Orientation de pensée transcendante

 

(Cours d’Alain Badiou)

 

[ 1987-1988 ]

 

 

Notes prises par F. Nicolas

 

Table

 

I (24 octobre 1987)............................................... 1

II (14 novembre 1987).......................................... 2

OPT.............................................................. 3

III (28 novembre 1987)........................................ 4

IV (5 décembre 1987)........................................... 5

Propriétés opératoires................................... 5

V (12 décembre 1987).......................................... 6

“Les mystères d’Aleph0................................ 6

VI (9 janvier 1988)............................................... 7

Propriétés structurales................................... 8

VII (23 janvier 1988)............................................ 9

VIII (30 janvier 1988)........................................... 9

IX (20 février 1988)............................................ 10

X (5 mars 1988).................................................. 11

XI (13 mars 1988)............................................... 12

Propriétés partitives.................................... 13

XII (16 avril 1988).............................................. 14

XIII (30 avril 1988)............................................ 15

XIV (28 mai 1988).............................................. 16

 

I (24 octobre 1987)

Les mathématiques ne sont pas que de l’ordre du calcul ou de l’opératoire. Leur intérêt n’est pas déterminable en-dehors d’elles, par leur utilité comme si elles étaient un outil (vision instrumentale).

Les mathématiques sont une pensée immanente à ses opérations. Leur intérêt est intrinsèque. Le Sujet est intéressé aux mathématiques.

Avec Cantor, la mathématique rompt avec la catégorie d’objet. Le multiple en soi n’est pas un objet ; c’est la forme générale de l’exposition de l’être.

Mathématiques = exercice anti-idéaliste par excellence. Le nœud de l’idéalisme est la catégorie d’objet non celle de sujet. Le support de l’idéalisme kantien n’est pas le sujet transcendantal mais la catégorie d’objet.

AB dirait sans doute aujourd’hui [2006] que le nœud de l’idéalisme est le couple sujet/objet (le nouage du sujet à l’objet)…

Pendant des siècles, les mathématiques ont été paradigmatiques pour l’idéalisme, ont nourri l’idéalisme car elles prodiguaient un modèle pur de l’objet. La révolution cantorienne est matérialiste.

Une théorie matérialiste du sujet (sans objet donc) est nécessairement à l’école des mathématiques post-cantoriennes.

Quelque chose des mathématiques commandent les grandes orientations de la pensée (OP) qui sont tributaires du nœud pensée-être.

Toute stratégie de la pensée est soutenue par une option ontologique.

Quelque chose concernant le multiple pur n’est pas décidé par les mathématiques. Il y a un trou dans l’orientation ontologique. D’où des options différentes sur ce trou, sur ce point indécidable.

À la tradition binaire des OP (matérialisme / idéalisme), je substitue une triplicité :

 

1) Constructivisme (OPC)

L’excès est mesurable (et non pas errant) et minimal. Restriction du concept de partie par la langue : n’existe comme partie qu’une partie nommable.

Stratégie minimaliste : on n’admet à l’existence que ce qui est nommable. Le prédicat de l’existence est la nomination.

Leibniz est le plus grand de cette orientation.

Voir aussi des sophistes grecs à Foucault.

 

2) OP transcendante (OPT)

S’il y a une errance de l’excès, c’est parce que l’univers du multiple n’est pas bouché par le haut. Le point de fuite n’est pas l’excès mais le suprêmement haut.

Ordonner la pensée à l’être suprême, à un bouclage hiérarchique de l’être.

 

3) OP générique (OPG)

Il est de l’être de l’excès d’errer. Comme le multiple déborde la langue, l’excès ne peut qu’errer. L’excès errant est le réel de l’être.

D’où une pensée de l’indiscernable, de l’absolument quelconque : qu’est-ce qu’un multiple sans qualité ?

 

Sur la question de la vérité :

1) OPC : cf. consistance de la langue => vérité comme cohérence avec norme de la langue (Wittgenstein). Critère d’adéquation, de conformité (Aristote)

2) OPT : existe une localisation de la vérité, un critère de présence, un critère de révélation. Toute vérité est révélée en son lieu.

3) OPG. La vérité est sans critère : “le vrai s’indique de lui-même” (Spinoza)

 

Sur la question du sujet :

1) OPC : Le sujet est sujet de l’énoncé.

2) OPT : Le sujet est sujet de la loi.

3) OPG : le sujet est sujet de l’énonciation.

II (14 novembre 1987)

OP = prédécision, grande orientation quant au nœud de la pensée et de l’être, option antérieure à l’exercice de la pensée elle-même.

Cf. matérialisme = primat de l’être sur la pensée, de la matière sur l’esprit.

 

Pour Kant, il existe 2 OP :

• dogmatique : le rapport de la pensée à l’être peut être la connaissance (l’être peut être connu).

• critique : pas de connaissance de l’être en soi. Territorialisation de la connaissance. D’où : Y a-t-il une pensée de l’être qui ne soit pas une connaissance ?

 

Pour Heidegger, il existe 3 OP :

• poétique (pensée inaugurale de l’être comme présence voilée) : mode pour nous perdu !

• métaphysique (pensée de l’étant suprême)

• technico-nihiliste (le nihilisme achève la métaphysique : la mort détermine la pensée de l’être comme être pour la mort, être pour le néant).

 

Différence entre progrès (Kant) et salut (Heidegger)

 

Une OP est définie par une option sur l’excès.

 

1) OPC : Phobie ?

2) OPT : Obsession ?

3) OPG : Hystérie ?

 

1) OPC : critères d’admission à l’existence, casuistique de l’existence (Gödel, Jansen)

2) OPT : on pense dominer l’excès par un excès sur l’excès, un excès suprême ; ce qui compte, ce ne sont pas les cas mais “Le” cas (Malho, Tarski, Erdös)

3) OPG : il n’y a pas de loi d’être sur l’excès. L’être déborde la langue. La question de la vérité n’a pas la langue comme lieu principal. Elle n’existe qu’en processus.


OPT

Le concept de grand a été longtemps pensé sous le concept d’Un.

Cf. monothéisme : Dieu = un certain type de fusion entre l’un et l’infini. Tout grand serait un Grand Un. Mais l’un est aussi ce qu’il y a de plus petit. D’où la promotion du plus petit en plus grand dans la pensée transcendante (PT) qui coince la réalité entre deux Uns : le point-clé de la PT est la scission de l’Un.

En théorie des ensembles (TE), il n’y a pas d’un. La PT trouve alors un multiple si grand (si irreprésentable) que c’est comme s’il était Un. Cf. multiple si grand qu’on ne sait plus ce que veut dire qu’il est grand.

 

5 voies d’approche pour élaborer le concept de grand :

 

1) Voie opératoire

Grand, transcendant = ce qui n’est pas atteint par certaines opérations

Concept de l’inaccessible.

Par union : inaccessibilité faible.

Par passage aux parties : inaccessibilité forte.

 

2) Voie structurale : Affiner le concept de grandeur.

Filtre = famille de parties dont il y a sens à dire qu’elles sont grandes.

Concept de cardinal mesurable : si existe sur lui un ultra-filtre non principal.

