ircam cnrs

mamuphi

mathématiques - musique – philosophie

Description : mamuphi

Chaîne Youtube :

https://www.youtube.com/playlist?list=PLfaS0zIQOD6QwQzWk6slLV-LUVjhZaYyn

 

À partir d’octobre 2021, le séminaire reprend ses activités à l’Ircam.

Durant la nouvelle saison 2021-2022, il accordera une attention particulière à la manière dont la pensée mathématique moderne et contemporaine féconde les intellectualités mobilisées dans nos rencontres mensuelles, en premier lieu l’intellectualité musicale.

Les journées se dérouleront en présentiel mais une diffusion simultanée par Zoom sera assurée.

 

 

Saison 2021-2022

 

(org. C. Alunni, M. Béjean, M. Gonzlez et F. Nicolas)

 

Toutes ces activités ont lieu à l’Ircam (1 Place Igor Stravinsky, 75004 Paris)

un samedi par mois de 10h à 13h et de 14h30 à 17h30 en salle Shannon

 

Entrée libre dans la mesure des places disponibles.

Une diffusion simultanée sera assurée sous Zoom.

 

9 octobre 2021

Guillaume Laplante-Anfossi & Martin Gonzlez : Lawvere et Hegel

13 novembre 2021

Moreno Andreatta : Théories et modèles de/pour la chanson

11 décembre 2021

Martin Gonzalez & Charles Alunni : La réforme des « maths modernes » dans les années 60

15 janvier 2022

Mathias Béjean & Andrea Cavazzini : Mathématiser le vivant et le variant

12 février 2022

Mirna Dzamonja : L’indépendance mathématique et ses limites logiques

12 mars 2022

Andrée Ehresmann & René Guitart : Structures locales ehresmaniennes

9 avril 2022

François Nicolas – Une recherche compositionnelle :

de Duelle avec la Timée (2001), à Petrograd 1918 avec l’IKO (2021)

Violaine Anger, Céline Beaupain & Philippe Debroise :

D’un moment mamuphi à partir du IX° siècle et de ses répercussions…

14 mai 2022

Fernando Zalamea : La théorie des faisceaux

 

 

Pour tout contact :

   Charles Alunni : alunni [at] ens.fr

   Mathias Béjean : mathias.bejean [at] u-pec.fr

   Martin González : martin.gonzalez [at] live.fr

   François Nicolas : fnicolas [at] ircam.fr

 

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9 octobre 2021 : Lawvere et Hegel

 

Martin González : De l’inauguration d’une intellectualité mathématique matérialiste codifiée catégoriquement [1]

[ texte ] [ diapos ] [ vidéo ]

Charles Alunni : Être, Néant et Devenir, ou la Science de l’Être

[ vidéo ]

Guillaume Laplante-Anfossi : L’unité et l’identité des opposés adjoints selon Lawvere [2]

[ texte ] [ vidéo ]

 

 

 

 

13 novembre 2021 : Théories et modèles de/pour la chanson [3]

 

[ vidéo ]

 

Moreno AndreattaModèles théoriques et computationnels de/pour la chanson : perspectives analytiques et compositionnelles. [4]

Ken Déguernel, Mathieu Giraud, Sébastien Gulluni, Gianluca Micchi"I Keep Counting" et "The Last Ment Before You Fly", deux expériences de co-créativité au concours AI Song[5]

François Pachet Songwriting et Intelligence Artificielle : de la preuve de concept à l'outillage industriel [6]

Stéphane HirschiLa chanson entre mesure et démesure ? De la cantologie comme horizon d'une appréhension de l'art du temps compté. [7]

 

 

 

 

11 décembre 2021 : La réforme des « maths modernes » dans les années 60

 

Andrée C. Ehresmann : Le Rôle de Gustave Choquet dans la Réforme des Mathématiques à l'Université [8]

[ vidéo ] [ diapos ]

Charles Alunni : Maths modernes. Souvenirs impressionnistes [9]

[ vidéo ]

François Nicolas - D’une dimension proprement militante à l’œuvre dans la Réforme des maths modernes [10]

[ vidéo ]

Martin Gonzalez : Mathématique Moderne de(s) Papy ou l'éloge d'une rationalité mathématique émancipée [11]

[ diapos ]

 

 

 

 

15 janvier 2022 : Mathesis, Modèles, Mobiles

 

Introduction (Mathias Béjean)

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Franck Varenne : Apports des simulations à l’étude des morphogenèses naturelles, sociales et artificielles [12]

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Véronique Vaslin-Thomas : Dynamique du système immunitaire et émergence de mémoire systémique pour le maintien de la résilience [13]

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Mathias Béjean et Andrea Cavazzini : Mimésis, modèles, méthéxis [14]

[ vidéo ] [ diapos ]

 

 

 

 

12 février 2022 : L’indépendance mathématique et ses limites logiques

 

Introduction (Mirna Džamonja)

Andrés Villaveces : Indépendance mathématique ou indépendance logique ? Une carte feuilletée définie par le(s) langage(s). [15]

[ vidéo ]

Rahman Mohammadpour : Forcing Axioms: Tears and Smiles [16]

[ vidéo ] [ diapos ]

Boban VeliĊković : Théorie des jeux infinis [17]

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Joel David Hamkins : Pluralism in the ontology of mathematics [18]

[ vidéo ]

 

 

 

