[a] https://arxiv.org/pdf/math/0211398.pdf

[1]

François Laruelle œuvre depuis quarante ans à sortir la philosophie de ses limites auto-imposées et à instaurer de nouvelles pratiques de pensée et de nouvelles alliances de la philosophie (devenue non-philosophie, philosophie non-standard, et philosophie « forcée ») avec d’autres disciplines (les sciences et les arts).

Dans son nouveau livre Tétralogos : Un opéra de philosophies (Éditions du Cerf, 2019), Laruelle propose une alliance de la philosophie avec la musique sous la coupe d’une science-fiction générale.

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Cet atelier (2019), consacré à l’analyse complexe fondée par Cauchy, fait suite à celui consacré (2017-2018) à la théorie de Galois. Il sera suivi (2020) d’un atelier consacré à la théorie des quaternions établie par Hamilton.

Une même idée mamuphi préside à ces trois ateliers : réétudier de très près comment la modernité mathématique s’est constituée (remarquons-le : dans la même séquence historique 1830-1848 que la modernité politique marxiste) en sorte de dégager les gestes de pensée qui l’ont engagée dans sa « longue marche » au-delà du classicisme et, par-là, clarifier ce que rester « absolument moderne » peut vouloir dire en ces temps qui nous prêchent les avantages, paresseusement liquidateurs, d’une « postmodernité » faisant table rase des acquis modernes.

En rapprochant ainsi les trois noms de Galois, Cauchy et Hamilton, il ne s’agit cependant pas d’avancer une théorie systématique et complète de ce que « mathématiques modernes » voudraient dire ; il s’agit plus simplement d’une « action restreinte », retenant, dans les mathématiques inventées à partir du début du XIX°, ce qui peut encourager le musicien et le militant d’aujourd’hui à continuer de penser activement par lui-même, en fidélité aux modernités musicales et politiques qui constituent ses orientations prolongées de travail.

Cauchy (les complexes), Hamilton (les quaternions) et Galois (les groupes) peuvent mathématiquement éclairer ce que comprendre, (s’)orienter et (s’)organiser en situation veulent dire pour une intellectualité contemporaine.

-        Comprendre vraiment une situation implique de ne pas seulement examiner ce qu’il y a effectivement dans la situation en question mais d’y incorporer ses possibilités propres (« il n’y a pas que ce qu’il y a ») en sorte d’étendre la dimension des effectivités par adjonction d’une seconde dimension orthogonale : celles des possibilités. Interprétée en ce sens, la manière dont l’analyse complexe diffère radicalement de l’analyse réelle fournit un ensemble de questions et de résultats précis qui sera l’enjeu même de l’atelier du 16 novembre.

-        Orienter une situation et corrélativement y orienter ses interventions (s’y orienter donc) impliquent tout de même de ne pas s’y enfermer mais de la plonger dans un espace de dimension supérieure en sorte de l’examiner en retour comme une sorte de projection réduite. On étudiera, l’année prochaine, comment Hamilton résout ainsi des problèmes d’orientation, insolubles dans l’espace empirique ordinaire à 3 dimensions ℝ³ ; ainsi, orienter le 3D ne peut se faire que par adjonction d’une quatrième dimension dotée d’une double fonction : dimension supplémentaire équivalente aux trois autres et dimension spécifiquement globale qui paramètre toutes les dimensions (dont elle-même). C’est à ce titre que l’espace ℊ diffère de ℝ⁴ (et donc que le nouvel espace n’est pas un simple 4D).

-        L’interprétation mamuphi de la théorie de Galois nous a montré qu’en général, on ne peut rassembler les éléments aptes à s’acquitter d’une même tâche prédéfinie [polynôme ∑a_ixⁱ=0] en cumulant des identifications séparées [∏(x-r_j)=0] mais seulement en dégageant les différentes manières d’effectuer la tâche en question puis en analysant les relations d’équivalence (entre ces manières) qui en découlent [groupe G des symétries : ∇G⇔∆K]. Ainsi – principe significatif d’organisation -, c’est le groupement (le plus souvent subconscient ou immergé) des relations internes découlant du projet fondateur qui oriente la compréhension de ce que solidarité veut dire, et non pas une simple récollection d’identités individuelles.