Beaucoup plus grand que l’inaccessible.

Détermination à partir de propriétés internes intrinsèques des parties.

 

3) Voie hiérarchique : combinaison de 1 et 2.

Logique de l’ultra-grand, de l’excès sur le grand déjà établi. Excéder les concepts de la grandeur déjà acquis.

Transcender la transcendance. Cf. la transcendance = ce qui transcende ce qui a déjà été pensé comme transcendant.

Cardinaux de Malho : il contient un très grand nombre de cardinaux inaccessibles. Il nombre lui-même le nombre de cardinaux inaccessibles qu’il domine (si K = cardinal de Malho, il est au moins le K° inaccessible).

 

4) Voie partitive

Propriétés de partition : si c’est très grand, il y a toujours un morceau qui est très grand.

Cardinaux faiblement compacts, ineffables :

Ineffables >> faiblement compacts >> Malho >> Inaccessibles

(où “>>“ veut dire “transcendent”)

Le transcendant l’est toujours si on le partage. Il résiste intrinsèquement au morcellement. Cf. mise à l’épreuve de la transcendance selon le divisible.

 

5) Voie déplaçante, expansive : par la théorie des modèles et donc la sémantique.

Cardinaux super-compacts (il y a autant de mesurables qu’on veut) puis énormes (on ne peut trouver de plus grand dans cette voie ; cf. même butée qu’avec les mesurables : en allant plus loin cela deviendrait incohérent ; le concept d’énorme conduit au bord de l’inconsistance). Effet de bord = soulagement pour l’OPT.

transcendance par expansions d’univers

 

Soit :

(faiblement/fortement) inaccessibles << Malho << faiblement compacts << ineffables << mesurables || << super-compacts << énormes

 

L’excès continue d’être non mesuré dans un cardinal mesurable (il est cohérent que le continu soit mesurable 1974-75)

Le plus petit infini X0 est un paradigme du grand :

• il est inaccessible.

• il est faiblement compact.

• Il n’est pas ineffable.

 

Deux voies :

— insistance : une propriété insiste-t-elle à exister ?

— consistance : une décision (concept nouveau) est-elle consistante ?

Problème du rapport entre les 2 : cf. scission de l’Un (inscription de la consistance dans l’insistance).

III (28 novembre 1987)

Concepts de l’au-delà

Quelles sont les catégories de la PT ?

Couramment :

1) voie de la preuve, de la détermination rationnelle

2) voie ascensionnelle de l’expérience subjective (mystique)

Ici soustraction à cette dualité, et déplacement de ce que Platon a inauguré : “L’idée du Bien est au-delà de l’être” (République).

Thèse : dans l’OPT, est toujours donné l’impératif de transcender la transcendance (cf. question de l’excès sur l’excès).

Nécessité de deux types d’opération pour clôturer la transcendance (transcendance)

Platon  = double origine : de la transcendance idéelle (rationalisme de Platon) et de la pensée mystique (ressort = l’Amour)

Il est d’essence de toute PT

1) d’établir l’horizon d’une transcendance,

2) de poser le geste par quoi cette transcendance est transcendée.

2 types d’OPT : cf. théologies argumentative (> 0) et mystique (< 0).

Se déprendre de la représentation qui rapporte une rationalité à une érotique (qui rapporte ce qui peut être connu et ce qui peut être aimé).

 

1) Voie opératoire

Grand = ce qui n’est pas atteint par certaines opérations

transcendance de Dieu au regard des opérations du monde.

2) Voie structurale

Détermination à partir de propriétés internes intrinsèques des parties.

Grandeur de Dieu par sa détermination intrinsèque (infinité de la sagesse divine, et donc de ses déterminations).

3) Voie hiérarchique

Transcender la transcendance : la transcendance = ce qui transcende ce qui a déjà été pensé comme transcendant.

Cf. angélologie car ange = déjà du transcendant au monde sensible (voir doctrine des penseurs médiévaux)

4) Voie partitive

Le transcendant l’est toujours si on le partage. Il résiste intrinsèquement au morcellement. Cf. mise à l’épreuve de la transcendance selon le divisible.

Cf. Trinité : la tripartition laisse intacte la transcendance. Cf. la substance infinie Dieu pour Spinoza et son infinie partition (et non plus trine).

5) Voie déplaçante, expansive

transcendance par expansions d’univers

Voie la plus proche de la voie ascensionnelle

 

Toujours deux points :

• répétition (d’un geste)

• transcender la transcendance

L’OPT mime l’événement (interruption, itération)

Dieu est-il un être ou un événement ? Dieu est-il ou advient-il ? Pour le Christianisme, Dieu est et advient.

En mathématiques, toute position de terme transcendant suppose un axiome nouveau, une décision : on ne peut déduire son existence, il faut qu’il arrive et pour cela il faut décider qu’il arrive.

La position événementielle est interne à l’OPT : ici sous forme d’une décision axiomatique d’existence.

 

Les démonstrations d’indémontrabilité sont au cœur de la PT.

IV (5 décembre 1987)

Noms :

1) opératoire : inaccessible

2) structurale : mesurable

Cf. désignation commutée car mesurable veut dire incommensurable.

Problème : nommer la transcendance.

Cf. nommer Dieu : Dieu est-il nommable et son nom est-il prononçable. “Nom de Dieu !” est un juron car sa nomination est une désacralisation.

3) hiérarchique : Malho

En haut de la voie hiérarchique il n’y a rien et cette voie n’est pas bouchée.

Nom propre : cf. nom des prophètes, nom du Christ quand le Père n’est pas nommé : c’est celui qui incarne qui supporte le nom. Figure de la nomination en lieutenance.

4) partitive : faiblement compact (on ne lui arrache que des morceaux insignifiants tellement c’est compact.) et ineffable

5) expansive : fortement compact, énorme, extanguible, critique…

Propriétés opératoires

1° geste de transcendance : il y a un ordinal limite = il y a là où ça succède (et pas seulement il y a ce à quoi ça succède).

Cf. Il y a le lieu de l’Autre et pas seulement toujours un autre. Cf. question de l’altérité comme ce en quoi il y a de l’autre.

L’Autre ne succède pas. Il n’est pas autre que les autres au sens de l’altération. L’Autre n’est pas autre que les autres car il ne succède pas. L’Autre est l’altérité de l’altération. L’Autre est ce qui fait qu’il y a de l’altérité dans l’autre.

 

Le point de transcendance est désigné comme limite. L’Autre est limite car :

1) cela désigne l’espace de l’autre, cela limite l’espace de l’exercice, cela compte pour un le succès de la succession.

2) cela désigne le point qui vient juste après là où ça succède. Il est effet de bord de la succession.

Là où ça succède (espace), c’est aussi là où ça ne succède plus (point) = matrice d’opération transcendante.

Cf. embarras de la théologie : Dieu était là où il y a monde en même temps qu’il était le hors-monde. “Mon royaume n’est pas ce monde” : mais ceci apparaît aussi comme la loi du monde !

 

C’est l’infini qui finitise : cf. fini = tout élément du premier ordinal limite.