 

Samedi 12 mars 2022 : Espèces de structures locales ehresmaniennes

 

François Nicolas : Ouverture - René Guitart : Introduction

[ vidéo ] [ diapos ]

René Guitart : Pseudogroupes, groupoïdes inductifs, semigroupes inverses, étendues. I [19]

[ vidéo ]

André Ehresmann : Catégorification des espèces de structures [20]

[ vidéo ] [ diapos ]

René Guitart : Pseudogroupes, groupoïdes inductifs, semigroupes inverses, étendues. II

[ vidéo ]

 

 

 

 

Samedi 9 avril 2022 : Musique aux IX° et XXI° siècles

 

 

François Nicolas : De Duelle (2001) à Petrograd 1918 (2021), une recherche compositionnelle [21]

[ vidéo ] [ texte ]

Violaine Anger : D’un moment mamuphi à partir du IX° siècle et de ses répercussions… [22]

[ vidéo ] [ diapos ]

Philippe Debroise : La musique et la nouvelle physique des intensités de Nicole Oresme [23]

[ vidéo ] [ diapos ]

Céline Beaupain La place des nombres dans une notation rythmique du début du xve siècle [24]

[ vidéo ] [ diapos ]

Ballades : [ Ge veuil loyaument amer ] [ Sur toute fleur la rose est colourie ]

 

 

 

 

Samedi 14 mai 2022 : Le rôle paradigmatique de la théorie des faisceaux

dans la pensée mathématique moderne selon Fernando Zalemea

 

Autour du récent livre de Fernando Zalamea

Modelos en haces para el pensamiento matemático

[Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, 2022]

[Une version (pdf) de l’ouvrage en espagnol et/ou en français (traduction automatique) pourra être envoyée à qui en fera la demande.]

 

Introduction

[ vidéo ]

François Nicolas : Un précieux plaidoyer “mamuphique” pour une pensée différentielle et intégrale de type nouveau [25]

[ texte ] [ vidéo ]

Charles Alunni : De l’Œuvre au noir zalaméenne au Magnus Opus mathématico-critique [26]

[ diapos ] [ texte ] [ vidéo ]

Discussion avec Fernando Zalamea

[ vidéo ]

 

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[1] Martin González : De l’inauguration d’une intellectualité mathématique matérialiste codifiée catégoriquement

Peut-il y avoir une Idée mathématique des mathématiques ? C’est sous le guide de cette question que Lawvere inaugure dès 1960 un espace d’intellectualité mathématique de type nouveau visant à étendre ce que mathématique désigne comme monde peuplé de constructions mathématiques en situation et comme intensité maximale de la pensée à l’œuvre dans ce monde des mathématiques.

Cette extension se fera en deux étapes - les deux premières dans la longue marche toujours en cours que ce mathématicien décidera de suivre pour contribuer à déployer cette Idée :

·       la première ouvre les possibles d’une intellectualité mathématique mathématicienne ;

·       la deuxième ouvre les possibles d’une telle intellectualité qui soit matérialiste.

Nous analyserons comment Lawvere inaugure ces deux extensions en avançant l’écriture catégorielle comme écriture propre à ce qui, de l’intellectualité mathématique, peut-être codifié pour ensuite pouvoir être dit, écriture qu’il déclare étendre à partir de l’écriture mathématique - l’algèbre -.

Nous caractériserons le projet Lawverien sous cet angle, en y articulant les possibles ainsi ouverts tout comme les nouveaux risques et les éventuels échecs, tous procédant de l’inauguration d’un tel espace de pensée.

 

[2] Guillaume Laplante-Anfossi : L’unité et l’identité des opposés adjoints selon Lawvere

Dans son article « Unity and Identity of Opposites in Calculus and Physics », William Lawvere définit en termes catégoriques les triplets de foncteurs adjoints qu’il nomme « unity and identity of adjointly opposites » (UIAO). De tels triplets de foncteurs représentent pour lui l’incarnation de la dialectique hégélienne « à l'œuvre » dans les mathématiques et la physique. Il donne à cet effet plusieurs exemples concrets.

Nous nous proposons ici d’examiner en détail l’exemple de la dialectique entre l’algèbre et l’analyse dans la genèse du calcul différentiel, que Lawvere interprète au niveau catégorique en se basant sur les travaux de Marx et Hadamard, afin de clarifier l’essence de cette pensée.

 

[3] Cette séance est centrée sur la chanson et représente le troisième volet d'un cycle consacré à la popular music dans ses aspects, théoriques, analytiques et compositionnels. Comme dans les deux séances précédentes, la journée proposera à la fois des analyses de démarches créatives ainsi que des réflexions théoriques et computationnelles inspirées d'approches issus, cette fois, de l’intelligence artificielle et de la cantologie.

Y a-t-il une possibilité d’articuler de façon créative des approches théoriques issues d’une formalisation mathématique ou d’une démarche cantologique avec des modélisations computationnelles dans l’étude de la forme chanson ?

Quelles perspectives philosophiques nouvelles peut-on dégager d’une telle démarche interdisciplinaire ?