Le 16 novembre 2019, nous étudierons en détail l’analyse complexe avec pour fil rouge l’articulation des deux questions suivantes : en quoi le plan ℂ diffère-t-il radicalement du plan ℝ*ℝ=ℝ² ? En quoi l’analyse complexe diffère-t-elle radicalement de l’analyse réelle ?

On verra que la clef de voûte de la nouvelle structure complexe tient à la mise au jour d’un type nouveau d’opération multiplicative : la multiplication complexe qui, algébriquement, autorise le passage d’une structure d’anneau à une structure de corps et, géométriquement, organise le passage du plan ℝ² statique au plan ℂ intrinsèquement dynamique.

On suivra les effets de cette opération successivement sur la structure algébrico-géométrique du plan complexe (doté d’une semi-négation ou négation^½ qui « dynamise » le plan complexe par « rotation » endogène), sur la division complexe (essentielle pour que les complexes fassent « corps »), sur la différenciation complexe (par usage local de la division complexe df/dz), sur l’intégration complexe (par usage régional – chemin entre deux points - de la multiplication complexe ∫f.dz) jusqu’au développement en séries entières (polynômes infinis) des fonctions complexes différentiables, développement qui les dotent d’une rigidité algébrique exceptionnellement féconde (voir les « prolongements analytiques »).

On interprètera ce faisant les grands résultats de l’analyse complexe élémentaire selon un fil interprétatif conduisant à différents théorèmes de l’intellectualité moderne, tels le théorème de l’action restreinte (c’est-à-dire ni locale ni globale mais régionale) et celui de la transmission (d’un point tenu jusqu’au bout).

Où l’on conclura que l’action restreinte, s’attachant à tenir la dynamique d’une possibilité entre deux effectivités locales, autolimitant donc son affirmation à une région (ce qui la distingue aussi bien de l’action globale du classicisme que de l’action locale du postmodernisme) et rendant ainsi possible la transmission de ses résultats et de sa dynamique, constitue le noyau même de l’action moderne.

Ouvrages de référence :

Ian Stewart & David Tall, Complex Analysis [https://b-ok.cc/book/3559849/035bc4]

Tristan Needham, Visual Complex Analysis [https://b-ok.cc/book/974187/196adc]

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séance organisée par Franck Jedrzejewski et Moreno Andreatta

avec le soutien du Collège International de philosophie et de l’université de Strasbourg

Chef de file du courant minimaliste en France et en Europe, le compositeur Tom Johnson aura 80 ans le 18 novembre 2019.

Élève du compositeur Morton Feldman et du théoricien Allen Forte, il s’est installé à Paris en 1983, aux côtés de son épouse, l’artiste Esther Ferrer.

Les éditions MusikText de Cologne viennent de publier l’ensemble de ses textes sous le titre Finding Music. Writings/Schriften (1961-2018) dans une édition bilingue allemand/anglais. On trouvera dans ses textes une réflexion sur l’art et la création artistique.

Pour Tom Johnson, l’art n’est ni une quête d’identité comme chez Schelling, ni un type de connaissance intuitive comme chez Schopenhauer, mais plutôt le dévoilement d’une vérité plus originaire que la vérité scientifique qui l’a suscitée. Car il s’agit d’abord pour le compositeur de « trouver la musique » inscrite non dans la nature mais dans toutes les structures abstraites qui l’entourent et en premier lieu dans des dessins d’artistes ou des structures mathématiques. Ce sont ces dernières qui, comme le triangle de Pascal, le crible d’Ératosthène ou les nombres de Mersenne, ont inspiré bon nombre de ses œuvres.

Des Mélodies auto-similaires aux Vaches de Narayama, la musique de Tom Johnson se fonde toujours sur un argument structurel qui l’organise. L’enjeu est parfois terrifiant comme dans son Opéra de quatre notes, allusion explicite à l’œuvre de Bertolt Brecht, où il s’agit, non sans humour, de déconstruire l’opéra.

Nous nous interrogerons donc sur cette ontologie singulière de l’œuvre musicale, avant de conclure le forum par un concert de l’Ensemble Dedalus, qui, sous la direction de Didier Aschour, jouera quelques œuvres du compositeur et de nouvelles petites pièces spécialement composées par ses amis pour ses 80 ans.

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Rudolf Di Stefano : Du montage cinématographique comme 4ème dimension

–   Les menines de Velázquez : éloge de l’écran

–   Fenêtre sur cour d’Hitchcock et Le livre d’image de Godard : le son 3D

–   Ébauche d’un film-annonce La tempête : le montage et l’enfant 

–   La salle de cinéma comme camera obscura mentale : vers une 4D ?