Cf. tout point de transcendance fait émerger une détermination relative à ce qu’il transcende.

Toute transcendance nomme en tant qu’elle fait lieu et est nommée en tant qu’elle fait point. Et cette dernière est négative.

Cf. rapport entre transcendance et négation : les nominations de la transcendance ont une forte tendance à être négatives en même temps que la transcendance dispose les noms. Ainsi ce qui a pouvoir sur les noms ne serait pas nommable. Cependant il y a toujours un retour de la nomination sur la transcendance. Le point de transcendance ne peut se soustraire à la nomination.

La théologie négative = ascèse du nom mais doit cependant nommer Dieu comme ce qui est soustrait au nom. D’où indécidabilité entre :

• il n’y a pas de noms

• il y a un nom en plus, Le Nom maître des noms, la nomination comme telle.

“Au commencement était le Verbe” = irréductible noyau de toute PT.

 

Ici l’Autre doit être décidé. Pour Lacan, l’Autre serait plutôt ce qui est toujours déjà là. Mais il n’y pas contradiction en fait.

 

Il n’y a pas de quantité surnaturelle. Comparer deux quantités se fait par l’existence d’une correspondance biunivoque. Cela nécessite l’axiome de choix (AC) qui garantit l’existence sans exemple, et même sans corrélat empirique, sans présentation.

Cf. pour montrer qu’un ensemble Dedekind-infini  (partie º tout) est classiquement infini, il faut l’AC. Donc l’AC est en juridiction sur l’infini.

Lien donc d’une décision de transcendance et de la décision illégale, de l’existence sans présentation.

V (12 décembre 1987)

“Les mystères d’Aleph0

X0  = premier multiple qui a des propriétés indécidables.

Incommensurabilité entre le geste thétique et la prédication sur le terme posé.

Cf. ce qu’il y a de plus simple en Dieu est d’affirmer qu’il existe. La question de l’existence de Dieu est somme toute secondaire au regard de ce que le terme de Dieu est censé supporter.

Cf. Dieu persiste à faire penser les athées car il désigne ou symbolise la PT comme forme de la pensée.

Dieu ordonne à penser bien au-delà de savoir s’il existe.

La question d’existence est une décision transparente, sans aura spécifique.

“Dieu est mort” : ceci est le contraire de “Dieu n’existe pas” et non pas de “Dieu existe”.

 “Dieu est mort” veut dire : Dieu ne constitue plus une injonction à penser. Cf. l’erreur des Lumières de croire que le cœur de la question était : Dieu existe-t-il ou non ? Nous ne pouvons plus penser à partir de là.

Cf. Nietzsche pose la ruine de la PT. Pour lui il n’y a que l’OPC (éternel retour) et l’OPG (volonté de puissance).

La grandeur de Nietzsche est d’avoir décelé les 3 orientations et de les avoir nommées à sa manière.

S’accorder à Nietzsche suppose deux points :

1) S’il est vrai que Dieu est mort, l’OPT a perdu puissance. Mais peut-on se guérir de penser à partir de Dieu (ce qui ne veut pas dire penser que Dieu existe ou croire en Dieu) ?

2) La principale conséquence pour Nietzsche est qu’il n’y a plus lieu de maintenir la catégorie de vérité laquelle est spécifiquement attachée par lui à l’OPT. Ce lien entre vérité et transcendance est ce qu’il appelle le platonisme. Il l’appelle aussi christianisme : le platonisme est le nom philosophique du christianisme.

Erreur de diagnostic :

1) Il n’est pas vrai que notre époque soit la ruine de l’OPT. Il n’a pas vu que l’OPT passait ailleurs que dans l’aspect religieux. Il a annoncé prématurément la mort de Dieu.

2) Vérité n’est pas attaché à l’OPT. Il n’est pas vrai que “parler de vérité, c’est être un chrétien qui s’ignore.”

L’OPT est l’injonction à penser à partir du terme transcendant bien plus que la question de son être = question de puissance plus que d’existence.

“Dieu” : qu’est-ce qui donne puissance à cette catégorie ? Il peut avoir puissance même s’il inexiste.

 

Simplicité de la définition d’X0 mais complexité de l’“objet”. La position du point de transcendance n’est pas résolutive ou un point de couronnement. Elle ouvre au complexe.

Cf. on peut élucider le monde par Dieu mais la question se déplace alors en celle, plus embrouillée, de savoir ce que Dieu et le monde font ensemble.

 

1° voie : Peut-on penser un point d’arrêt dans la transcendance, un point de transcendance en soi, qui se transcende en lui-même et qui serait la transcendance elle-même, comme mouvement et non pas seulement comme point. Voir la solution d’Hegel : l’absolu est le mouvement de l’absolutisation. C’est pourquoi il l’appellera le négatif. Cf. à nouveau ce lien intime de la transcendance et de la négation.

 

2° voie : Quel est le degré de récurrence de l’élucidation. Cf. encore Hegel : terme autoélucidant.

Cf. deux types de philosophies de la transcendance :

1) point d’homogénéité entre le transcendant et ce qui est transcendé.

Cf. théologie de type aristotélicienne : avec une homogénéité maximale. Cf. Dieu y est l’être suprême.

2) point d’hétérogénéité immanente, la verticalité dynamique.

Cf. théologie de type platonicienne : hétérogénéité et abîme incomblable. Nécessité d’un violent arrachement au monde.

 

1) X0  est un cardinal.

Tout ordinal fini est un cardinal. Après X0, que tout ordinal soit un cardinal ne se reproduit plus. Singularité irrépétable de X0 : tout ce qui est plus petit que lui est un cardinal. Il y a donc là un point irrépétable : il n’y aura plus de répétition que partielle.

 

2) X0 est un cardinal limite et pas seulement un ordinal limite (il ne succède à aucun cardinal).

Rappel : Tout cardinal infini est un ordinal limite.

X0  est le premier cardinal limite.

 

3) X0  est régulier : il ne se laisse pas décomposer en un nombre plus petit que lui (ici fini) de morceaux plus petits que lui (ici finis).

Tension entre ces deux propriétés (limite & régulier) :

·       limite : on résout ce qu’il y a en dessous par un rapport global. Limite relève du global quand successeur relève du local.

·       régulier : désigne une manière radicale d’être hors d’atteinte de ce qui précède.

Ainsi X0 est à la fois un totalisateur et un pur commencement.

Y en a-t-il d’autres ? Xw  est limite mais singulier car Xw   = X0 » X1 » X2 » » Xn » … (et ceci X0  fois)

·       Singulier : cf. voie aristotélicienne.

·       Régulier : commencement intrinsèque. Pour Platon, l’idée du bien est régulière car elle est au-delà de la substance.

Rappel : tout cardinal successeur est régulier (il y faut l’AC). Tout ce qui succède commence radicalement. Cf. l’un-pas-de-plus n’est pas incompatible avec la force du commencement alors que la limite peut être faible du point de vue du commencement car elle est un résultat combinatoire de ce qu’il y avait avant.

Hiérarchie :

·       limite singulier                  Xw

·       successeur (donc régulier)     X1

·       limite régulier                        X0

Le plus fort, du point de vue de la transcendance, est le plus petit ! Cf. la question de la quantité n’est pas l’essence de notre problème.