 

[4] Longtemps considérée comme objet d'étude inintéressant pour la musicologie académique, la chanson est loin d'être un art mineur, comme Gainsbourg le soutenait – non sans provocation - et peut poser des défis majeurs à l'analyse musicale, en particulier via l'utilisation de modèles formels et computationnels. En poursuivant une réflexion personnelle sur la pertinence de la formalisation mathématique des structures et processus musicaux, j'aborderai en particulier la question des représentations géométriques et de leur intérêt dans l'analyse mélodique, harmonique et rythmique de la chanson. À partir de quelques exemples de chansons faisant usage - consciemment ou inconsciemment - du concept de symétrie, j'essaierai de montrer comment j'utilise des techniques issues de la combinatoire et de la théorie des graphes pour enrichir ma propre palette d'outils compositionnels au service de la poésie mise en chanson.

 

[5] L’équipe Algomus et ses collaborateurs ont participé aux deux éditions du “AI Song Contest”, concours de la chanson avec intelligence artificielle, avec les titres “I Keep Counting” (2020, interprété par Niam) et “The Last Moment Before You Fly” (2021, co-composé et produit par Sébastien Gulluni). Pourquoi et comment artistes et chercheurs en informatique musicale travaillent-ils ensemble à ces productions ? Structure, accords, mélodies, paroles et arrangements : la présentation dévoilera quelques secrets de composition et de production de ces titres. Nous échangerons sur comment ces méthodes peuvent stimuler à la fois la recherche en informatique musicale tout comme de nouvelles dynamiques de co-création musicale entre humain et algorithme, ici avec un choix “low-tech” assumé.

 

[6] Si l'histoire de l'IA appliquée à la musique remonte aux années 50, ce n'est que récemment que l'IA a enfin montré qu'elle pouvait être utilisée à des fins créatives intéressantes. Je décrirai quelques expériences dans ce domaine, depuis Daddy's car (le pastiche des Beatles), Hello World (le premier album de musique pop co-composé par IA) et American Folk Songs (un album de Folk revisité par l'IA) jusqu'aux efforts récents pour outiller le plus grand nombre. Je dégagerai quelques nouvelles thématiques de recherche assez inattendues qui apparaissent dès lors que l'on tente de passer de la preuve de concept en laboratoire à l'outillage à grande échelle.

 

[7] Dans le contexte d'interrogations théoriques inspirées par l'Ircam, un bilan sur la cantologie, approche globale de la chanson, envisagée dans son interprétation comme un art spécifique du temps compté, permettra de confronter les acquis d'une discipline fondée il y a trente ans avec des perspectives envisagées depuis l'angle de la création.

 

[8]

I.      Les fondements des mathématiques ont subi une crise profonde au XIXe siècle : géométries non euclidiennes, théorie des groupes, théorie des ensembles avec ses paradoxes. Pour la surmonter, le paysage mathématique a dû être profondément modifié, et Bourbaki a joué un rôle important dans la construction d'une "Mathématique moderne". Mais un fossé se creuse entre celle-ci et les mathématiques enseignées aux différents niveaux (universitaire, secondaire ou primaire).

II.     Dans l'après-guerre, des spécialistes (matheux, pédagogues, psychologues…) de différents pays se réunissent pour chercher à combler ce fossé. Ainsi en 1952 Caleb Gattegno crée la "Commission Internationale pour l’Étude et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques" (CIEAEM), avec G. Choquet pour Président et J. Piaget pour Vice-Président. Dans les réunions annuelles, Choquet, qui n'est pas Bourbakiste, propose une réforme de l'enseignement adaptant la méthode axiomatique style Bourbaki à chaque niveau.

III.   Choquet va être le premier à ainsi réformer l'enseignement au niveau de la Licence, via son cours fondateur de CDI en 1954-55 (que j'ai suivi). Plus tard, il interviendra aussi au niveau universitaire pour renforcer des spécialités alors mal appréciées en France, en particulier les Probabilités en 1960. Et c'est lui qui m'a suggéré, dès 1957, d'apprendre la Théorie des catégories (qu'il connaissait alors mal lui-même).

IV.   Par contre dans le secondaire Choquet n'a pas réussi à imposer sa "Voix Royale" de la géométrie ; c'est celle de Dieudonné qui l'a emporté.

À ce sujet, cf. l'article de René Guitart : Métamorphosis of geometrical teaching in France (1950-1969)

in Barbin, E. & al (Eds.) (2020). “Dig where you stand” 6 (Proceedings of the sixth International Conference on the History of Mathematics Education. Münster: WTM-Verlag)

 

[9]

1.     Bref résumé de la « réforme » des mathématiques modernes.

2.     Quelques exemples d’ouvrages « réformistes » présentés suivant un classement allant d’ élémentaires » à « supérieurs » (Enseignement universitaire).

3.     Souvenirs en perspective et discussion.

 

[10] À partir de la lecture de deux contributions (celle, prospective, d’Évariste Dupont en 1967 [a] [10] et celle, rétroactive, de Marcel Dumont en 2010 [b] [10]), mon intervention voudrait exhausser l’importance de la dimension proprement militante (et pas seulement institutionnelle ou étatique) qui fut à l’œuvre dans la réforme dite des maths modernes : une masse d’enseignants, « de la Maternelle à la Faculté », se sont engagés pour que la pensée mathématique moderne soit pour tous, dans l’égalité des intelligences [c] [10] ; et leur conviction que « l’enseignement devrait être une préoccupation constante du peuple » (peuple n’était pas encore considéré comme le gros mot des populistes) impliquait alors de récuser « le malentendu selon lequel les mathématiques modernes seraient pernicieuses pour les jeunes élèves » : autrement dit, s’agissant de maths pour tous, les maths modernes doivent également l’être !