–   Douze, l’œuvre collective future

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De la puissance propre de l’action restreinte

À Frank Madlener…

Je voudrais réexaminer, dans tous ses détails techniques et ses dédales interprétatifs, un des principaux résultats de l’enquête mamuphi menée sur l’analyse complexe [5] : celui que j’ai proposé d’appeler le théorème de l’action restreinte.

En ces temps millénaristes gorgés d’angoisse, nos raisons matérialistes d’espérer sont plus que jamais précieuses. À la lumière de la mathématique moderne, l’action restreinte, que Mallarmé a inscrite au cœur de l’intellectualité contemporaine comme puissance affirmative, non comme renoncement, nous en fournit une de première importance.

Mais en quoi l’action restreinte organise-t-elle une telle puissance et laquelle exactement ? En quoi une telle puissance, matériellement inscrite dans la constitution d’une région reliant a minima deux localisations différentes, fonde-t-elle une espérance (qui ne trompe pas) dans une possible prolongation globale de l’action régionalement restreinte ? Sur tout ceci, cette partie de la mathématique moderne constituée par l’analyse des grandeurs complexes (Gauss, Cauchy, Weierstrass, Riemann) peut nous éclairer et nous guider rationnellement : ses victoires dans la pensée (Ian Stewart : « Beaucoup de batailles ont déjà été gagnées. » [5]) constituent des socles pour les intellectualités contemporaines.

L’argumentation mathématique s’enchaînera selon les six étapes suivantes.

1)     Soit f(z) une fonction complexe.

Cette fonction, transformant une grandeur complexe en une autre, va formaliser le type d’action susceptible d’être restreinte : une action qui, dans une situation donnée, transforme les rapports entre effectivités et possibilités et non pas seulement, comme le fait une fonction réelle (c’est-à-dire sur ℝ), les seules effectivités. On posera en effet que les grandeurs complexes intriquent effectivités « réelles » et possibilités « imaginaires » et qu’une fonction complexe formalise l’action suivante :

x_effectif ⨁ y_possible → x’_effectif ⨁ y’_possible

Une action restreinte s’inscrit ainsi dans ce type d’action qui prend acte que dans une situation donnée, il n’y a pas que ce qu’il y a effectivement car il y a aussi les possibilités et les potentialités propres de cette situation.

On rappellera au passage que cette algèbre des grandeurs complexes repose sur leur capacité de faire corps, capacité qui s’attache essentiellement à la possibilité de se multiplier entre elles (c’est-à-dire de s’auto-affecter).

2)     Supposons maintenant que cette fonction f(z) soit différentiable sur une région donnée D du plan complexe ℂ.

La propriété de différenciation veut dire que, localement en α∊D, le résultat df de l’action f sera commensurable, selon f’(α), à son origine dz : dz→df=f’(α).dz

On va en déduire des propriétés tout à fait extraordinaires de la fonction, propriétés qui n’ont nul équivalent pour les fonctions réelles agissant sur ℝ² c’est-à-dire sur un plan apparenté au plan ℂ.

3)     En tout point de la région où f intervient, on peut construire une intégrale de contour telle que l’action discrète de f en ce point équivaut à son action continue en faisant le tour de ce point.

Ainsi agir en un point équivaut à agir sur un des tours que l’on peut en faire.

4)     Ce bond gigantesque du discret au continu autorise une redescente vers l’infini dénombrable : on en déduit en effet que, sur la région de départ, la fonction f est extensible de proche en proche selon une formulation désormais algébrique, dite en série entière, qui la structure en polynôme infini et la dote ce faisant d’une rigidité cristalline proliférante. On dira que la fonction est analytique.

Cette propriété cristallographique est la clef des propriétés sans égal des fonctions complexes différentiables.

5)     La série entière précédente s’avérant la série de Taylor de la fonction f, on en déduit que toute fonction complexe différentiable l’est indéfiniment (ce qui n’est aucunement le cas pour les fonctions réelles).

Ainsi analyser une situation donnée en termes de grandeurs complexes impose certes une plus grande rigueur d’intervention (assurer la différenciation de l’action implique de respecter des contraintes spécifiques, plus exigeantes que dans le cas réel - voir les conditions dites de Cauchy-Riemann) mais cette rigueur gage en retour une plus grande maniabilité extensive de l’action en question.