 

Cardinal faiblement inaccessible = limite & régulier (= ça ne succède pas & ça ne se laisse pas combiner par en bas).

On démontre qu’il est impossible de démontrer qu’il y en a un. Il faut donc le décider.

Nouvel axiome : il y a un cardinal faiblement inaccessible plus grand que X0 . Chaque fois qu’on en voudra un nouveau, il faudra un nouvel axiome : la propriété est intrinsèquement décisoire.

La logique de la démonstration est de montrer que dans un univers qui contient un tel cardinal, on peut démontrer que la TE est cohérente. Ainsi si on pouvait démontrer l’existence d’un tel cardinal, la TE serait nomologique (cf. Husserl) c’est-à-dire démontrerait sa propre cohérence, ce qui n’est pas possible ; donc on ne peut démontrer l’existence d’un tel cardinal…

VI (9 janvier 1988)

Toute transcendance est profonde car elle a des ressources en propriétés de transcendance au-delà de celles qui la fixent : le terme transcendant n’épuise pas sa disposition.

C’est la PT qui manie la profondeur. Le concept de profondeur (il y a de l’autre que ce qui dispose le terme) est typique de la PT.

L’idée philosophique de profondeur fondatrice est le point de croisement d’une ontologie de la présence et de l’OPT : à travers la catégorie de ce qui fait fond (et non pas de ce qui dispose).

 

 

successeur

limite

singulier

Xw

régulier

X1 , …

X0

Deux formes de totalisation : faible (Xw ) = limite singulier / forte (X0) = limite régulier

Cf. Kant : totalisation analytique = elle se laisse analyser par ce qu’elle totalise / totalisation synthétique = elle est une production nouvelle.

Il n’y a de connaissance du réel que pour autant qu’il y a décision. Le réel, c’est ce qui se tranche, ce n’est pas ce dont il y a expérience.

 

Nouvelle propriété de X0 : il est inaccessible par l’opération de la prise de parties. Il est fortement inaccessible.

Rappel : être régulier = être soustrait à l’opération d’union.

On démontre (il y a seulement 2 ans !) qu’il est impossible de démontrer l’existence d’un cardinal fortement inaccessible supérieur à X0.

Logique : si l’existence d’un tel cardinal K était démontrée, l’univers défini par les cardinaux plus petits que K serait modèle de la TE et on pourrait montrer dans la TE que la TE a un modèle et donc est cohérente, ce qui impossible selon le théorème de Gödel.

On prouve donc qu’il n’y a pas de preuves.

Cf. Pascal : Dieu existe mais les preuves de son existence n’existent pas.

Propriétés structurales

Elles déterminent la grandeur par rapport à des propriétés internes. Non pas ici lien entre transcendance et négation mais voie immanente.

Distinguer grande et petite parties.

 

Idéal = ensemble de petites parties.

3 propriétés : vide (y appartient), union (de 2 parties y appartenant y appartient) et partie (d’un partie y appartenant y appartient).

Filtre = ensemble de grandes parties. Cf. le tout + intersection + le contenant.

Filtre Frechet = filtre des grandes parties de X0 c’est-à-dire filtre des parties telles que leur complémentaire dans X0 est fini.

Filtre engendré par X = ensemble des parties qui le contiennent = Filtre principal. La grandeur veut ici dire « le plus grand que le noyau »

Filtre non principal : il n’y existe pas d’élément minimal.

Le filtre de Frechet n’est pas principal.

Pour la transcendance, le concept important est celui de filtre non principal car dans le filtre principal la grandeur est assignée et retenue dans la centration alors que dans le filtre non principal, il existe un élément de fuite.

Ultrafiltre (UF) : pour chaque partie, ou elle ou son complémentaire y appartient.

D’où UF principal ou UF non principal.

Ce qui génère un UF principal est forcément un singleton.

UF non principal (UFnp) = concept de la grande partie sans centration.

 

Existe-t-il un UF non principal ?

Il existe des filtres non principaux (tels le filtre de Frechet; mais il n’est pas un UF).

 

Théorème de l’UF : AC  Il existe un UF non principal sur tout ensemble infini.

Ce théorème est plus faible que l’AC.

 

Un filtre est K-complet si l’intersection de moins de K éléments du filtre appartient au filtre. La K-complétude va être la piste principale pour la voie structurale.

Un cardinal est mesurable si K étant ce cardinal, il existe sur K un UFnp K-complet.

X0 est mesurable car on montre qu’il existe un UFnp qui contient le filtre de Frechet lequel est bien sûr X0-complet.

Un cardinal mesurable autre que X0, c’est vraiment très grand. S’il existe, il est le K° faiblement inaccessible !

Les critères immanents de la transcendance sont toujours beaucoup plus puissants que les critères opératoires.

VII (23 janvier 1988)

Logique opératoire = introduction d’un point, d’un terme, d’un élément transcendant. Cf. logique des extensions algébriques. Excès ponctuel.

Logique structurale : registration topologique. Logique immanente. La topologie est la figure de pensée de l’immanence car c’est elle qui donne les instruments de la distinction du local et du global.

La représentation socialement spontanée des mathématiques est algébrique car elle est calculatrice. Dans son essence, la topologie ne l’est pas car elle est positionnelle, géométrique (au sens large). L’important y est : “où est ce dont on parle ?” et pas seulement “comment il se combine ?”

La topologie est plus intrinsèquement situationnelle que calculatoire ou opératoire.

 

Filtre trivial = l’ensemble lui-même.

Filtre impropre = l’ensemble des parties de E.

Filtre propre = le vide ne lui appartient pas.

 

Il existe toujours un UF : cf. le filtre principal généré par un singleton. Réciproquement, tout UF principal est généré par un singleton.

Jeu entre l’un et l’unicité : l’un de la partie minimale et l’unicité (il n’y a qu’une partie minimale). L’un positionne et l’unicité génère.

Cf. Dieu est un / Dieu est unique (monothéisme)

 

Un UF est un filtre maximal.

 

Mouvement de démonstration :

1. Avec l’AC, il existe toujours des filtres maximaux.

2. On démontre que l’AC est nécessaire à cette démonstration.

3. Mais tout filtre maximal est un UF

Donc il existe un UFnp.

4. Si un UF contient un filtre non principal, il est lui-même non principal.

5. Tout filtre est contenu dans un UF.

VIII (30 janvier 1988)

Nombre d’UF principaux = nombre d’éléments |E|

Nombre de Filtres principaux = nombre de parties |P{E}|

Nombre de familles de parties = |P{P{E}}|

 

On démontre que tout UFnp contient le filtre de Frechet.

Tout UF est maximal, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de filtre l’incluant.

Tout filtre maximal est un UF.

 

Cf. Existence chez Spinoza. Sa définition de la substance = cet être tel que l’existence se tire de son concept : “il appartient de la nature de la substance d’exister”. On ne peut penser “substance” sans penser qu’elle existe.

Les modes de la substance sont les choses particulières. Leur existence ne se tire pas de leur concept.

