-même (par des parties ou des éléments
d’elle-même).
L’ensemble des rapports « visant » la chose doit
donc inclure non seulement les rapports extérieurs (les visées extérieures sur la chose) mais aussi les rapports intérieurs ou
immanents à la chose.
Ceci n’éponge donc plus l’intériorité de la chose (de la
sculpture en l’occurrence) dans le jeu de ses rapports extérieurs, et il n’est
plus vrai que la chose peut être alors substituée aux rapports que sa place
entretient avec le reste de la structure car il faut y ajouter les rapports
internes à cette place.
Il s’agit là, encore une fois, non pas d’une objection au
formalisme mais à un type d’interprétation me semble-t-il un peu unilatéral.
L’enjeu est réel : il y a aujourd’hui une manière de dissoudre
les particularités « ontiques » de toute chose en prétendant que la
« réalité » de cette chose ne dépendrait que de l’ensemble de ses
usages. Ex. en musique : l’Héroïque
n’aurait pas d’autre identité que l’ensemble de ce qu’on en fait (d’où une manière
de dissoudre aujourd’hui l’instance de l’œuvre d’un côté dans les morphismes
génétiques — la genèse de
l’œuvre — et de l’autre dans ses morphismes de réception.
Or l’Héroïque (comme
« chose ») doit aussi être comptée (dans le lemme de Yoneda) comme incluant
l’ensemble de ses rapports à soi, tel par exemple le rapport du thème principal
à l’œuvre. Bien sûr on peut formaliser le thème principal comme un point et l’Héroïque elle-même comme un autre point en sorte que le
rapport précédent apparaîtra bien dans le formalisme comme une flèche
extérieure à l’Héroïque (par
définition, il n’y a pas d’intérieur à un point).
Mais, pour l’interprétation, il ne faut pas oublier que cette flèche formellement
« extérieure » est usuellement interprétable comme intérieure
(puisque le thème « appartient » bien de manière cruciale à l’Héroïque).
Serais-tu d’accord sur tout cela ?
Troisièmes questions (cours du 15 mars 2005)
Trois aspects m’ont frappé à t’entendre ce mardi. D’où les
remarques suivantes — moins des questions (comme les fois précédentes) que
des commentaires sur lesquels il m’intéresserait d’avoir ton avis —.
1. Théorie mathématique de théories musiciennes
Ta « théorie de la musique » se déploie
(prioritairement ?) comme une théorie mathématique de théories musiciennes
de la musique. Je m’explique.
Je pose qu’il existe différents types de théories musicales
(entendant par « théorie musicale » une théorie prenant la musique
pour « objet » ou pour « modèle »), et en particulier qu’il
faut distinguer les théories musiciennes
de la musique (ex. Fux, Schoenberg) — ou musicologistes (ex. Riemann) — des théories mathématiques de la musique (comme la tienne). Bien.
L’élément que je relève dans ton travail est alors que, dans
ce que tu nous as jusqu’à présent présenté, ta théorie mathématique porte sur des théories musiciennes/musicologistes de la musique — explicitement les théories de
Riemann et de Fux — plutôt que directement sur la musique (disons sur des
œuvres).
Or une théorie mathématique d’une théorie d’un autre type
(et non pas donc d’une pure et simple praxis) se caractérise par le fait que
son « modèle » inclut cette fois des déductions explicites, des
raisonnements mis en forme, ce qui n’existe pas dans un modèle canonique (au
sens mathématique du mot « modèle » : voir la « théorie des
modèles » en logique mathématique…).
Ceci peut se schématiser/diagrammatiser de la manière
suivante.
La théorie d’un modèle donné peut se représenter ainsi :
a et ß ont dans le modèle des valeurs de vérité mais il
n’existe pas (dans le modèle) d’enchaînement « logique » de a vers
ß (il n’y a pas de a®ß).