6)     D’où se démontre finalement le point pour nous essentiel : une telle fonction s’avère analytiquement prolongeable au-delà de sa région de constitution sur tout le plan complexe et ce de telle manière que, comme le métaphorise Tristan Needham, « si deux fonctions analytiques ont des effets identiques sur la courbe dessinée par un simple cil tombé d’un œil dans une rue de San Francisco, alors elles ont des effets identiques sur toute la Californie ! » [5].

Rendue en ce point, l’action, initialement restreinte à une région où constituer un ferme trajet d’intervention entre deux points, révèle sa puissance globale selon ce théorème de l’action restreinte :

-        Posons que dans une situation donnée, l’action dite « complexe » ambitionne de transformer les rapports internes à cette situation entre effectivités, possibilités et potentialités (sans se contenter donc, comme le fait l’action « réaliste », de gérer les effectivités existantes, c’est-à-dire ce qu’il y a bien déjà là, au vu et au su de tous).

-        Pour ce faire, une telle action doit assurer la délicate cohérence de son intervention transformatrice (sa « différentiabilité ») : cette cohérence est en effet plus difficile à assurer pour une action « complexe » (c’est-à-dire intervenante) que pour une action dite « réaliste » ou « pragmatiste ».

-        Mais si elle y parvient, une telle action « complexe » peut avoir légitimement l’ambition d’opérer à échelle globale de la situation concernée (sans se limiter donc au seul « agir localement ») à condition de restreindre d’abord son intervention à une région reliant a minima deux localisations différentes : sa réussite régionale fondera alors de manière matérialiste l’espérance de son extension globale.

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Le design par la géométrie : cohérence, type et logique borroméenne

Nous présenterons quelques résultats d’une recherche en cours à propos de l’usage des diagrammes, une forme d’écriture efficace aidant à définir nos concepts avec leurs relations pour former un modèle de composants. Pour ce faire nous utiliserons la géométrie et construirons des graphes de multiples formes par brisures des symétries d’un graphe générateur. Nous utiliserons une technique hamiltonienne, les points définis par des boucles. Ceci nous permettra de définir des classes de points-de-vue. Nous utiliserons ensuite des opérations classiques de la géométrie pour obtenir les générateurs en partant du simplex. Nous utiliserons une approche constructiviste pour construire les graphes en n’utilisant que de constructeurs récursifs. Enfin, en passant par la logique, on arrivera à des graphes de Cayley. Dans cette approche, la notion de basepoint est remplacée par celle de baseline ce qui fait qu’in fine on n’a que des ‘gros’ points, les vertices des graphes ne représentant que des flèches.

L'usage de la logique fait intervenir un foncteur qui est l’équivalent de la règle des trois doigts permettant de s’orienter dans l'espace, la convention de la main droite correspondant à un état de chiralité du lien borroméen. Ce foncteur est une flèche entre une petite catégorie et un graphe de Cayley, effectivement entre une surjection au-dessus des éléments du groupe de symétrie S_4. Nous arriverons par là à démontrer que nous avons construit, entre autres, un type et des équivalences homotopiques.

Ce passage par la logique nous donnera aussi un éclairage sur pourquoi la logique borroméenne est un outil efficace pour construire et organiser nos concepts dans l’espace. Par l’approche constructiviste, il devient ainsi possible de prouver qu'un design est cohérent.

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Synthèse, genèse, mathèse. Pour une approche dialectique des mathématiques

Dans les séances précédentes, nous avons essayé d’explorer des usages des mathématiques qui échappent aux limites de leur compréhension habituelle : en particulier, nous avons interrogé la possibilité d’exprimer par les idéalités mathématiques certaines propriétés du vivant (ex. : émergence, multiplicité, instabilité, normativité propre), mettant à mal un usage dominant des mathématiques pour lequel la référence à une invariance fondamentale est constitutive du geste de théorisation (cf. A. Cavazzini, Sciences de la vie, mathésis, infini, Hermann, 2016).