Nous examinerons comment cet abord militant de la réforme exhausse la dimension émancipatrice générale de la pensée mathématique (là où son abord étatique met en avant l’utilité technique de ses applications) : grâce aux mathématiques tout particulièrement modernes, la pensée s’émancipe « des carences de la langue naturelle », la raison s’émancipe du simple calcul, l’intelligence s’éduque dans les différentes interprétations d’une même formalisation. Et les mathématiques, faisant ainsi appel à l’intelligence de chacun, à sa liberté de suivre les conséquences des décisions prises (« axiomes »), encouragent chacun à penser universellement par soi-même.

On peut ainsi comprendre pourquoi cette réforme fut un sévère champ de bataille interne, qui s’est malheureusement conclu, comme bien d’autres tentatives d’émancipation des années 60-70 (en politique, dans les arts modernes), par « ce qu'il faut bien appeler un échec et pire encore un désastre », on ne saurait, à mon sens, en parler aujourd’hui de manière hypocritement neutre : pour parler en vérité d’une entreprise militante, il faut en parler en militant (principe kierkegaardien de réduplication).

À ce titre, et pour mettre mes pas dans ceux de M. Dumont - « l’épopée des maths modernes est morte avec l’enthousiasme qui la portait. Il faut réveiller un enthousiasme semblable ! » -, je proposerai que mamuphi reprenne aujourd’hui à son compte cet élan émancipateur. Et comme une reprise n’est pas une répétition mais un renouvellement, voire une résurrection, je proposerai que mamuphi engage l’année prochaine sa propre école expérimentale de maths modernes pour tous, en l’orientant alors selon trois principes intriqués, qui prennent position sur « les trois aspects de la pensée mathématique moderne : le souci de rigueur logique, le caractère fondamental de la notion d’ensemble et l’importance de l’algèbre » :

   ce sont les mathématiques (modernes) qui orientent la logique (mathématique moderne) et donc en particulier la théorie des ensembles, non l’inverse ;

   la géométrie (moderne) demeure un modèle privilégié pour la formalisation théorique de l’algèbre (moderne) ;

   comprendre une théorie mathématique (moderne) doit aller jusqu’à en dégager la portée intellectuelle extra-mathématique et pas seulement ses possibles applications physiques.

 

·       [a] Apprentissage mathématique (tome I : Ensembles, relations, nombres) – classiques Sudel

·       Évariste Dupont est un pseudonyme collectif : « Nous sommes des camarades, syndicalistes de l’enseignement, réunis pour ce travail sous un nom d’emprunt. »

·       [b] Une épopée prodigieuse - les mathématiques dites « modernes » 19571982 – vécue par un acteur parmi d’autres de l’APMEP et de l’INRP : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Dumont_centenaire.pdf

·       [c] « Il faut faire appel à l’intelligence plutôt qu’à l’obéissance ; c’est le manque d’appels à l’intelligence dont souffrent nos sociétés. » M. Dumont

 

[11] Papy insiste sur le fait que les treize premiers chapitres de MM1 ont une portée qui déborde le cadre de la mathématique et constituent, comme il le dit, « une initiation à des démarches rationnelles couramment utilisées dans tous les domaines de la pensée, de la science et de la technique ».

Mon exposé consistera en une lecture en mathématicien pensif de ces chapitres pour tenter de clarifier la démarche dialectique qui s’y déploie : continuité dialectique à laquelle s’articule un double travail d’écriture idéographique (non littérale) et pictographique (littérale) reposant l’un et l’autre sur deux négations logiques hétérogènes et travaillées avec l’élève dès les premiers chapitres du livre. Muni de l’intrication de ces deux écritures, le tissage dialectique à l’œuvre dispose un va-et-vient de scissions dialectiques suivies de rétroactions synthétiques, toutes deux doublement écrites. En plus du contenu de mathématique moderne exposé, je soulèverai comment ces chapitres exercent, d’une part, à une rationalité mise en commun et universellement transmissible et travaillent, d’autre part, d’eux-mêmes à une démarche de réappropriation conceptuellement émancipée et propre à chacun.

Finalement, j’illustrerai comment l’aboutissement synthétique d’ensemble repose sur la continuité globale de ce tissage et peut se formaliser idéographiquement sous la forme d’un ruban de Möbius à trois demi-torsions, nouant deux à deux les cercles d’un nœud borroméen et dont l’opération de scission le recoupant par son milieu - permettant ainsi de l’orienter - garde pourtant trace d’un nouage intrinsèque non trivial, en nœud de trèfle, résultat du travail dialectique à l’œuvre ainsi réalisé.

 

[12] Dans cet exposé, je proposerai une étude comparative de quelques-uns des apports des simulations sur ordinateur à l’étude des processus de genèse de formes. Pour ce faire, je prendrai des exemples en biologie du développement, en archéologie computationnelle et en ingénierie morphogénétique.

À l’issue de cette comparaison, il apparaîtra que l’on peut soutenir deux idées principales à ce sujet.