L’existence substantielle ne requiert aucun site. L’existence du mode n’est accessible que par le site.

Le premier type de probation d’existence est supérieur. C’est pour cela que la substance est appelée Dieu dans une pensée athéologique.

Pour Spinoza, existe une supériorité de l’algèbre sur la topologie.

Spinoza est constructiviste : quand l’existence s’infère de l’unité du concept, elle est supérieure.

Dans l’OPG par contre, la preuve d’existence est d’autant plus pure qu’elle est inassignable, désenchaînée de l’unité objectale.

 

L’AC est l’opérateur qui permet de passer de la maximalité dans un site à l’existence.

Lien AC et notion d’ordre. Cf. liens révolution & totalitarisme.

Lemme de Zorn (1935). Cf. énoncé de Kuratowski (1922). Tarski (il existe un UFnp : 1930)

IX (20 février 1988)

 

Détermination immanente de la transcendance par le concept d’UFnp.

 

1) L’UFnp est un filtre.

Cf. propriétés conjonctives, intersectives.

Si un filtre est un réseau de propriétés dont les parties seraient les extensions, il a aussi la propriété conjonctive. Ce réseau comporte aussi toutes les conjonctions de propriétés qui lui sont déjà intérieures.

Le filtre est un réseau conjonctif de propriétés, un réseau de prédications additivement complet.

Des déterminations de plus en plus fines renvoient toujours à une grande partie.

Si filtre = mode d’intellect de Dieu, cet intellect subsume des extensions grandes sous des concepts fins.

Si fin que soit le concept, sous certaines conditions de transcendance, son champ de représentation demeure vaste.

Du point de la transcendance, tout ce qui est pensé est pensé grand ; il n’y a pas d’effet de singularisation ; on ne pense que par généralités.

Dieu ne pense, si fins que soient ses concepts, que de vastes classes de réalisation de ses concepts. Cf. Malebranche qui est post-cartésien et explore l’intellect de Dieu ce que Descartes refuse de faire.

Pour Descartes, Dieu est le paradigme de la liberté, non de la vérité. C’est pourquoi pour Descartes Dieu est sujet, l’Autre en sujet.

Les post-cartésiens (Spinoza, Leibniz, Malebranche), eux, veulent faire de Dieu le paradigme de la vérité. D’où une rupture par rapport au thème de Dieu comme l’Autre en sujet et restitution de la transcendance comme paradigme du vrai.

Pour eux, les desseins de Dieu sont pénétrables. Il n’y a ni mystère, ni miracle.

Pour Malebranche, le miracle est le comble du rationnel.

Pour Leibniz, le miracle est seulement une faible intelligi­bilité du calcul de Dieu.

Pour Spinoza, il n’existe pas de miracles.

Pour Descartes, les desseins de Dieu sont incommensurables. La transcendance est imprédicative.

Pour Malebranche, Dieu n’a rapport qu’au général et jamais au particulier, et ce n’est pas par défaut de prédicats. Pour lui, la grandeur de Dieu est déchiffrable du point de l’immanence divine elle-même. Dieu n’est pas grand dans ses manifestations. Dieu est grand du dedans. Un filtre est un opérateur de “vision en Dieu”.

 

2) Il est un UF = propriété de complétude. Le traitement de toute partie inclut le traitement de toute propriété. Un UF n’est indifférent à aucune propriété (séparable dans E). Un UF est discriminant sur une propriété quelconque.

transcendance : toute propriété y est traitée.

Cf. approche leibnizienne. Quand Dieu “fulgure” le monde, il crée le meilleur des mondes possibles = il crée un UF.

Thèse sous-jacente : il existe le meilleur UF. La mathématique montre plutôt qu’il n’y a pas de repérage possible dans la singularité d’un UFnp. C’est le point d’achoppement du leibnizianisme : il y a quelque chose d’indiscernable. Il faut plutôt penser que Dieu n’aurait pas de raison de choix et donc que Dieu ne créerait pas de monde ! S’il l’a créé cependant sans principe de choix, c’est que c’est le Dieu de Descartes.

L’aporie leibnizienne est la suivante :

• ou bien il faut un principe intelligible de choix pour représenter la création du monde, alors Dieu ne l’a pas créé. Si Dieu n’a pas créé le monde, nous sommes restés immanents à Dieu. Nous sommes dans l’hypothèse de Spinoza.

• si Dieu a créé le monde, alors il l’a fait sans principe de choix. Alors c’est l’hypothèse de Descartes.

Leibniz est l’intervalle Descartes—Spinoza., l’intervalle de suspens entre :

• il y a transcendance et création (Descartes) mais alors l’intellect de Dieu est impénétrable

• l’intellect de Dieu est pénétrable mais il n’y a ni transcendance ni création (Spinoza).

Leibniz = le suspens de ces deux choix.

Malebranche, lui, transforme en concept le récit chrétien. Il fait du Christ un concept et non pas un événement. Il tord le rapport immanence-transcendance. Le Christ = la transcendance immanente.

Malebranche procède à une topologisation singulière. Le christianisme n’est plus une religion mais une pensée, une philosophie. C’est une axiomatique du  Christ. Dieu a créé le monde pour le Christ, pour qu’il soit sauvé par le Christ (et non pas “Dieu a envoyé le Christ pour sauver le monde”). Dieu a créé le monde pour l’établissement de son église. Dieu a créé un opérateur de sa gloire, Dieu a créé l’autre pour le glorifier.

 

4 grandes rationalités classiques :

• Descartes : Dieu est en position de transcendance sans immanence (= la liberté absolue).

• Spinoza : l’immanence sans transcendance.

• Malebranche : ruban de Möbius (dont le nom est Christ) de l’immanence et de la transcendance.

• Leibniz : solution du suspens ou de l’intervalle (cf. la “fulguration”).

 

L’existence de l’UFnp est suspendue à l’AC. L’UFnp est une indiscernabilité relative. C’est une existence évasive = le point de fuite du rapport transcendance-immanence que les quatre ont cherché à boucher.

Les philosophies classiques ont comme point de réel cette éclipse donnée au point du rapport transcendance-immanence. Les quatre tentatives restent intéressantes :

• Descartes : il existe une anticipation du côté du sujet, pas seulement du point du cogito mais aussi du côté de Dieu qui est aussi un point vide.

• Malebranche : il y a une extraordinaire topologie par transformation en concept du récit chrétien. Cf. topologie rationnelle de l’incarnation.

• Spinoza : effort radical de désacralisation de la pensée. C’est la grande philosophie matérialiste.

• Leibniz : il y a une pensée de l’intervalle et du suspens.

Le paradigme de la modernité est bien là :

— rapport du sujet à l’Autre

— topologie

— matérialisme

— intervalle

 

3) L’UFnp a un caractère excentré : il n’existe pas d’élément minimal, central.

 

On a le concept d’UFnp. Problème maintenant d’existence.

Lemme de Zorn : transformation de l’AC en existence d’un maximum.

 

[On aboutit à démontrer l’existence]

On n’a cependant défini aucun UFnp. On a de l’existentiel pur. On n’a pas de formule de cette existence.