Lorsqu’on constitue une théorie mathématique d’une théorie
existante, il faut raisonner cette fois sur un diagramme étagé de la manière suivante :
La différence essentielle (entre modèle-praxis et modèle-théorie) est que désormais on peut mettre « en
parallèle » des enchaînements entre ceux de la théorie engendrée et ceux
de la théorie prise pour modèle : les seconds sont ici musiciens, les premiers mathématiques (ce que tu fais explicitement en relevant, par
exemple, que les musiciens/musicologistes n’ont « théorisé » que
jusqu’à un certain point le « ruban harmonique »). Il y a sens alors
à se demander par exemple si j°f°i=m c’est-à-dire si le diagramme A-X-Y-B
commute (question qui n’a aucun sens dans la formalisation d’un modèle-praxis) :
C’était, par exemple, le sens de mes questions antérieures sur ta théorie de la modulation. Ma remarque consistait à soutenir que le diagramme ne commutait alors pas…
On peut donc ici mettre en parallèle deux
« logiques » (alors que la formalisation théorique d’un modèle-praxis permet d’introduire des enchaînements logiques dans
une pratique qui n’est pourvue que de valeurs de vérité).
Dans ton cas, ta théorie mathématique des théories
musiciennes permet alors d’unifier deux types de théories musiciennes selon le
diagramme suivant :
On voit le glissement vers le haut (dans le sens de la
généralisation, de « l’échauffement du théorique ») des enchaînements
logiques : ta théorisation dégage des enchaînements cette fois entre
théories (là où une simple théorie dégage des enchaînements logiques entre « objets »
a,
ß…).
2. Théorie mathématique plutôt que théorie mathématisée
Ton entreprise permet de discerner deux logiques différentes
dans ce que j’appelle ci-dessus « théorie mathématique de la
musique » (ce point m’a été suggéré par la question d’Yves André après ton
exposé de mardi après-midi).
Il me semble en effet qu’il faudrait distinguer
rigoureusement une théorie mathématisée
d’une théorie mathématique. Voici
comment je vois les choses.
· Une
théorie mathématisée de la
musique, c’est une théorie de la musique qui est mathématiquement
formalisée, comme il existe par exemple des théories mathématisées de
l’économie, ou de la circulation des trains, etc. Cette formalisation est alors
stratégiquement ordonnée aux fins du modèle retenu (je rappelle : j’emploie
ici le mot « modèle » au sens originel — voir la « théorie
des modèles » — de « canon » à copier et non pas au sens
inversé d’une maquette, d’un « modèle réduit »).
· Une
théorie mathématique de la
musique est aussi mathématiquement formalisée mais cette fois ses fins sont
pour bonne part proprement mathématiciennes : on part ici du domaine
musical pour examiner les problèmes mathématiques qu’il est susceptible de
susciter. Il s’agit désormais moins de partir de problèmes musicaux (à résoudre
mathématiquement parce qu’on ne saurait pas les résoudre musicalement) que de
problématiser mathématiquement des pratiques et théories musiciennes en sorte
d’arriver à des problèmes proprement mathématiques à partir d’une situation
musicale diverse (c’est-à-dire comprenant de manière immanente ses propres
théories, donc déjà des raisonnements — ce que j’ai appelé des théories musiciennes de la musique —).
Cette distinction est pour moi importante : elle
éclaire ce qu’il faut entendre par « différents types de théories
musicales ». En effet on voit bien que l’objet « musique » n’est
pas du tout le même selon qu’il s’agit d’une théorie musicienne de la musique, d’une théorie sociologique de la musique, d’une théorie physique de la musique, etc. La distinction précédente
suggère qu’il faut aussi distinguer ces modes théoriques, non seulement par
leur compréhension propre de « l’objet-musique » mais aussi par leurs
visées stratégiques propres : il est clair qu’une théorie sociologique de
la musique, par exemple a des visées plus sociologiques que musicales (d’où
qu’elle n’apprenne à peu près rien sur les œuvres musicales).
Ainsi — résultat provisoire – une théorie Xienne
de la musique se caractériserait par le croisement d’une caractérisation Xienne
de son objet et par un type Xien
de stratégie.
Ou encore : la nature particulière (mathématique,
musicienne, sociologique…) d’une théorie musicale se donnerait dans le triplet
d’un objet, d’une logique et d’une stratégie.