            Premièrement, loin de ne permettre que la plongée d’un modèle mathématique dans le temps comme on le dit encore souvent des simulations, l’approche par simulation computationnelle supplante les modélisations uniquement mathématiques en ce qu’elle permet avant tout la prise en compte de la diversité et de l’hétérogénéité spatiales et temporelles des processus qui s’y déroulent. La simulation permet ainsi une nouvelle alliance entre des formalismes nouveaux - ou traditionnels mais dont l’usage est alors renouvelé - et l’espace, plus précisément l’ancrage spatial dynamique des processus contribuant à la morphogenèse.

            Deuxièmement, les simulations computationnelles de morphogenèse tendent toutes à permettre à leurs utilisateurs de mieux représenter des émergences et peut-être aussi de les piloter, voire, lit-on, de les programmer. J’exemplifierai ce dernier point mais je le tempérerai aussi en soulignant le fait qu’il est en réalité rarement explicitement montré qu’une émergence computationnelle qui se trouve reproduire phénoménologiquement dans ses patterns une émergence intervenant réellement dans le système cible la reproduit parce qu’elle aurait effectivement saisi et quasi-iconiquement reproduit dans ses computations les mécanismes majoritaires et promoteurs de cette émergence effectivement à l’œuvre dans le système cible. La modélisation de l’émergence n’échappe pas à la règle de modestie de toute modélisation qui enjoint de distinguer prédire, décrire et expliquer : une émergence computationnelle peut ne pas expliquer une émergence intervenant dans le système cible tout en étant capable de la représenter correctement dans ses performances, donc de manière phénoménologique. Il reste que pouvoir représenter par une émergence computationnelle une émergence qui ne l’est pas - ou pas nécessairement - continue tout de même à présenter un intérêt épistémique - pour des expérimentations virtuelles interpolantes ou extrapolantes encadrées par exemple - mais à condition qu’une forte robustesse y soit également associée.

 

[13] The complexity of living ecosystems and organisms is interweaved with the complexity of their immune systems that were selected through species co-evolution. The immune system of vertebrates develops as a dynamic bio-diversified micro-ecosystem, with cell communication that preserves the identity and integrity of the holobiont organism, hosting a commensal diversified microbiota, leading to a poly-genomic organism. The innate cells of the immune system (even in plants) are informed on the origins of threats through the signaling via invariant molecular patterns receptors of conserved alarmins released by damaged tissues. They immediately react with non-clonal distributed processes and without memory, to locally initiate inflammation, destruction/reparation. A biological innovation selected through evolution, allowed vertebrates hosting a recombinase transposon in lymphocytes, to somatically generate an adaptive clonal diversified immune system: the stochastic somatic diversification of the genes encoding the immuno-receptors provides the singularity of “Variable Region Molecules” (VRM) with particular idiotopes on each receptor. The degeneracy properties of VRM receptors, allow them to cognate each others, leading to a topological network of clones with internal images. The high renewal, clonal amplification and distribution of lymphocytes expressing or secreting a unique Immunoglobulin-like receptor VRM increase the adaptation of the system. At population level, the diversity and degeneracy of immuno-receptors with spontaneous autonomous secretion of immunoglobulin’s, lead to an idiotypic network, as propose by Jerne. The multi-reactivity, natural auto- reactivity leads to an organism-centered network named the “central immune system”, imprinting in the topological network the memory of its identity. The self-assertion guaranties the healthiness through dominant tolerance, to preserve the holobiont organism integrity. During their “education “ through learning by close contact with innate cells leading to communication and signal transduction, the daily produced and non-connected mature lymphocytes die in a few days if neglected (absence of signaling), or are purged by negative selection, when exceeding a threshold of auto-reactivity. We estimated that the basal high dynamic turnover of lymphocyte production, leads to the death of more than 90% of the cells produced, not integrated in the system network. The clonal selection of lymphocytes requiring successive information percolation from the innate cells through “antigen” processing, presentation, restriction and cell signaling and transduction, can rescue from death some rare lymphocyte positively selected clones (among 1012in humans). The requirement to survive is for mature lymphocytes from the peripheral immune system, to perceive stochastic peptides presented as “altered-self” (or non-sense), triggering clonal signaling and cell activation/proliferation. Only multiple signals can trigger the full activation and proliferation of lymphocyte to occur, for gaining the race against highly proliferative threats. We model the communication of the dynamic ecosystems, through the individuation of Holon-lymphocyte by the somatic stochastic immuno-receptor diversification of Variable Region Molecules, allowing them for a recursive self-assertion /integration into the network. The recursive communication also involves Lamarckian transmission between the mother and progeny through idiotypes, cells and commensal tolerated microbiota. The dynamic connective network of the Holon-cell allows for degenerated molecular communication, with evolution of the molecular network topologies through aging. The key is the maintenance of a dynamic equilibrium of links, with regulations between dominant tolerance and tissue repair, but avoidance of chronic inflammation/destruction of the host, to insure its resilience to perturbations. The emergence of a supra-clonal memory responsible for dominant tolerance and immune regulation stimulate our modeling. The immunological amnesia observed after a transient immunosuppression, support the paradigm of a systemic memory network for the resilience.

 

[14] Cette intervention vise une réflexion critique sur les efforts de modélisation, en particulier dans leur rapport au temps.

On vise par là non pas le geste concret de la modélisation de tel ou tel phénomène, lequel est déterminé par les conditions épistémiques particulières du domaine concerné, mais l'idée de modélisation en tant qu'elle peut être analysée au sein d'une critique de la connaissance, c'est-à-dire des conditions à la fois a priori et effectives de la construction des savoirs.