On peut démontrer qu’on ne peut pas en avoir de formules, qu’on ne peut exhiber la définition explicite d’un UFnp. Il n’existe qu’en paquet sans processus de singularisation.

Ils sont pensés du point du Dieu de Malebranche !

On ne peut penser qu’il y en ait un.

On a le schème ontologique en pensée du comment pense le Dieu de Malebranche.

Ce qui est pensé dans cette pensée c’est le “il y a” d’un concept, d’une existence sans existant avec concept, le “il y a” indistinct du concept.

On peut penser qu’il y en a beaucoup. Et il y en a le plus possible !

Théorème de Pospipil (1937) : le nombre d’UFnp est maximum car il égale |P{P{E}}|.

Le nombre d’UF principaux est lui |P{E}|

Presque tous les UF sont donc np et on ne peut cependant en exhiber un seul !

Cf. lien “presque tout” / l’indistinct.

X (5 mars 1988)

Il n’y a pas de partition finie qui soit diagonale par rapport à l’UF c’est-à-dire dont aucun des morceaux n’appartienne à l’UF. Un UF n’est jamais complètement étranger à une partition finie.

Un ultra-filtre n’est pas diagonalisable !

Dans quelles conditions ceci s’étend-il aux partitions infinies ?

 

La non-principalité est déjà un concept de la grandeur. Le concept d’UFnp contient déjà une prescription intrinsèque de la grandeur.

 

Cf. l’idée de Pascal : l’infinité de l’univers est aussi sa non-centration, son excentrement. L’idée que toute situation est infinie est un décret de fin de l’ontologie grecque. On ne peut alors y isoler un point singulier qui soit comme son centre.

Par contre, dans une situation finie, tout filtre est centré. Cf. logique grecque unit finitude et centration. Pour les Grecs, “il y a un principe”. Pour Pascal, si l’univers est infini, il est sans principe. S’il y a alors un principe, il est étranger à l’univers.

Le principe est nécessairement transmondain : Dieu ne se déduit pas du point de l’univers. L’univers ne nous signifie rien (d’où l’égarement) et en particulier pas Dieu.

Les deux infinis de Pascal sont différents d’une situation. Ils ne situent rien. Cf. égarement.

La lettre seule est en puissance de signifier le principe. Hors de l’univers, il n’y a que la lettre.

D’où la technique de déchiffrement du texte sacré : le seul lieu où le principe peut être signifié.

Pour Pascal, comme pour Lacan, le monde n’est qu’une image, qu’un phantasme. Il n’existe pas de point de réel qui soutiendrait le monde comme tout.

Qu’est-ce alors pour Pascal que l’existence de Dieu ? Avant, la différence entre existence et inexistence était représentée par la différence entre fini et infini : Dieu était la part infinie de l’univers, et Dieu existait comme l’univers (coexistence). Cf. la pensée médiévale comme compromis entre grec et christianisme.

Pour Pascal, l’infinité est un principe d’existence sans principes de l’univers. D’où qu’il faille “penser Dieu sensible au cœur”, différent du Dieu des savants (c’est-à-dire du Dieu inférable de l’univers, du Dieu coexistant à l’univers).

Ce qui nous rapporte à Dieu est hétéronome à ce qui nous rapporte à l’univers. De là qu’il faut croire, avant toute chose.

Dieu = conjonction de “il y a la lettre” et de “l’événement a eu lieu”. Le pari porte sur “il y a du sens”. L’événement = il y a eu du supplément, il y a eu du “hors univers”.

 

Notre démonstration de l’existence de l’UFnp n’est, pas plus que celle de Pascal, constructible. Il nous a fallu l’AC, le pari car l’AC = parier sur l’existence.

Cf. problème de l’Un. Lien de l’existence de Dieu à l’Un. Ceci est garanti, dans l’ancienne théologie, par la structure hiérarchique de l’univers : Dieu s’infère comme clef de voûte. Comment l’intrication de la lettre et de l’événement produit de l’un ? Cela est plus difficile. L’univers est devenu isotrope.

D’où procède l’un ? On ne trouve rien chez Pascal là-dessus, on ne trouve que l’ultra-un de l’événement. Tout l’un de Dieu est dans la mort du Christ. Dieu n’est un que dans l’événement de sa mort. L’un de Dieu est la croix. L’un de l’existence fait problème chez Pascal.

Cf. on ne peut montrer un seul UFnp. Cf. anonymat essentiel.

L’existence de Dieu est aussi anonyme chez Pascal. Pascal parle ainsi très peu de Dieu et beaucoup du Christ. Il y a un hyper-christianisme chez Pascal car le seul principe d’Un est l’événement-Christ. Dieu est l’horizon anonyme de cet événement.

Ce que Pascal appelle Dieu est ultimement un terme indiscernable. Le texte est le procès de l’indiscernable. Le texte n’est pas un récit. Peu importe la véridicité. Le texte est vrai car il n’est pas le texte de quelqu’un.

La prophétie chez Pascal n’est pas attente. Elle ne vaut qu’après-coup. Les Juifs d’avant la mort du Christ gardent la lettre et la traitent dans le registre de la véridicité.

 

Pour l’UFnp, il existe indiscernablement de l’un.

L’AC ne produit que du “il y a” et “auc’un” (pas quelqu’un).

 

Un filtre principal est K-complet pour tout K. La K-complétude n’y distingue rien.

Réciproquement, si un filtre est K-complet pour tout K, il est alors principal. Ainsi principalité et K-complétude pour tout K, c’est la même chose.

 

Un cardinal K est mesurable s’il existe sur K un UFnp K-complet.

Théorème : soit U, UF sur E. U est K-complet ssi pour toute partition de E en moins de K morceaux, un des morceaux appartient à U.

XI (13 mars 1988)

Un UFnp est au plus K-complet.

 

Voir l’idée de déterminer un point de transcendance en assumant un maximum.

Cf. démarche leibnizienne : à partir du moment où un maximum se laisse déterminer, alors c’est lui qui existe car c’est lui que Dieu a fait exister ; à partir du moment où Dieu a pu calculer un maximum, c’est lui qu’il fulgure.

Cf. deux principes déterminent ce qu’est le monde :

• un principe analytique de cohérence interne,

• un principe de maximum. C’est une raison suffisante pour exister d’être un maximum.

Voltaire tourne cela en dérision (“le meilleur des mondes possibles”) en l’anthropologisant, mais ce meilleur des mondes ne l’est pas pour l’homme.

 

Si un cardinal K (autre que X0) est mesurable, il y a K cardinaux faiblement inaccessibles plus petits que lui !

Le point le plus délicat de la démonstration est de montrer qu’un cardinal mesurable est lui-même inaccessible.

Cf. la détermination structurale, immanente de la transcendance (mesurabilité) n’est pas connexe de sa détermination opératoire (inaccessibilité).

Cf. problèmes de la théologie avec les différentes déterminations de la perfection divine : montrer l’interdépendance des différentes qualifications de la perfection divine - Dieu comme absoluité de l’un, comme toute puissance, comme bonté… -.