*
C’est peut-être ce qui pourrait rendre compte du fait qui
m’a frappé mardi matin : il
me semble que ta théorie mathématique du contrepoint (s’entend : de la
théorie musicienne — fuxienne — du contrepoint) est plus fructueuse musicalement que ta théorie mathématique de l’harmonie (s’entend :
que la théorie musicienne — riemanienne — de l’harmonie).
Pourquoi ? Parce que dans le cas du contrepoint ta
logique mathématicienne s’éloigne moins
de la logique musicienne tant en
matière d’objet que de stratégie (sa logique propre par contre restant bien sûr mathématique
et non pas musicale). En effet,
1) ta formalisation du contrepoint « respecte »
plus l’orientation musicale du grave vers l’aigu (qui est au principe du
rapport dissymétrique entre cantus firmus
et déchant) quand, au contraire,
ta formalisation mathématique du « ruban harmonique » (en bande de
Möbius plutôt qu’en cylindre, choix stratégiquement déterminé, à mon sens, par
des exigences proprement mathématiques d’économie formelle, en significative
abstraction des exigences proprement musiciennes) générait une désorientation
(qui découlait d’une indifférence au caractère renversable ou non des
intervalles musicaux) ;
2) la stratégie guidant ta formalisation du contrepoint
semble guidée par deux idées :
— unifier théories musiciennes de l’harmonie et du contrepoint ;
— généraliser les lois musiciennes du contrepoint à d’autres « échelles ».
Ces deux visées stratégiques, quoique mathématiciennes,
s’avèrent cependant rester « parallèles » à des visées plus
proprement musiciennes.
3. Une « intellectualité mathématique » ?
Au total, et ce sera ma dernière remarque, il me frappe que
tu déploies quelque chose que j’aimerais appeler (pour des raisons qui
t’apparaîtront évidentes) une « intellectualité mathématique ».
Ceci est patent dans ton souci d’articuler tes réflexions de
mathématicien à d’autres disciplines : musique bien sûr, mais aussi philosophie, physique,
sciences sociales, etc. (ton
livre en regorge, et c’est peut-être d’ailleurs ce qui t’est reproché par les
mathématiciens, somme toute comme pas mal de musiciens me reprochent
aujourd’hui mon intellectualité musicale…).
Mais cela tient aussi à la nature même de ton travail —
pas seulement donc ses rapports externes mais sa structuration immanente — :
il me semble en effet que le déploiement de ton entreprise théorique est à la
fois plongé dans les mathématiques et en
léger surplomb sur les mathématiques : surplomb de mathématicien,
et non pas de philosophe, qui relève d’une sorte de réflexivité immanente se
tenant au bord même du travail du
mathématicien.
Il s’agit bien d’une intellectualité mathématique (car cette intellectualité est celle d’un mathématicien, non d’un musicien ou d’un philosophe, moins encore
d’un sémiologue ou d’un sociologue) mais comme il s’agit d’une intellectualité (non d’une pure et simple théorie), la position du mathématicien qui l’entreprend se
situe à la frontière des
mathématiques (sous l’hypothèse topologique qu’en l’occurrence, il existerait
des points de la frontière qui appartiennent au domaine considéré, c’est-à-dire
que ce domaine serait ici localement « fermé »).
Il y aurait peut-être à examiner d’autres intellectualités
mathématiques (Cantor ?; Poincaré sans doute ; Grothendieck ? je
ne le pense pas car il n’a vraiment « réfléchi » sur les
mathématiques qu’une fois déclaré en extériorité subjective — je mets à
part les mathématiciens qui ont surtout été des logiciens : Gödel, par
exemple) pour mieux comprendre ce qu’est une intellectualité mathématique.
Il m’intéresse en tous les cas au plus haut point de pouvoir
avec toi faire dialoguer non seulement différents types de théories musicales
mais aussi différents types d’intellectualité, ce qui est excessivement rare.
Et, comme disait Spinoza à la fin de son Éthique : Sed omnia præclara tam difficilia quam
rara sunt (« Toutes les choses
précieuses sont aussi difficiles que rares. »).
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