Il ne s’agira donc pas d’élaborer une doctrine de la « bonne » modélisation, mais de chercher à ramener les efforts de théorisations exactes à leur sol « pré-théorétique », à leur point de surgissement – un quasi-brouillard où les conditions d’émergence sont dispersées, indéfinissables, inchoatives – d’où surgissent les différentes expressions de l’exactitude.

 

Pour ce faire, nous proposerons d’appréhender le sens de l'opération de modélisation en trois moments : la mimésis, le modèle et la méthéxis.

1.     La mimésis est le modèle dans son rapport à la logique de la ressemblance. Le statut d'invention, de productivité, de l'opération de modélisation y est rendu impensable.

2.     Le moment du « modèle », correspond à la prise de conscience d'un écart ontologique entre le modèle et le modélisé. La relation entre les deux n'est pas fondée sur une ressemblance, mais sur une analogie – proportionnalité, égalité de rapports, non pas ressemblances de matières. Une telle relation produit une connaissance effective, car le modèle ne reproduit pas un comportement, mais « donne à voir » dans sa propre texture les variations possibles des modélisés – leurs virtualités. Mais l'opération de modélisation contient, en plus de la relation modèle/modélisé, un troisième moment, un moment excédentaire, qui est l'opération elle-même.

3.     On peut rattacher ce troisième moment à la notion platonicienne de « participation », méthéxis, dont les rapports avec la mimésis sont assez énigmatiques : le modèle et le modélisé – leur relation étant réversible, car la non-ressemblance fait que tout modèle peut être considéré comme un modélisé et vice versa – participent d'un même processus dynamique, celui de leur individuation.

Ce dernier moment permettra de réintégrer pleinement le temps dans l’opération de modélisation. En particulier, il nous conduira vers une réflexion lorsque le phénomène étudié évolue dans le temps alors que le modèle n’est pas censé être lui-même affecté par le temps, c’est-à-dire où le temps est un paramètre de description interne du modèle, une variable.

 

[15] Je commence par une description des sources de différentes notions d'indépendance, notamment chez von Neumann, menant à des liens structurels entre l'indépendance purement mathématique et deux sortes d'indépendance logique, l'une à caractère plus modélo-théorique, l'autre à caractère plus ensembliste.

J'illustre le rôle des « taxonomies de théories » issues partiellement de l'étude des premières de ces indépendances pour isoler le changement et la tension entre les deux sortes d'indépendances (et montrer de la sorte une espèce de « dépendance des deux indépendances »).

Je clos l'histoire par une description de certaines approches plus contemporaines, qui permettent de tracer des connexions et rapprochements surprenants entre les deux extrêmes décrits.

 

[16] I shall begin my talk with a brief introduction to logical independence in mathematics and the role of the forcing method. I shall then introduce the concept of a maximality principle and the notion of a forcing axiom. A forcing axiom is a generalized form of the famous Baire Category Theorem or, roughly speaking, a nonlinear form of induction. Though a forcing axiom can vastly impact the universe of sets, it still comes with limits. After talking about the limits, I shall finally note a relatively recent approach towards overcoming the obstacles.

 

[17] L’un des buts de la théorie des ensembles est de compléter le système axiomatique ZFC afin de résoudre des questions indécidables dans cette théorie.

Il existe un axiome supplémentaire qui décide une majorité de questions exprimables en arithmétique de second ordre. Il s’agit de l’axiome de détermination projective.

Dans cet exposé, nous allons présenter les bases de la théorie des jeux infinis. Nous rappellerons le théorème classique de Gale-Stewart qui dit que tous les jeux infinis fermés sont déterminés.

Ensuite nous allons introduire l’axiome de détermination projective (PD) et expliquer dans quel sens il donne une axiomatisation satisfaisante de l’arithmétique du second ordre.

Finalement, nous allons parler des pistes pour trouver un analogue de PD pour l’arithmétique du troisième ordre et au-delà.

 

[18] What is the nature of mathematical ontology—what does it mean to make existence assertions in mathematics? Is there an ideal mathematical realm, a mathematical universe, that those assertions are about? Perhaps there is more than one. Does every mathematical assertion ultimately have a definitive truth value? I shall lay out some of the back-and-forth in what is currently a vigorous debate taking place in the philosophy of set theory concerning pluralism in the set-theoretic foundations, concerning whether there is just one set-theoretic universe underlying our mathematical claims or whether there is a diversity of possible set-theoretic conceptions.

 

[19] Nous commencerons au départ en situant superficiellement l’émergence de la question des pseudogroupes dans l’histoire de la géométrie différentielle [après notamment Gauss, Lamé, Lie, Cartan, pour fournir une détermination de la notion de variété où un calcul différentiel intrinsèque soit possible (Lévi-Civita et Ricci, Cartan), et partant le traitement général de la question de la courbure « in the large »].

Nous dirons ce qu’est un pseudogroupe, un atlas, un atlas complet, et les exemples que sont les variétés (par exemple la sphère), les fibrés tangents et des repères, les feuilletages. On comparera la définition des variétés en termes de pseudogroupe et atlas avec celle en termes de faisceaux. On dira ce qu’est une espèce de structures locale, et le pseudogroupe de ses isomorphismes locaux.