 

Effet de l’admission d’un cardinal mesurable sur l’univers constructible : alors les ensembles constructibles sont très peu nombreux. Alors il n’y a que X0 parties constructibles dans X0 ! Mais bien sûr pour l’habitant de l’univers constructible, il y a plus de parties que X0

|PL(X0)|L > X0  mais |PL(X0)| = X0  car il existe une correspondance biunivoque non-constructible entre les deux.

Théorème de Scott (1961) : dans un univers où il existe un cardinal mesurable, il existe une correspondance biunivoque non-constructible entre PL(X0) et X0

Pour l’essentiel, les parties de X0  sont non-constructibles.

Les points de transcendance finissent par avoir un effet décisif sur les pouvoirs de discernement de la langue. Cf. complicité entre OPT et OPG.

D’où une conclusion anti-leibnizienne car prolifération de l’indiscernable. Or admettre à l’existence un maximum entraîne pour l’essentiel le règne de l’indiscernable.

 

Leibniz faisait un lien entre maximalité et discernabilité.

Cf. 3 grands principes chez lui :

• de non-contradiction, de cohérence (clé de voûte formelle),

• du maximum (qui est un principe existentiel) : ce qui existe existe d’un être maximal,

• de discernement intégral.

Tout cela marche ensemble = principe de raison suffisante.

Or, entre faire exister le maximum et tout nommer, il faut choisir. Chez Leibniz chaque monade est marquée d’une nomination intrinsèque.

La pensée de Leibniz est celle qui a tenté de réduire la tension entre OPC et OPT.

 

Aujourd’hui, aucun axiome de transcendance ne force la question des parties. La pensée générique a montré que c’était indécidable. Admettre un principe de transcendance, c’est remanier l’intelligibilité de tout ce qui précède : cf. effet de rétroaction sur X0 !

Propriétés partitives

Lien entre approche structurale (concept d’UFnp) et approche partitive (décomposition en morceaux disjoints).

Théorème central de ce lien : si U est un UFnp, U est K-complet ssi pour toute partition de E en moins de K morceaux, un de ces morceaux appartient à U.

Cf. pensée spinoziste : Dieu est partitionné en une infinité d’attributs.

Cf. le lien n’est pas évident : cf. problème de la PT : l’homogénéité de ses voies, l’unicité ou non de ce qu’elle dispose.

XII (16 avril 1988)

X0 est le premier saut. C’est comme si les propriétés de transcendance étaient déjà détenues par X0, comme si le problème était de reproduire dans l’infini l’écart produit par X0 entre fini et infini.

Cf. X0 = matrice fondamentale de l’excès

D’où deux types de transcendance :

A. Propriétés qui appartiennent à X0 : à reproduire pour fissurer l’infini selon une différence aussi profonde que celle qui sépare le fini de l’infini.

B. propriétés nouvelles qui ne sont pas déjà inscrites dans X0

·       A = répéter l’excès

·       B = excès sur l’excès

D’où le problème de l’unité ou de la non-unité des propriétés de transcendance.

S’il n’y a que les propriétés A, il y a unité de l’infini, non pas qu’il n’y en ait qu’un mais parce qu’il n’y a qu’un concept, qu’un geste d’excès (seulement répétable : mise en série du concept). Soit plusieurs existants subsumés par un concept.

Jusqu’à présent, on n’a introduit que des concepts de cette catégorie, qui conviennent à X0 .

 

UFnp K-complet = grande famille de grandes parties. Concept de grande partie défini en collectif (propriété intersective).

 

On va introduire un concept plus intrinsèque d’une grande partie : concept de partie fermée non bornée = caractérisation plus topologique.

Cf. toute partie bornée dans un cardinal est petite. Une partie grande n’est pas bornée ; elle est disséminée dans K.

Fermeture = ne pas laisser hors de soi ce qui fait limite = propriété d’immanence des limites.

D’où le Fermé non borné (FNB).

 

|FNB|=|K| C’est une partie fortement immanente car elle ne se laisse pas déterminer de l’extérieur, soit en terme de borne, soit en terme de limite.

Théorème fondamental : si K est un cardinal régulier plus grand que X0 , l’intersection de 2 FNB est un FNB.

 

Il n’existe pas de FNB dans les cardinaux singuliers.

Un cardinal singulier = le maximum d’infinité représentable dans le cadre de la pensée grecque

= le Dieu médiéval. Cf. les anges occupent le terrain entre X0  et Xw (singulier).

Le Dieu pascalien, lui, est régulier.

 

Rappel : tout cardinal limite n’est pas singulier : cf. X0 et cardinaux faiblement inaccessibles

 

successeur

limite

singulier

cas général (cf. Xw )

régulier

tous les successeurs

(cf. X1, …)

les faiblement inaccessibles : cf. X0

L’approche de la transcendance par FNB se fait principalement de l’intérieur des cardinaux réguliers supérieurs à X0

On a : si K est régulier, l’intersection de moins de K FNB est FNB. D’où un filtre K-complet.

Le complémentaire d’un FNB est petit, insignifiant, ou maigre.

 

Y a-t-il une catégorie tierce ? Celle d’ensemble complémentaire S. Un S coupe tout FNB : son intersection avec tout FNB n’est pas vide.

Théorème : on peut découper K (régulier > X0) en K stationnaires disjoints.

L’idée est de déterminer un cardinal comme grand quand le nombre des cardinaux déjà grands qu’il contient est un nombre assez grand.

 

Cardinal de Malho : un cardinal  tel que les cardinaux inaccessibles qui lui appartiennent forment un sous-ensemble stationnaire.

Cardinal hyper-Malho : le nombre de cardinaux de Malho qu’il contient est stationnaire.

Puis hyper-hyper-Malho…

Soit une stratification de la transcendance.

Si un cardinal est de Malho, cela infère qu’il contient autant d’inaccessibles qu’il est !

XIII (30 avril 1988)

Récapitulation

 

1) transcendance de type opératoire : elle définit un point d’inaccessibilité pour un type d’opération donnée.

 

3 opérations en jeu :

 

a. Union : d’où propriété de régularité (opposé : singulier)

 

b. Succession (dans les cardinaux) : d’où cardinal limite (qui, en général, n’est pas régulier)

régulier + limite = faiblement inaccessible

Le moment dialectique de la PT = forcer une contradiction, ici entre régularité et limite, en décidant qu’existe le faiblement inaccessible et que ses propriétés sont compatibles.

Cf. le christianisme force la contradiction entre l’infini et le fini, entre l’éternité et le temps. Dieu mourant = figure de pensée exceptionnelle.

La régularité paraît plus forte que la limite car elle ne se laisse pas composer par le bas.

La capacité de Dieu à mourir agrandit Dieu, le transcende contre l’idée que la mort abjecte de Dieu était incompatible avec la transcendance.

Un prédicat, même faible (limite), par son adjonction au prédicat plus fort (régularité), crée un prédicat encore plus fort.

Cf. plus forte que l’éternité est l’éternité apte à descendre dans le temps.

Comme il y a un forçage, il faut qu’il y ait une décision et l’orthodoxe est donc toujours fondé à dire qu’on ne le peut pas.

Pour l’orthodoxe, un tel forçage est une adultération.