A partir des travaux menés par Andrée Ehresmann, Giuseppe Longo et Alessandro Sarti aux frontières des mathématiques et de la biologie, nous avons fait l’hypothèse que l’expression mathématique de la variance et de la singularité du vivant représentait un paradigme d’un usage des mathématiques visant moins la théorisation « positive » que la problématisation, moins la constitution d’un champ balisé de connaissances et d’objets que l’ouverture d’un espace virtuel de « stratagèmes allusifs » (au sens de Gilles Châtelet), moins finalement les régimes déductifs de la formalisation et de la formulation en sciences, que leurs régimes immersifs, c’est-à-dire où l’effort de pensée ne se comporte plus vis-à-vis du réel, mais dans le réel, permettant de « réarticuler l’intuition et l’opération » (cf. G. Châtelet, Les enjeux du mobile) et de donner ainsi une forme à des relations rationnelles non systématisées, toujours mêlées aux ressources « figuratives » de l’intuition et du discours ordinaire ».

Nous avons proposé de qualifier de « romantique » cet usage des mathématiques, qui nous a semblé caractériser les philosophies des sciences d’auteurs tels que Schelling, Hegel et Novalis. Compte tenu du fait qu’un tel usage est déjà esquissé chez des penseurs stoïciens et néoplatoniciens, qu’il est aussi reconnaissable chez des auteurs comme Wittgenstein et Jean Toussaint Desanti, et que Hegel n’est pas à proprement parler un « romantique », il nous semble aujourd’hui qu’il vaudrait mieux parler d’usage « dialectique » des mathématiques (en reprenant une suggestion d’Alain Badiou dans Théorie du sujet).

L’adjectif « dialectique » fait d’ailleurs allusion aux procédures et aux structures internes à ce style de pensée mathématique, et non plus seulement à ses champs d’application (tel le vivant, qui est en effet un « lieu » critique de la pensée romantique).

C’est bien à ce regard dialectique sur les mathématiques que nous voulons consacrer cette séance du Séminaire mamuphi.

Nous voulons interroger les formes et les possibilités que les objets mathématiques contiennent et qui sont susceptibles d’en entraîner le sens au-delà des frontières de ce qui est susceptible de vérification et de preuve.

Si l’on se réfère à l’histoire des mathématiques, on voit aisément que, au XXème siècle, deux manières de penser leur statut et leurs puissances ont été dominantes : la recherche des fondements (Whitehead et Russell) et la recherche des structures (Bourbaki).

Ces deux programmes de recherches se fondent en même temps sur des métaphores architectoniques voire architecturales qui véhiculent une image déterminée de la pensée mathématiques : les objets mathématiques constituent un édifice dont chaque partie occupe une place déterminée, organisé en une hiérarchie de niveaux par des structures portantes et unifié par des procédures homogènes.

Cette image du champ de pensée des mathématiques a été plus récemment remplacée par une vision nettement moins ambitieuse, centrée sur l’effectivité des procédures de calcul. Mais cette approche a vite tendu à réduire l’effectivité à l’efficacité, en finissant donc par évacuer la valeur des mathématiques en tant que pensée irréductible à ses usages instrumentaux.

Un usage et une vision dialectique des mathématiques pourraient soutenir la critique du réductionnisme pragmatiste sans pour autant revenir à la recherche positive d’une norme unifiée et systématique du champ mathématique, en découplant ainsi l’effectivité de l’efficacité instrumentale.

L’approche catégoriste, la preuve prototypique, le recours aux diagrammes et au raisonnement inductif, constituent des éléments de la pratique du working mathematician qui suggèrent également une vision moins systématique et rigide du champ mathématique sans pour autant renoncer à la pensée que véhiculent ses idéalités : une vision où le statut des objets mathématiques relève moins de leur appartenance rigoureusement définie à un édifice que de la possibilité de tirer une interprétation et une induction intensives à partir d’un objet singulier, sans hiérarchie prédéterminée.

Ainsi, au lieu d’être une composante d’une totalité extensive, une idéalité mathématique déterminée envelopperait intensivement une totalité présomptive que déploieraient ses usages concrets. Ce rapport entre le tout et la partie, le local et le global, pourrait donc être qualifié de « dialectique », au sens où la totalisation qui est visée excède la définition exhaustive de connaissances positives et ne consiste que dans l’ouverture d’un horizon ; mais il peut renvoyer aussi, en bouclant en quelque sorte la boucle, à la pratique de la pensée par « essais » et « fragments » qui caractérise la pensée romantique et ses réappropriations au XXème siècle : par exemple chez Wittgenstein.

C’est l’ensemble de ces problèmes que nous souhaitons commencer à explorer.