Partant d’un pseudogroupe, on détermine un groupoïde ordonné qui est inductif, et sur lequel Ehresmann définit un « pseudoproduit » qui en fait un « semigroupe inverse ». Et réciproquement à tout semigroupe inverse est associé un groupoïde inductif.

Enfin, nous examinons la version ehresmannienne de la « topologie sans point » en termes de paratopologies, alias les « locales », et partant de là les groupoïdes internes à la catégorie des locales. Cela permet l’examen rapide de comment dans des travaux plus récents à partir d’un groupoïde ordonné ou d’un groupoïde locale on peut déterminer un site (au sens de Grothendieck), que Lawson et Steinberg appellent un « site d’Ehresmann », tel que le topos des faisceaux sur ce site soit une « étendue », et réciproquement (d’après Kock et Moerdijk, Lawson et Steinberg, Dewolf et Pronk, dans des articles dont certains parus en 1991, 2004, 2018 et 2020, dans les Cahiers de Topologie et Géométrie différentielle Catégoriques).

À partir de ce traitement de l’articulation du local au global, on peut considérer que la question de la géométrie différentielle, y inclus celle de la courbure et des connexions, évoquée ici au départ, se trouve toute entière déplacée sur celle des groupoïdes différentiables, des groupoïdes de Lie, voire des catégories différentiables, des foncteurs jets, etc. Ce serait l’objet d’un autre exposé.

 

[20] En 1957, Charles Ehresmann introduit (dans « Gattungen von Lolalen Strukturen ») la notion générale d'espèce de structures S sur une catégorie C, associée à une action de C sur S.

Je commencerai par en rappeler diverses propriétés, dont le principal théorème d'Élargissement (ou Transportabilité) d'une telle espèce de structures (ce qui étend aux catégories ce qui était abordé dans « Gattungen » dans le cas des groupoïdes).

Une deuxième partie rappellera les notions de catégorie et d'espèce de structures internes à une catégorie concrète, avec application aux espèces de structures topologiques, ordonnées ou inductives et surtout aux espèces de structures locales. Ici encore les principaux résultats portent sur des théorèmes d'Élargissement, et plus précisément sur l'Élargissement Complet d'une espèce de structure locale. Ce dernier généralise le cas des espèces de structures locales associées à un pseudogroupe de transformations.

Enfin, selon le temps restant, je parlerai de deux notions d'espèces de structure partielle que j'ai introduites en vue de problèmes d'analyse :

(a)    les noyaux d'espèce de structures topologique (en vue de problèmes de contrôle et d'optimisation, 1963) ;

(b)   les semi-faisceaux définis par un foncteur vers une catégorie d'applications partielles qui interviennent pour définir les distructures (1962 et 2008) et dont les Systèmes Évolutifs (A. Ehresmann & J.-P. Vanbremeersch) sont un cas particulier.

 

[21] Je présenterai lors de la matinée ma dernière œuvre Petrograd 1918 : undrame musical’ de 80 mn (d’après le poème Douze d’Alexandre Blok, janvier 1918) pour piano, disklavier, IKO et récitant.

Cette œuvre est une commande de l’Ircam correspondant à une recherche compositionnelle sur la source icosaédrique de haut-parleurs nommée IKO (qui améliore les performances acoustiques de l’ancien source cubique nommée Timée).

Ainsi Petrograd 1918 (2021) vient prolonger avec l’IKO les orientations compositionnelles, en particulier hétérophoniques, déjà à l’œuvre, il y a vingt ans de cela, dans Duelle (2001) avec la Timée.

 

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Timée                                                 IKO

 

Extraits des notes de programme

Petrograd 1918 (80’) comporte cinq mouvements suivis d’un postlude, chaque partie étant introduite par le récitant :

I.      Nuits (12’30)

II.    Soulèvements (11’)

III.   Paroles (9’30)

IV.   Longue marche (16’30)

V.    Aube (15’)

Postlude : Prière « Frères humains… » (4’15)

L’œuvre intrique trois préoccupations :

-        un désir d’hétérophonie, où hétérophonie désigne une extension de la coopération polyphonique par adjonction de voix tantôt en émulation, tantôt en coexistence juxtaposée ;

-        un agrandissement du monde musical traditionnel (celui du corps-accord des instrumentistes avec leurs instruments) par ajout de corps mécaniques (ici celui du disklavier) et d’images musicales projetées par rayonnement dirigé (ici celui de l’IKO) ;

-        une extension du discours musical par plongement du monde-Musique dans un univers langagier non-musical (ici celui des débuts de la Russie bolchévique, tels que poétiquement fictionnés en 1918 dans le poème Douze), plongement qui de facto interprète le discours musical (s’il est vrai qu’interpréter une chose, c’est la rapporter à une autre) pour mieux le restituer tel un iceberg émergeant en relief d’une étendue plate, en sorte que ce discours se trouve désormais surmonté d’une expressivité musicale singulière qu’on appellera signifiance et à la formulation de laquelle le récitant est dévolu.

Pour ce faire, il m’a semblé préférable de restreindre le jeu musical à l’action directe d’un seul musicien, en l’occurrence d’un(e) pianiste, et de porter cet unique instrument à hauteur de l’événement concerné (Octobre 1917) en l’étendant à un piano - qu’on dira alors « glorieux » - par adjonction du piano mécanique et des images pianistiques que l’IKO rayonne.