“on peut le décider” / “ça a eu lieu” (le forçage a été événementiel ; d’où la voie d’une révélation qui atteste que cela a eu lieu) = deux réponses possibles.

Orthodoxe = pensée pour laquelle il n’y a pas de révélation, rien ne se révèle, il n’y a qu’une loi.

Cf. le grand discords : loi / révélation (ou encore loi / événement)

En math, cela se donne lieu dans l’avoir eu lieu d’un axiome.

Mais l’événement est indécidable : alors qu’est-ce qui révèle la révélation ? Deux voies encore là-dessus :

·       position orthodoxe : c’est la loi qui révèle la révélation. Cette révélation était préinscrite dans la loi.

Cf. homogénéité entre venue du Christ et Ancien Testament. Pour ce type d’orthodoxe, il existe un après-coup.

·       voie de l’auto-révélation ou de l’ultra-un. Ce qui révèle la révélation, c’est la révélation du même. Ce qui constitue l’essence de la révélation, c’est d’être révélante elle-même. Cf. l’événement n’est séparé du vide que par lui-même.

Cf. questions pour Saint Paul : que faut-il décider autour de la loi ? Le christianisme est-il un accomplissement ou un commencement ? Sa réponse est complexe. Son aspiration la plus radicale est l’antilégalisme : la loi n’est rien et la non-loi non plus.

Cf. la circoncision n’est rien et l’incirconcision n’est rien. C’est le Christ qui est le référent radical. Il n’y a plus à transiter par le judaïsme. Il n’y a ni Juif, ni Romain, ni barbare.

La transcendance opératoire spécifie la transcendance comme au-delà.

Orthodoxie stricte : rien de commun entre au-delà et ici-bas.

La tension de la transcendance est entre la transcendance vue de l’au-delà et l’immanentisation événementielle.

 

c. Prise de parties : d’où cardinal fortement limite.

 

 

2) transcendance de type structural : cherche à déterminer le point de transcendance en immanence. Prise en compte des parties, de familles de parties. Cf. voie spinoziste.

Fortement limite + régulier = fortement inaccessible.

Logique des attributs.

Cf. Spinoza : Dieu est ce qui a une infinité d’attributs.

D’où les concepts de filtre, UF (complétude), non principalité (non centration), K-complétude.

 D’où la mesurabilité : il existe un UFnp K-complet.

Un cardinal mesurable est inaccessible : cf. = théorème de connexion entre prédicats de transcendance

 

 

3) transcendance de type hiérarchique : trouver des opérateurs qui déterminent un point de transcendance par immanence à ce point de transcendance de points de transcendance précédemment définis.

On part du concept de parties. D’où : qu’est-ce qu’une grande partie ? Ensuite on “bourre” ce type de grandes parties par des points de transcendance antérieurs.

Une grande partie = ? D’où FNB. D’où partie stationnaire (= partie plutôt grande).

 

 

4) transcendance de type partitive : qu’est-ce que le point de transcendance supporte comme partition ? De quel type de multiple l’un transcendant est capable ?

 

 

5) transcendance de type déplaçante : examiner des univers (modèles) possibles de la TE. Qu’est-ce alors qu’un grand modèle ?

 

 

Retour à la 3° voie.

Définition d’un filtre fermé non borné : toutes les parties A telles qu’il existe un FNB inclus dans A.

On a là un pont entre approches hiérarchique et structurale.

Ce filtre FNB peut-il être un UF ? Non !

M est maigre si il existe FNB avec une intersection vide entre M et ce FNB. D’où l’idéal des parties maigres.

3° cas où c’est pas maigre et plutôt grand = stationnaire non FNB (il intersecte tout FNB).

a) un stationnaire est forcément non borné.

b) l’intersection d’un stationnaire et d’un FNB est stationnaire.

XIV (28 mai 1988)

Quel est le principe de complexité qui s’attache spécifiquement à l’OPT ? Y a-t-il une complexité mathématique singulière touchant à la théorie particulière des grands cardinaux ?

Cf. qu’est-ce qui fait que tel champ mathématique est plus ou moins complexe ? Cela ne dépend pas des objets ; ex. nombres entiers = objets simples mais investigation très compliquée.

Et mathématique = ontologie, donc pensée de l’être, donc pensée de ce qui ne se laisse pas présenter dans la forme de l’objet.

 

Une branche mathématique serait complexe quand elle tente de s’élaborer dans la forme de l’objet, quand il y a contrainte de la penser en termes d’objet.

Ex. pour les nombres entiers (Kronecker : “Dieu nous a donné les nombres entiers” ; ce qui ne nous a pas été donné dans la figure de l’objet serait plus simple).

La mathématique serait en proie à quelque chose d’obscur du côté de son propre désir. La mathématique serait pulsionnelle.

 

La théorie des grands cardinaux est cette part de la TE où des objets prolifèrent (cf. la spécification singulière des points de transcendance). Cf. axiomes existentiels de construction d’objets.

Un grand cardinal s’installe inéluctablement en position de cause du désir. On veut y aller, on veut l’atteindre, on veut le mettre en scène. D’où un caractère de déception dès qu’on l’atteint : aussitôt on le dépasse. Peut-être que l’objet est toujours un point de transcendance…

 

Or théorie des grands cardinaux = la branche la plus techniquement complexe de la TE. Complexité assignable à la position d’objet des grands cardinaux. Elle a quelque chose de pulsionnel : on ne se résigne pas à la destitution, et on cherche le toujours plus grand.

C’est une théorie où il n’y a pas de moment de conclure, où il y a un principe de hâte pour que la place soit occupée. Cette théorie est un don juanisme de l’être. Le moment du Commandeur, c’est l’inconsistance car il n’y pas d’autre mort mathématique que l’inconsistance.

Thomas Jech : breakdown. Avec les cardinaux énormes, on approche le fracas de l’inconsistance.

Le Commandeur est en position d’immanence.

 

Embourbement infini de la pensée des grands cardinaux. Aucun des grands cardinaux ne réduit les problèmes pour lesquels on l’a introduit. On démontre même qu’il ne la résout pas. C’est un champ mathématique où ce qui règne est l’irrésolution et un grand désir.

Dans le cadre théologico-philosophique, le caractère résolutif du point de transcendance tient à son caractère d’Un.

Doute fondamental qui anime la pensée théologique : la légitimité de la nomination de Dieu qui le scelle au “il y a de l’un du signifiant”. En ce point , on retrouve la tâche infinie de la légitimation de Dieu. Il y a nécessairement une exégèse infinie de la nomination du point de transcendance, non de l’existence de Dieu.

Il n’y a de tâche infinie que d’exégèse d’un texte.

Le texte sacré est le contexte du nom sacré donné à Dieu. Un texte sacré est ce qui fait contexte pour la désignation nominale d’un point de transcendance. Un texte sacré devient mythologique quand il ne fonctionne plus ainsi. Le texte sacré ne se lit pas, il s’interprète.

 

Restitution du multiple, descellement de l’un, destitution du sacré.

La théorie des grands cardinaux est l’équivalent d’une exégèse de l’infini.

 

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