À différentes reprises, ce piano « glorieux » repart des douze Notations pour piano du jeune Boulez (1945), un peu comme des militants peuvent aujourd’hui repartir d’évènements politiques antérieurs.

Au total, Petrograd 1918 voudrait ainsi relancer une problématique moderne de l’expression musicale : à rebours de la musique à programme ou de la musique de film, de la musique narrative ou descriptive, mais en assumant ses résonances avec l’improvisation (cette improvisation - baroque, romantique et contemporaine partagée avec le free-jazz - où l’élan du corps-accord fait discours), il s’agit que l’autonomie (relative) du discours musical rayonne quelque raisonance extrinsèque susceptible de parler à tout un chacun de son existence subjective au cœur de l’humanité-monde.

 

[22] Les deux traités carolingiens, la Musica enchiriadis et la Scolica enchiriadis, auxquels il faut adjoindre le De Musica d'Hucbald de Saint Amand, sont célèbres parce qu'ils proposent les premiers exemples de polyphonie. Ils sont aussi le lieu où se trouve expliquée la notation dite dasiane, première notation où la hauteur des sons est transmise de façon univoque. Enfin, ils proposent une écriture de la musique, syllabique sur ligne. Ces deux dernières inventions sont pour ainsi dire des notations de laboratoire : elles n'ont pas donné lieu à l'écriture de grandes œuvres. En revanche, elles ont une réelle diffusion et une influence incontestable. On les retrouve jusque dans les écrits de Gui d'Arezzo. L'intervention cherchera à mieux cerner la manière dont le nombre sonore (qui devient la hauteur) est transformé pour devenir représentable. Les termes d'espace (spatium) et de système sonore (sistema) sont parmi les termes à interroger.

 

[23] Serait-il possible que la sensibilité musicale guide le philosophe de la nature dans ses premières intuitions ? Dans son Traité des configurations des qualités et des mouvements, où il innove des soubresauts d’une physique nouvelle des intensités qualitatives et cinématiques, Nicole Oresme consacre toute une section à la musique, imprégnée d’une esthétique nouvelle, un « pythagorisme géométrique ». La géométrie aide alors à voir les variations sonores de la polyphonie naissante de son temps. Mais est-ce une physique nouvelle appliquée à la musique ? N’est-ce pas plutôt que la nouvelle sensibilité musicale pousse le philosophe à la recherche de nouveaux ordres harmoniques dans la nature ?

 

[24] On trouve, dans certaines pièces du manuscrit dit « de Chypre », un jeu sur l’expression numérique et la dénomination de proportions, qui s'affranchit d'un cadre strictement pythagoricien. On y trouve également une accélération - la recherche d'un indivisible ? -. Le contrepoint de ces pièces est conditionné par ces schémas rythmiques et numériques.

 

[25] Cette intervention présentera ce récent livre à ceux qui n’auront pu en prendre connaissance, résumant ses grandes idées et exposant les grandes étapes de sa démarche.

Pour ce faire, l’intervention, s’accordant à l’esprit mamuphique de l’ouvrage, enchaînera trois parties :

   une partie philosophique qui dégagera huit hypothèses philosophiques au principe de l’intellectualité mathématicienne chez Zalamea, mettant en particulier l’accent sur celles-ci : la pensée mathématique moderne formalise la manière moderne de penser (ou hypothèse d’une mathématique moderne en avant-garde formalisante des modernités) ; la réflexion mathématicienne sur la pensée mathématique doit épouser la méthode même de la pensée mathématique (ou hypothèse d’une réduplication kierkegaardienne) ;

   une partie mathématique qui examinera les quatre théories mathématiques (théorie des faisceaux, modèles de Kripke, topos de Grothendieck et variétés de Riemann) ossaturant l’ouvrage - on examinera de plus près la manière zalaméenne de formaliser la correspondance de Galois selon la théorie des faisceaux ;

   une partie musicale qui analysera deux des exemples musicaux avancés dans l’ouvrage : celui de Liszt (Au bord d’une source) mis en raisonance avec Galois, et celui de Beethoven (14° quatuor) mis en raisonance avec Riemann.

On conclura en discutant la proposition qui synthétise in fine ce vaste parcours au sein des mathématiques modernes et contemporaines : celle d’un nouveau calcul différentiel et intégral.

 

[26] Cette intervention a pour thème l’évolution de la pensée de Fernando Zalamea entre philosophie et mathématiques, de sa première étude consacrée à Albert Lautman (2006) à RTHK ou l’Opus Magnum (2021), en passant par La Philosophie synthétique de la mathématique contemporaine (2009).

On tâchera de montrer comment sa pensée trouve son extension, qu’elle soit d’ordre mathématique ou d’ordre philosophique, aussi bien par le passage d’une dialectique ternaire (anti-analytique) à une sur-dialectique quaternaire (3+1) structurée d’après les quatre modèles (H) (HK) (THK) (RTHK), qu’à travers l’élaboration d’une critique mathématique. Ce « Criticisme Mathématique » sera alors pensé comme passage à un stade spéculatif totalement inédit, tant du point de vue mathématique que philosophique.

Finalement pointe ici la construction d'une raison étendue et de formes alternatives de compréhension qui permet de « penser la pensée ». D’où enfin une très claire perception que les mathématiques sont une pensée, et pas seulement une technique, comme on le présente trop souvent.